江苏省泰州市靖江市靖江外国语学校2025-2026学年九年级上学期周测数学试题（2026.1.20）

外国语学校 期末复习 九年级数学限时训练5 一、选择题(每题4分) 1.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，则下列结论中正确的是 () 2. 如图, 点E是线段BC的中点, ∠B=∠C=∠AED, 下列结论中, 说法错误的是( ) A. ∠AEB=∠CDE B. △ABE∽△ECD D. ∠BAE=∠ADE 3.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形,OA:OD=1:4,△ABC的周长为8,则△DEF的周长为( ) A.8 B. 24 C. 32 D. 40 4.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A、B的对应点分别是C、D).若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD的高度为() A.⁸/3cm C. 3cm 5. 如图, 四边形ABCD为正方形, 点E在边BC上, 且BE<EC, 点F在边CD上, ∠AEF=90°. 若CF=2, DF=7,则tan∠EAF 的值为 ( ) 6. 如图, 点D, E, F分别在△ABC 的边上, DE∥BC, EF∥AB, 点M是DF的中点, 连接CM并延长交AB于点N, 的值是() 二、填空题(每题4分) 7.如果 那么 的值为 . 8.在一张比例尺1：800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是 千米. 9.如果两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，小三角形的面积是24cm²，那么大三角形的面积是 cm². 10.△ABC与△A₁B₁C₁的位似比为2，原点O为它们的位似中心.若点A的坐标为(6，4)，则对应点A₁的坐标可以为 . 11. 如图, Rt△ABC中, ∠BAC=90°, AB=6, AC=4, G是△ABC重心, 则 12. 如图, 在△ABC中, ∠ABC=60°, P是△ABC内一点, 且∠APB=∠BPC=120°, 若AP=3, BP=4, 那么CP= . 13.如图，在矩形AOBC中，点O是坐标原点，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上， 则k= . 14. 如图, 在△ABC中, AB=AC, D, E分别是AB, BC的中点, 把△BDE沿着DE翻折, 点B恰好在AC边上的F处,若 则 (用含k的代数式表示) 三、解答题(共44分) 15.(10分)如图, 在平面直角坐标系中, 已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,2), B(0, 4), C (4, 4). (1) 以点O为位似中心， 将△ABC缩小为原来的 得到△A₁B₁C₁,请在x轴下方画出△A₁B₁C₁; 点 P(a, b)为△ABC内的一点，则点P在△A₁B₁C₁内部的对应点 P₁的坐标为 . (2)△ABC外接圆的圆心坐标为 ，外接圆的半径是 . 16.(10分)如图，小华站在楼AB的底端A处，眺望楼CD的顶端D，发现视线MD与水平线ME的夹角为α；然后，小华转身后退，当退到点F处时，发现视线BE与水平线EM的夹角也为a.已知点F恰好为AC的中点，点M在AB上, AB⊥AC, CD⊥AC, EF⊥AC, EM⊥AB, 楼AB的高度为7米, 小华眼睛距离地面的高度EF=MA=1.5米, 请你根据以上数据计算大楼CD的高度. 学科网（北京）股份有限公司 17. (12分) 如图1, Rt△ABC中, 点 D, E分别是AC, BC的中点, 连接DE. 将△DCE绕点C逆时针旋转得到 (如图2),连接BE', A D'. (1) 求证: △AD'C∽△BE'C; (3分) (2) 已知AC=2, BC=4, 分别延长BE', AD'交于点F. ①若AF=3, 求BF的长; (4分) ②连接FC, 若 直接写出 的值. (5分) 18.(12分) 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°. 半径为1的圆A与边AB相交于点D, 与边AC相交于点E, 连接DE并延长，与线段BC 的延长线交于点 P. (1) 当∠B=30°时, 连接AP, 若△AEP 与△BDP 相似, 求CE的长;(3分) (2) 若CE=2, BD=BC, 求∠BPD的正切值;(4分) (3) 若 设CE=x, △ABC的周长为y, 求y关于x的函数关系式.(5分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 外国语期末复习九年级数学限时训练5 参考答案 1.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，则下列结论中正确的是 () 【考点】黄金分割. 【分析】由黄金分割的定义得 即可求解. 【解答】解: ∵P为AB的黄金分割点 (AP>PB), 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选: D. 【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C 叫做线段AB的黄金分割点. 2. 如图, 点E是线段BC的中点, ∠B=∠C=∠AED,下列结论中, 说法错误的是( ) A. ∠AEB=∠CDE B. △ABE∽△ECD D. ∠BAE=∠ADE 【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】证明△BAE∽△CED, △ABE∽△AED, 可得结论. 【解答】解: ∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE, ∠B=∠AED, ∴∠DEC=∠BAE, ∵∠B=∠C, ∴△BAE∽△CED, ∵BE=CE, ∵∠B=∠AED, ∴△ABE∽△AED, 故选项A, B, C正确, 故选: D. 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 3.如图,△ABC和△DEF 是以点O为位似中心的位似图形,OA:OD=1:4,△ABC的周长为8,则△DEF的周长为( ) A. 8 B. 24 C. 32 D. 40 【考点】位似变换. 【分析】先根据位似的性质得到△ABC∽△DEF, AB: DE=AO: OD=1: 4, 然后根据相似三角形的性质求解. 【解答】解: ∵△ABC和△DEF 是以点O为位似中心的位似图形, OA: OD=1: 4, ∴△ABC∽△DEF, AB: DE=AO: OD=1: 4, ∴△ABC的周长: △DEF 的周长=1: 4, ∴△DEF的周长=4×8=32. 故选: C. 【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线；位似比等于相似比. 4.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A、B的对应点分别是C、D).若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD的高度为() cm C. 3cm A. 【考点】相似三角形的应用. 【分析】先证明△COE∽△CAB得到 再证明△BOE∽△BDC得到 再把①和②相加变形得到，然后把AB=5cm，OE=2cm，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系. 【解答】解：依题意， ∵OE∥AB, ∴△COE∽△CAB, ∵OE∥CD, ∴△BOE∽△BDC, 则①+②得 ∵AB=5cm, OE=2cm, 解得 答：实像CD的高度为 故选: B. 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 5. 如图, 四边形ABCD为正方形, 点E在边BC上, 且BE<EC, 点F在边CD上, ∠AEF=90°. 若CF=2, DF=7,则tan∠EAF 的值为 ( ) c. B. D. A. 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；正方形的性质. 【分析】根据正方形的性质证明△CEF∽△BAE,得 求出BE=3，然后利用锐角三角函数即可解决问题. 【解答】解: ∵CF=2, DF=7, ∴CD=CF+DF=9, ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=9, ∠B=∠C=90°, ∴∠AEB+∠BAE=90°, ∵∠AEF=90°, ∴∠AEB+∠FEC=90°, ∴∠FEC=∠BAE, ∴△CEF∽△BAE, ∵BE<EC, ∴BE=3, 故选: C. 【点评】本题考查正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题. 6. 如图, 点D, E, F分别在△ABC的边上,ADB₂= DE∥BC, EF∥AB, 点M是DF的中点, 连接CM并延长交AB于点N, MNCH的值是( ) C. D. A. B. 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例. 【分析】过点F作FG∥CN交AB于点G,证明MN是△DGF的中位线, 得GF=2MN, 由GF∥CN, EF∥AB, 得四边形GFHN是平行四边形, 证明MH=MN, 设MH=MN=a, 则GF=2a, 然后证明CN=4GF=8a, 所以CH=CN-NH=8a-2a=6a, 得CM=CH+MH=6a+a=7a, 进而可以解决问题. 【解答】解: 过点F作FG∥CN交AB于点G, ∵点M是DF的中点， ∴N是 DG的中点, ∴MN是△DGF 的中位线, ∴GF=2MN, ∵GF∥CN, EF∥AB, ∴四边形GFHN是平行四边形， ∴NH=GF=2MN, ∴MH=MN, 设MH=MN=a, 则GF=2a, ∵DE∥BC, △ADE∽△ABC, ∴BC=4DE, ∵EF∥AB, DE∥BC, ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=BF, ∵FG∥CN, ∴△BFG∽△BCN, ∴CN=4GF=8a, ∴CH=CN-NH=8a-2a=6a, ∴CM=CH+MH=6a+a=7a, 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键. 7.如果 那么a/p的值为 5 . 【考点】比例的性质. 【分析】利用比例性质得到a-b=4b, 则a=5b, 从而得到a/b的值. 【解答】解： ∴a-b=4b, ∴a=5b, 故答案为5. 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键. 8.在一张比例尺1：800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是 32 千米. 【考点】比例线段. 【分析】根据图上距离÷比例尺=实际距离列出算式，再进行计算即可得出答案. 【解答】解：它的实际长度是： (厘米) =32 (千米). 故答案为：32. 【点评】此题考查了比例线段，熟练掌握图上距离、比例尺和实际距离三者之间的关系是解题的关键. 9.如果两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，小三角形的面积是24cm²，那么大三角形的面积是 54 cm². 【考点】相似三角形的性质. 【分析】先根据相似三角形的周长得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论. 【解答】解：∵两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm， ∴其相似比 ∵小三角形的面积是24cm²， 解得 故答案为：54. 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键. 10.△ABC与△A₁B₁C₁的位似比为2，原点O为它们的位似中心.若点A的坐标为(6，4)，则对应点A₁的坐标可以为 (3, 2) 或(-3, - 2) . 【考点】位似变换；坐标与图形性质. 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案. 【解答】解: ∵△ABC与△A₂B₁C₁的位似比为2, 原点O为它们的位似中心, 点A的坐标为(6, 4), ∴对应点A₁的坐标为 或 即(3, 2) 或(-3, - 2),故答案为: (3, 2) 或 (-3, - 2). 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 11. 如图, Rt△ABC中, ∠BAC=90°, AB=6, AC=4, G是△ABC重心, 则 【考点】三角形的重心；三角形的面积. 【分析】延长AG交BC 于E.易知 由此计算即可解决问题. 【解答】解: 延长AG 交BC于E. ∵∠BAC=90°, AB=6, AC=4, ∵G是△ABC的重心, ∴AG=2GE, BE=EC, 故答案为4. 【点评】本题考查三角形的面积，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.12.如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,P是△ABC内一点,且∠APB=∠BPC=120°,若AP=3,BP=4,那么 【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】由∠ABC=60°, ∠APB=∠BPC=120°,得∠PBC=60°-∠ABP, ∠PAB=180°-120°-∠ABP=60°-∠ABP, 则∠PAB=∠PBC, 所以△APB∽△BPC, 得 则 于是得到问题的答案. 【解答】解: ∵∠ABC=60°, ∴∠PBC=60°-∠ABP, ∵∠APB=∠BPC=120°, ∴∠PAB=180°-120°-∠ABP=60°-∠ABP, ∴∠PAB=∠PBC, ∴△APB∽△BPC, ∵AP=3, BP=4, 故答案为： 【点评】此题重点考查三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△APB∽△BPC是解题的关键.13.如图，在矩形AOBC中，点O是坐标原点，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上， 则k= -8 . 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；反比例函数的性质. 【分析】过A、B作AE⊥x轴于E, BD⊥x轴于D, 利用三角函数、勾股定理解Rt△CAB可得 结合矩形的性质可得 再证△BDO∽△OEA, 推出 根据反比例函数k的几何意义可得 即可求解. 【解答】解：∵四边形AOBC为矩形， ∴OA=BC, OB=AC, ∠ACB=∠AOB=90°, 过A、B作AE⊥x轴于E, BD⊥x轴于D, 如图: ∵∠AOE=90°-∠BOD=∠OBD, 且∠BDO=∠OEA=90°, ∴△BDO∽△OEA, ∴|k|=8, ∵反比例函数 在第二象限， ∴k<0, ∴k=-8, 故答案为：-8. 【点评】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键. 14. 如图, 在△ABC中, AB=AC, D, E分别是AB, BC的中点, 把△BDE沿着DE翻折,点B恰好在AC边上的F处,若 则 (用含k的代数式表示) 【考点】相似三角形的判定与性质；列代数式；等腰三角形的性质；三角形中位线定理. 【分析】根据已知条件得到AB=AC=k•BC, ∠B=∠C, 求得 根据折叠的性质得到BE=EF，求得 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论. 【解答】解： B=AC, ∴AB=AC=k·BC, ∠B=∠C, ∵E是BC的中点, ∵把△BDE沿着DE翻折,点B恰好在 AC边上的F处, ∴BE=EF, ∴∠C=∠CFE, ∴∠B=∠CFE, ∴△CFE∽△CBA, 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键. 15. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2, 2), B(0, 4), C (4,4). (1) 以点O为位似中心， 将△ABC缩小为原来的 得到△A₁B₁C₁, 请在x轴下方画出△A₁B₁C₁; 点 P (a, b)为△ABC内的一点，则点P 在△A₁B₁C₁内部的对应点 P₁的坐标为 (2)△ABC外接圆的圆心坐标为 (2，0) ，外接圆的半径是2 . 【考点】作图-位似变换；三角形的外接圆与外心；垂径定理. 【分析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； (2)直接利用三角形外接圆圆心即为任意两个边的垂直平分线交点，进而结合勾股定理得出答案. 【解答】解:(1) ∵在x轴下方画出△A₁B₁C₁, 点P (a, b) 为△ABC内的一点, ∴点P 在△A₁B₁C₁内部的对应点 P₁的坐标为 故答案为： (2)如图所示：点M即为△ABC外接圆的圆心，其坐标为(2，0)， 外接圆的半径是： 故答案为: (2, 0), 2 【点评】此题主要考查了位似图形以及三角形的外接圆，正确得出对应点位置是解题关键. 16.如图，小华站在楼AB的底端A处，眺望楼CD的顶端D，发现视线MD与水平线ME的夹角为α；然后，小华转身后退，当退到点F处时，发现视线BE与水平线EM的夹角也为a.已知点F恰好为AC的中点，点M在AB上，AB⊥AC, CD⊥AC, EF⊥AC, EM⊥AB, 楼AB的高度为7米, 小华眼睛距离地面的高度EF=MA=1.5米, 请你根据以上数据计算大楼CD的高度. 【考点】相似三角形的应用. 【分析】由题意得出∠BEM=∠DMN, ∠BME=∠DNM=90°, 得出△BME∽△DNM, 利用相似三角形的性质求出DN的长度，即可求出大楼CD的高度. 【解答】解：如图，延长ME交CD于点N， 由题意得: AM=EF=CN=1.5米, ∠BEM=∠DMN, ∠BME=∠DNM=90°, ∴△BME∽△DNM, ∵AB=7米, ∴BM=AB-AM=7-1.5=5.5(米), 解得: DN=11米, ∴CD=CN+DN=1.5+11=12.5(米), 答：大楼CD的高度为12.5米. 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键. 17. 如图1, Rt△ABC中,∠ACB=90°, 点D, E分别是AC, BC的中点, 连接DE. 将△DCE绕点C逆时针旋转得到△D'CE'(如图2), 连接BE', AD'. (1) 求证: △AD'C∽△BE'C; (2) 已知AC=2, BC=4, 分别延长BE', AD'交于点F. ①若AF=3, 求BF的长; ②连接FC, 若 直接写出 的值. 【考点】相似形综合题. 【分析】(1)由中线可得 即可求解； (2) ①通过证明△BGF∽△AGC, 可得∠BFG=∠ACG=90°, 由勾股定理可求解; ②通过证明△CNA∽△CFB, 可得 由勾股定理可求解. 【解答】(1) 证明: ∵点D, E分别是AC, BC的中点, 即 又∵ ∴△AD'C∽△BE'C; (2) 解: ①如图, 设AF交BC于点G, 连接CF, ∵∠ACB=90°, AC=2, BC=4, 由 (1) 得△AD'C∽△BE'C, ∴∠D'AC=∠E'BC, 又∵∠BGF=∠AGC, ∴△BGF∽△AGC, ∴∠BFG=∠ACG=90°, ②如图, 过点C作CN⊥FC, 交AF于N, ∵CN⊥CF, ∴∠FCN=∠BCA=90°, ∴∠FCB=∠NCA, 又∵∠D'AC=∠E'BC, ∴△CNA∽△CFB, 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键. 18. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°. 半径为1的圆A 与边AB相交于点D, 与边 AC相交于点E, 连接DE并延长，与线段BC 的延长线交于点 P. (1) 当∠B=30°时, 连接AP, 若△AEP 与△BDP 相似, 求CE的长; (2) 若CE=2, BD=BC, 求∠BPD的正切值; (3) 若 设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式. 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理. 【分析】(1)当∠B=30°时, ∠A=60°, 此时△ADE是等边三角形, 则∠PEC=∠AED=60°, 由此可证得∠P=∠B=30°; 若△AEP与△BDP 相似, 那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°, 此时EP=EA=1, 即可在Rt△PEC中求得CE的长； (2) 若BD=BC, 可在Rt△ABC中, 由勾股定理求得BD、BC的长; 过C作CF∥DP交AB于F, 易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC 的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP 中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值； (3)过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD(即∠EDQ)的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中, 可用QE表示出AQ的长, 由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长; 易证得△ADQ∽△ABC, 根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式. 【解答】解: (1) ∵∠B=30°, ∠ACB=90°, ∴∠BAC=60°. ∵AD=AE, ∴∠AED=∠CEP=60°, ∴∠EPC=30°. ∴△BDP为等腰三角形. ∵△AEP与△BDP相似, ∴∠EPA=∠BPD=30°, ∴AE=EP=1. ∴在Rt△ECP 中, (2) 设BD=BC=x. 在Rt△ABC 中, 由勾股定理, 得: 解之得x=4, 即BC=4. 过点C作CF∥DP. ∴△ADE与△AFC相似, 即AF=AC, 即DF=EC=2, ∴BF=DF=2. ∵△BFC与△BDP相似, 即: BC=CP=4. (3) 过D点作 DQ⊥AC于点 Q. 则△DQE与△PCE相似, 设AQ=a, 则QE=1-a. 且 ∴DQ=3(1-a). ∵在 Rt△ADQ 中, 据勾股定理得: 即： 解之得a=1(舍去), ∵△ADQ与△ABC相似, ∴△ABC的周长 即: y=3+3x, 其中x>0. 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用能力，难度较大. 学科网（北京）股份有限公司 $