2025-2026学年北师大版九年级数学上学期期末复习试卷（一）

2025-2026年度期末复习试卷（一） 一、单选题 1．如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．下面四个命题，其中真命题是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 5．已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 7．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 10．如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（    ） A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥ 二、填空题 11．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 12．若是方程的一个根，则 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围为 ． 14．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_______ 15．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过A作轴于点B，点D为x轴正半轴上一点且，连接交y轴于点C，连接．若的面积为8，则k的值为 ． 16．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 第13题 第14题 第15题 第16题 三、解答题 17．计算： (1)； (2) (3) 18．在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 19．在诺贝尔获奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．某中学从全校随机抽取了部分学生，调查他们对这六位华人科学家的了解程度．调查结果分为四档，A档：非常了解（能详细介绍至少三位科学家的成就）；B档：比较了解（能介绍一到两位科学家的主要成就）；C档：基本了解（仅知道科学家名字）；D档：不太了解（几乎不了解这些科学家）．根据调查情况，绘制了如图所示的扇形统计图和统计表（均不完整）：根据以上信息解答下列问题： 调查结果 人数 频率 A档 20 B档 76 C档 0.45 D档 14 (1)填空：________，________，C档圆心角的度数为________； (2)已知全校共1500名学生，请你估计全校学生在B档的人数； (3)在A档的20名学生中，有4名学生来自初二年级，这4名学生由3名男生和1名女生构成，学校打算从这4名学生中随机抽取2名参加下一轮的深度科普学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生与1名女生的概率． 20．如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． (1)求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； (2)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 21．某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)_____，消毒效果最高效力是_____； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 22．如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 24．已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． (1)求b，c的值． (2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 25．在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． (1)已知． ①若函数的图象经过和两点，求函数的表达式； ②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求的最小值． (2)若函数图象经过和，且，求的取值范围． 26．在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 27．【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D A A A D B 1．D 【详解】解：A、该选项为从正面观察得到的主视图，此选项不符合题意； B、该选项不是所示几何体的视图，此选项不符合题意； C、该选项不是所示几何体的视图，此选项不符合题意； D、该选项呈现了从上方观察到的矩形轮廓，且内部虚线位置与不可见轮廓线一致，此选项符合题意． 故选：D． 2．B 【详解】解：A. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A为假命题； B. 根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形必为平行四边形（可通过内角和与平行线性质推导对边平行），故B为真命题； C. 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度相等仅当菱形为正方形时成立，故C为假命题； D. 对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，例如可构造满足条件但四边长度不等的四边形，故D为假命题． 故选：B． 3．C 【详解】解：取格点M，连接，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 4．C 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，，， 则， 不妨令小正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， ， ， 在中， ， 所以． 故选：C． 5．D 【详解】解：， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ，， ． 故选：D． 6．A 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 7．A 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 8．A 【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 9．D 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．B 【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ，即 ，故①错误； ∵， ∴，即 同号， ∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0）， ∴抛物线与轴的另一个交点为 ，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3）， ∴当时 ， ， 即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④错误； 观察图象得：当 时， ， 在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势， 即此时 随 的增大而增大， 又当 时， ， ∴，故⑤正确； 观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方， ∴不等式的解集为，故⑥正确； ∴正确的有②⑤⑥． 故选：B 11．/0.5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 12． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2024 13．或 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， 根据图象可得，当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 自变量的取值范围是或． 故答案为：或． 14．40 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【详解】解：设，则， ∵，的面积为8， ∴，的面积为4， ∴的面积为， ∴的面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 16． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 17． (1)11 (2)4 (3) 【详解】（1）解：， ， ， ； 2）解： ； （3）解： ． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【详解】（1）解：如图所示，点为所作； （2）解：如图所示，为所作； （3）解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 19．(1)；； (2)570 (3)恰好抽到1名男生与1名女生的概率为． 【详解】（1）解：抽取的人数为人， 则， 人， C档圆心角的度数为， 故答案为：；；； （2）解：估计全校学生在B档的人数人； （3）解：设3名男生分别用A、B、C表示，1名女生用D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果数有种， ∴恰好抽到1名男生与1名女生的概率为． 20．(1)海里 (2)海里 【详解】（1）解：如图，作交于，作交于， ， ， 是等腰三角形 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； （2），，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，，在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 21．(1)， (2) (3)有效 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴消毒效果最高效力是， 故答案为：，； （2）解：当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ∴持续时长为， ∴本次消毒有效． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 23．(1)， (2)或 (3)1或9 【详解】（1）∵反比例函数过点，， ∴，解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； （2）根据图象，不等式的解集为：或； （3）设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 24．(1)b＝-6，c=-3 (2)x＝－3时，y有最大值为6 (3)m＝－2或 【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶ ，解得：； （2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6）， ∵-1＜0 ∴抛物线开口向下，   又∵-4≤x≤0， ∴当x＝-3时，y有最大值为6． （3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3， ∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大， ①当-3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值为-3， 当x＝m时，y有最大值为， ∴+（-3）＝2， ∴m＝-2或m＝-4（舍去）． ②当m≤-3时， 当x＝-3时，y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为-4， ∴=-4， ∴m＝或m＝（舍去）． 综上所述，m＝-2或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 25．(1)①；②1 (2) 【详解】（1）解：①把和，代入得：， ∴， ∴函数的表达式为； ②由题意得，平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线与x轴恰好有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小为1； （2）解：在中，当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线对称轴为直线； 当，即抛物线开口向上时， ∵函数图象经过，且， ∴离直线比直线离抛物线对称轴更近， ∴抛物线对称轴在直线的左侧， ∴此时，这与已知条件矛盾， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小 ∵， ∴， ∴， 解得． 26．（1）90；；（2）①（1）中的结论仍然成立，证明见解析；② 【详解】解：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）①中的结论仍然成立，证明 ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴,； ②在中，∵，，， ∴， 由①得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 27．（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）∵和是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 证明：如图2，和是等腰直角三角形， ∴ ∴即 ∵， ∴， 即， 又∵ ∴ ∴， ∴ （3）如图3，过点作，使，连接，，，． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆． ∴当在的延长线上时，的值最大， 最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $