精品解析：安徽省宣城第二中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

安徽省宣城第二中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. （        ） A. B. C. D. 3. “为第一象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 4. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知扇形的圆心角为，面积为3，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数中为奇函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，方程有四个不同的实根 ，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____. 13. 若函数 的图象经过点 ，写出一个满足条件的 的值:_____. 14. 已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若，且，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值. 17. 已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）求 的所有零点组成的集合； （3）设函数 ，当 时，求 的最大值. 18. 已知函数是的反函数. （1）求的解析式; （2）求不等式的解集； （3）设，若存在，使得，求的取值范围. 19. 我们知道，“函数的图象关于轴对称”的充要条件是 “为偶函数”，有同学发现可以将其推广为“函数的图象关于直线对称”的充要条件是“为偶函数”．已知函数． （1）证明: 的图象关于直线对称． （2）判断 在 上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． （3）设函数 ，是否存在常数，且 ，使得在上的值域为 ? 若存在，求出的值;若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宣城第二中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】由题意得. 故选：C 2. （        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】解：， 故选：D 3. “为第一象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】若为第一象限角，则，故充分性成立， 若，则为第一象限角或者第二象限角或者终边在的正半轴上，故必要性不成立， 故选：A 4. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理及函数的单调性即可求解. 【详解】函数的定义域为. 与在上连续且单调递增， 所以在上连续且单调递增， 又 ， ， 所以零点所在的区间为 . 故选：C 5. 已知扇形的圆心角为，面积为3，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用面积公式求出扇形半径，结合弧长公式可得. 【详解】设半径为，则，得，从而弧长为. 故选：B 6. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质可进行比较大小. 【详解】由于 ，又 ， 所以 ， 综上可得： ， 故选：D 7. 已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论、，结合指数函数的单调性求区间最值，再由已知列方程求参数值，进而求函数值. 【详解】当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，即，又，解得， 此时函数，所以， 当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，方程无解. 综上，. 故选：B 8. 已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求得，然后利用二次函数的对称性确定整数解，进而列不等式求解的范围即可. 【详解】依题意，，解得或， 又在区间上单调递增，所以，所以. 关于的不等式恰有4个整数解， 因为抛物线的对称轴是，则4个整数解分别为， 于是可得 解得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数中为奇函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于 A ， ，所以不是奇函数； 对于B，，所以为奇函数； 对于C，，所以为偶函数，不是奇函数； 对于D，，所以为奇函数. 故选：BD 10. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据三角函数定义求得，然后利用诱导公式求值，即可判断各项. 【详解】由题意得，故A错误. ，故 B 正确. ，故 C 正确. ，故 D 正确. 故选：BCD 11. 已知函数，方程有四个不同的实根 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出函数的图象，由根的个数，数形结合确定参数范围，进而依次判断各项的正误. 【详解】依题意，作出函数的大致图象，如图， 由及的图象， 当方程有四个不同的实根时，，故正确； 由图及已知，关于直线对称，所以，故正确； 由，则，可得，故C错误； 所以，由图知且，即， 又函数在上单调递增，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数与对数的运算法则计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 13. 若函数 的图象经过点 ，写出一个满足条件的 的值:_____. 【答案】 (答案不唯一， 形式都正确) 【解析】 【分析】利用三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】由题意知 ，得 . 故答案为： (答案不唯一， 形式都正确) 14. 已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】取，求得，代入解析式求得，然后利用函数满足的等式求得函数周期性即可求得结果. 【详解】在中，令，可得， 所以，所以. 在中，用替换，可得， 又，所以， 用替换得，∴， 即以4为周期. 所以. 故答案为：2 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求集合，再根据补集的定义求出； （2）根据得出的一个取值范围，再由得出，进而列出关于的不等式组，求解不等式组并结合前面的取值范围，最终得出的取值范围. 【小问1详解】 由 ， 解得，所以 . 所以. 【小问2详解】 由，可得，所以. 由，得 . 由知， 则，解得. 综上，的取值范围为. 16. （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用商数关系弦化切，代入正切值可得； （2）根据已知求出，然后利用，，的关系求解可得. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为， 所以，即， 所以. 因为，所以，即， 又， 所以. 17. 已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）求 的所有零点组成的集合； （3）设函数 ，当 时，求 的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期公式即可求解； （2）由余弦函数的性质可求出余弦函数的零点集合，代入即可求解； （3）求出的值代入到中，利用和角公式化简，根据化简后的函数即可求解. 【小问1详解】 的最小正周期为 ； 【小问2详解】 函数 的所有零点为 ， 令 ，得 ， 所以 的所有零点组成的集合为 ； 【小问3详解】 ， 当 时， ， 则的取值范围为，所以， 当时 . 18. 已知函数是的反函数. （1）求的解析式; （2）求不等式的解集； （3）设，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由反函数的定义及指对运算求得答案； （2）由对数函数单调性得到函数单调区间，得到不等式组，求得不等式解集； （3）由（1）整理等式求得的表达式，通过换元，然后由二次函数的最值求得的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴，即的反函数为 ∴，即. 【小问2详解】 因为的定义域是，且是上的增函数， 所以由，得，解得， 故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由，得，整理得， ∴， 即在上有解. ，设，则在时有解， 又∵函数的对称轴为，即函数在上单调递增， ∴， 即，则. 故的取值范围为 19. 我们知道，“函数的图象关于轴对称”的充要条件是 “为偶函数”，有同学发现可以将其推广为“函数的图象关于直线对称”的充要条件是“为偶函数”．已知函数． （1）证明: 的图象关于直线对称． （2）判断 在 上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． （3）设函数 ，是否存在常数，且 ，使得在上的值域为 ? 若存在，求出的值;若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ， ， ， 的图象关于直线对称． （2） 在上单调递增： 证明: 任取 ，且 ， 则， ，单调递增，， ，故， ， ， 即 ， 在上单调递增． （3）不存在，理由： 在上单调递增， 又，在上单调递增， 假设存在满足条件的 ， 则 即 ， 则是方程的两个不同的根， 即是方程的两个不同的根， 设，则，上述问题等价于方程有两个大于4的根， ，方程有一个正根，一个负根，不符合条件， 不存在满足条件的常数． 【解析】 【分析】（1）利用函数的对称性结合已知条件证明结论； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）利用对数函数的性质结合函数单调性，利用反证法证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $