圆锥曲线小题（非离心率）训练-2026届高考数学二轮复习

圆 锥 曲 线 综 合1 1.(1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.椭圆离心率 ， 3.双曲线离心率 ， 4.已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 5. 已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 6. 椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形） 6. 双曲线焦点三角形面积公式： 考点一 曲线基本概念 1.（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 ． 2.（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）（多选）已知曲线，其中，则（    ） A．存在使得C为两条直线 B．存在使得C为圆 C．若C为椭圆，则越大，C的离心率越大 D．若C为双曲线，则越大，C的离心率越小 3.（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为 . 5. （贵州省安顺市2025届高三第六次监测考试）已知抛物线的顶点和焦点分别为，则以线段为直径的圆的方程是 ． 考点二 距离问题 1.(2024·常德沅澧共同体联考)已知抛物线方程为y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1，设P为抛物线上的点，Q为圆上的一点，则|PF|+|PQ|的最小值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 2.（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 3.（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知椭圆，点是椭圆上的任一点，则点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 4.（山东省实验2024届高三一模）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 ． 5.（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 6.（多选）（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟）已知P为抛物线C：上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点P到直线l与到直线的距离之和的最小值为2 C．若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为 D．过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，外接圆面积的最小值为 考点三 圆锥曲线焦点三角形 1.（多选）（2024·山东济南·一模）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是C上任意一点，则（    ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 2.（多选）（湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期第一次模拟）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．时，满足的点有2个 B．时，满足的点有4个 C．的周长等于 D．的最大值为a2 3.（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 4.（多选）（江苏省苏北七市2025届高三第三次调研）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（   ） A． B． C．的最小值为 D．到的距离的最大值为 5.（多选）（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 6.（多选）（贵州省遵义市汇川区遵义航天高级中学2026届高三模拟）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D．为定值 7.（陕西省汉中市2026届高三第一次教学质量检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，分别是的左、右顶点，为上不与，重合的动点．设的离心率为，为的内心，为内切圆的半径，延长交线段于点，则（    ） A．直线和斜率的乘积为 B．直线和斜率的乘积为 C．点到轴的距离为 D． 考点四 圆锥曲线与直线 1.（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 . 2.（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 3.(2024·北京)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为　　　　.  4.（2024·重庆·一模）已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在 C．不存在以为直径且经过焦点的圆 D．当的面积为时，直线的倾斜角为或 考点五 圆锥曲线应用 1.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越扁 2.1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个点正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 3.（吉林省长春市2025年三模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆 锥 曲 线 综 合1 1.(1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.椭圆离心率 ， 3.双曲线离心率 ， 4.已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 5. 已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 6. 椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形） 6. 双曲线焦点三角形面积公式： 考点一 曲线基本概念 1.（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 ． 【答案】【详解】圆锥曲线的离心率为，则该圆锥曲线是双曲线，将方程化成焦点在轴上的标准形式，由离心率， 有，得． 2.（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）（多选）已知曲线，其中，则（    ） A．存在使得C为两条直线 B．存在使得C为圆 C．若C为椭圆，则越大，C的离心率越大 D．若C为双曲线，则越大，C的离心率越小 【答案】ABD【详解】对于A，若，则曲线，即，为两条直线，故A正确；对于B，若C为圆，则,由，，可得，解得，满足，故B正确；对于C，若C为椭圆，则，且，所以.可化为，若，即，，则椭圆C的离心率为,当时，单调递减，故C错误；对于D，时，，若C为双曲线，则，即，得.曲线可化为，故双曲线C的离心率为，当时，单调递减 3.（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）椭圆的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为椭圆的长轴长为6，所以椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 4.（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】【详解】因为双曲线的离心率，所以，又双曲线，所以渐近线方程为， 5.（贵州省安顺市2025届高三第六次监测考试）已知抛物线的顶点和焦点分别为，则以线段为直径的圆的方程是 ． 【答案】【详解】由抛物线可得：顶点坐标为，焦点坐标为.所以线段的中点坐标为，.则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以以线段为直径的圆的方程为：. 考点二 距离问题 1.(2024·常德沅澧共同体联考)已知抛物线方程为y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1，设P为抛物线上的点，Q为圆上的一点，则|PF|+|PQ|的最小值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】　C解析　由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4，0)，准线方程为x=-4，过点P作准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|≥|QN|.当Q点固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1，得圆心M(5，1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|-r=8. 2.（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C【详解】，点是椭圆上的点，设，如图．    记题中代数式为M，则，等号当点E，A，P依次共线时取得．因此所求最小值为． 3.（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知椭圆，点是椭圆上的任一点，则点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】设椭圆上的点，则点到直线的距离为，故当时，. 4.（山东省实验2024届高三一模）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意的最小值为到直线上距离的最小值，再设，则当处的切线与平行时取得最小值. 【详解】由题意的最小值为曲线上点到直线距离的最小值， 设，则为增函数， 令则，故当时，单调递减；当时，单调递增. 故，即在曲线下方. 则当处的切线与平行时取得最小值. 设，对求导有，由可得. 故当时取最小值. 5.（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【答案】D【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，，根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 6.（多选）（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟）已知P为抛物线C：上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点P到直线l与到直线的距离之和的最小值为2 C．若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为 D．过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，外接圆面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对B，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对C，把存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解；对D，设切线，与抛物线分别切于M，N，设，，求出切线的方程，进而求出点坐标，利用向量验证可得，，可得E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为，问题转化为求最小，即为点F到直线的距离问题求解. 【详解】对于A，抛物线C：，焦点，准线m：，， 过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，再过点A作准线m：的垂线，垂足为B，    由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，交直线n：于点N， 过点P作直线l：的垂线，垂足为H， 过点F作直线l：的垂线，垂足为G，      由点F到直线l：的距离公式可得：， 则点P到直线l与到直线的距离之和为： ，故B错误； 对于C．    根据过点P可作两条垂直的直线与圆相切，如图，设切点为T，可知． 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点P到圆心M的距离为， 先求抛物线上点到圆心的距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故C正确． 对于D，切线，与抛物线分别切于M，N，设，， 因为，故，故，， 故直线EA：，同理，直线EB：， 由，可得，故， 又，故，， 故，同理，故，， 所以E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为， 所以即为F到直线的距离，此距离为2． 故，即的外接圆的半径的最小值为1，故的外接圆面积的最小值为．    考点三 圆锥曲线焦点三角形 1.（多选）（2024·山东济南·一模）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是C上任意一点，则（    ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD【详解】由椭圆得则所以，故A错误;易知的周长为故B正确；当在椭圆长轴的一个端点时，取得最小值，最小值为，故C错误；由基本不等式得，当且仅当时取等，则取得最大值16，故D正确. 2.（多选）（湖南省沅澧共同体2024-2025学年高三下学期第一次模拟）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．时，满足的点有2个 B．时，满足的点有4个 C．的周长等于 D．的最大值为a2 【答案】ABD 【分析】对和，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点，利用余弦定理与基本不等式即可得到答案； 对，结合椭圆定义及和的大小关系即可得到答案； 对，结合椭圆定义及基本不等式即可得到答案. 【详解】对和， 又 又 当时，，两个短轴端点恰能使，正确； 当时，，点位于短轴端点时，为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使，正确； 对， ， 的周长为，错误； 对， ， ，正确. 3.（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算再来求数量积，可得，再利用底边为的焦半径三角面积，可求出高为，从而可得一条渐近线的斜率，则即可解得离心率. 【详解】 不妨设点在第一象限内，为坐标原点， 由，得. 由的面积为，结合三角形面积公式得：点到轴的距离为， 所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为， 因此的离心率. 故选：B. 4.（多选）（江苏省苏北七市2025届高三第三次调研）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（   ） A． B． C．的最小值为 D．到的距离的最大值为 【答案】AC 【分析】由题意求出双曲线的渐近线方程即可判断A；根据双曲线的定义即可判断B；设，则，根据平面向量数量积的坐标表示可得，即可判断C；利用点到直线的距离公式计算即可判断D. 【详解】A：由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线交于点，需，故A正确； B：由双曲线的定义知， 又点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 有，所以，故B错误； C：设，则（或），得， 又，所以， 则， 即的最小值为-3，故C正确. D：，易知当时，，则到直线的距离为0； 当时，到直线即的距离为， 又且，所以，则， 即到直线的距离小于，故D错误. 5.（多选）（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【详解】如下图所示，设切点为，，，对于A，由椭圆的方程知：， 由椭圆的定义可得：，易知，所以，所以，故A正确； 对于BCD，， 又因为，解得：， 又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确； 从而，所以， 所以，而，所以，故C错误； 从而，故D正确.    6.（多选）（贵州省遵义市汇川区遵义航天高级中学2026届高三模拟）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D．为定值 【答案】ABC 【分析】求得双曲线的渐近线方程判断选项A；求得双曲线的离心率判断选项B；求得的内切圆的圆心与直线的位置关系判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】对于选项A：双曲线的渐近线方程是， 圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去）， 由，，可得双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：由，则离心率，故B正确； 对于选项C：设的内切圆与轴， 分别相切于点，    由圆的切线性质知 ， 即，所以， 因此内心在直线，即直线上，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 又渐近线方程是， 则，， ，则，故D错误. 故选:ABC. 7.（陕西省汉中市2026届高三第一次教学质量检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，分别是的左、右顶点，为上不与，重合的动点．设的离心率为，为的内心，为内切圆的半径，延长交线段于点，则（    ） A．直线和斜率的乘积为 B．直线和斜率的乘积为 C．点到轴的距离为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，设出的坐标结合在椭圆上计算即可；对于B，举反例即可求解； 对于C,等面积法即可求解；对于D，由角平分线分线段成比例定理，得，则，所以．又的离心率，所以，D正确． 【详解】如图： 设，则．因为，，所以 ，A正确． 当为上顶点时，此时，则，B错误． 的面积，又，所以，C正确． 在中，连接，．因为是的内心，所以，分别平分和．由角平分线分线段成比例定理，得，则．因为，，所以．又的离心率，所以，D正确． 考点四 圆锥曲线与直线 1.（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 . 【答案】【详解】 设，由题意知，，直线的方程为，与椭圆的方程联立化简得，所以，故，解得，所以，椭圆的方程为. 2.（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【答案】 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 3.(2024·北京)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为　　　　.  答案　(答案不唯一) 解析　由题意，知该双曲线的渐近线方程为y=±x，直线y=k(x-3)过定点(3，0).因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k=±. 4.（2024·重庆·一模）已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在 C．不存在以为直径且经过焦点的圆 D．当的面积为时，直线的倾斜角为或 【答案】AD【详解】对A，由题意得，准线方程为，则，显然当直线的斜率为0，即直线的方程为，此时不合题意，设直线的方程为， 联立抛物线方程，得，，解得或， ，，，，则，，则， ，，则，A正确； 对B，当直线与抛物线相切时，最大，则，解得，根据抛物线对称性取分析：此时直线方程为，此时直线斜率为1，则，因此不存在，B错误； 对C，假设存在以为直径且经过焦点的圆，则， ，则， 即，, 即，即，，满足或， 即存在以为直径且经过焦点的圆，C错误； 对D，，， 此时直线斜率为，则直线的倾斜角为或，故D正确. 考点五 圆锥曲线应用 1.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越扁 【答案】BC 【分析】根据条件得到，，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】由题知，解得，， 对于选项A，因为轨道的焦距为，所以选项A错误， 对于选项B，因为离心率为，所以选项B正确， 对于选项C，因为轨道的短轴长为，所以选项C正确， 对于选项D，因为，则越大时，离心率越小，则轨道越圆，所以选项D错误， 2.1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个点正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】在中，设， ，，，，，∴长轴长，，则离心率． 3.（吉林省长春市2025年三模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案.【详解】由题意的，，则，， 所以，在中，，，，且，则，，， 则，所以， 由正弦定理得，，即. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $