精品解析：广东省深圳外国语学校2025-2026学年高三上学期第14周周测数学试题（1.8）

深圳外国语学校2026届高三年级统一测试 数学第十四次周测 时间：1月8日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集的定义求解. 【详解】不等式，解得， 即，而， 所以或. 故选：D 2. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】利用下标和性质分别求出和即可得解. 【详解】设等差数列的首项为，等比数列的首项为， 则， 所以. 故选：D 3. 一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据个数确定中位数和70百分位数的位置，再结合他们之间的关系求解的值. 【详解】该组数中位数为，70百分位数为，所以，故. 故选：A. 4. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式得出，根据双曲线离心率的公式即可求解. 【详解】双曲线的顶点到渐近线的距离为， 即，又，则，即， 则离心率. 故选：A. 5. 已知等比数列前项和为， 若，，则（ ） A. 128 B. 255 C. 256 D. 511 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前项和意义求出公比及首项，再利用前项和公式求解. 【详解】设等比数列的公比为且，由，得，解得， 由，得，即，而，因此， 经验证符合题意，所以. 故选：B 6. 在中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，，，，则面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理变形给定等式可得，再利用直角三角形边角关系求出即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得，整理得， 因此，而，则，又， 于是，，而，则， 所以面积. 故选：C 7. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. B. 10 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 8. 已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线、底面半径和高，再由轴截面内切圆求出内切球半径，分别求出体积，根据体积比与高之比的关系即可得解. 【详解】由题意，，则， 则圆锥母线，底面半径，高， 圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，且其半径为，轴截面如图所示， ，得， 则，而， 设水面高度为，则，得. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】AC 【解析】 【分析】由即可分析求解判断A；举反例即可判断BD；由不等式性质即可分析判断C； 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，故A正确； 当，满足，但，故B错误； 若，则，则即，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：AC 10. 在某次校园十佳歌手比赛中，八名评委根据参赛选手的表现在5，6，7，8，9，10这六个分值中选择一个作为选手分数，按照规则，八个得分中去掉一个最高分和一个最低分（如有同分，则只去掉同分中的一个），剩下的六个分数作为有效得分.现对某名选手的六个有效得分进行统计，发现其平均值为.在对这六个有效得分统计的下述结论中，一定能判断六个有效得分的中位数不超过8的是（ ） A. 仅出现一个分数是5 B. 极差为4 C. 众数为7 D. 方差不超过3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均值得到六个数据的总和为，要使得中位数超过，第三、第四个数据只能为或或或，分四种情况讨论得到这组数据只能是，要使得中位数不超过，则只需要排除这组数据，依据这组数据的数字特征选出正确答案. 【详解】因为平均数为，所以六个数据的总和为， 六个有效得分的中位数如果超过，则六个数据从小到大排列后的第三、第四个数据只能为或或或，以下分四种情况讨论： （1）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时四个数据的和为，则剩下的两个数据和为， 所以这组数据只能为； （2）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时四个数据的和为，则剩下的两个数据和为， 因为后两个数据不小于，因此不存在第三、第四个分数为的有效得分； （3）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时这六个数据为，和为， 因此不存在第三、第四个数据为的有效得分； （4）若为，因为只能从5，6，7，8，9，10中取，则前两个数据的和最小为， 此时这六个数据为，和为， 因此不存在第三、第四个数据为的有效得分； 综上所述，要使得中位数超过，则这六个有效得分只能是，中位数为 因此，只要不是这组数据，即可保证中位数不超过， 这组数据中有个，极差为，众数为， 方差为， 所以仅出现一个分数是5的数据中位数不会超过8，A正确； 极差为4的数据可以是，中位数，B错误； 众数是7的数据中位数不会超过8，C正确； 方差不超过的数据中位数不会超过8，D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数）的部分图象如图所示，将方程的所有正实数根从小到大排列得到，则（ ） A. B. 存在正整数使得 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由图可求函数的解析式可判断A；利用解析式计算可判断BC；解方程求解可判断D. 【详解】由图可知，，所以，即，所以，故A选项错误； 因为，所以， 由图，，解得，所以， 又由于对任意正整数除以4的余数总是0或1， 所以，故B选项错误； 由，所以， 又因为，所以，故C选项正确； 令，则或，其中为整数， 则或，其中为整数， 按大小排序后，可知，代入满足D项等式，故D选项正确. 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示椭圆，则的取值范围为___________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆方程的标准形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程表示椭圆， 则满足 ； 解得或，所以实数的取值范围. 故答案为：. 13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出，再根据决定系数公式求出. 【详解】因为，两边取对数可得， 又，， 依题意回归直线方程必过样本中心点， 所以，解得，所以， 又. 故答案为：； 14. 函数有两个零点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将题设问题等价转化成函数图象与直线在上有两个交点，利用导数工具研究函数的单调性和最值并数形结合即可求解. 【详解】由题可得方程在上有两个根方程在上有两个根 函数图象与直线在上有两个交点， ，则， 所以时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又时且，， 所以时，则，时，则 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 时且时且，如图， 所以函数图象与直线在上有两个交点，则. 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共 47分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 x 10 20 30 40 50 y 70 80 100 120 130 （1）若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于x的回归直线方程．（参考数据：） （2）基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160位学生．按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2列联表： 成绩没有进步 成绩有进步 合计 参与课后自主学习 5 135 140 未参与课后自主学习 5 15 20 合计 10 150 160 依据的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）在犯错概率不超过的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关. 【解析】 【分析】（1）先计算，进而得即可求解； （2）计算卡方，利用独立性检验思想即可求解. 【小问1详解】 由题意有， ， ， 所以，， 所以； 【小问2详解】 由题意有， 所以在犯错概率不超过的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关. 16. 如图，在三棱锥中，已知，，，，，. （1）若为的中点，求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 过作面，垂足为，连接，，， 因为，，，所以，所以， 又因为面，面，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为面，所以，同理， 因为，所以四边形为矩形， 在矩形中，可得，所以，所以， 又因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面，平面，所以 （2）. 【解析】 【分析】（1）过作面，证得，再由面，得到，证得平面，得到，同理，由，得到，证得和，得到平面，进而得到. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示 由，可得，且，，， 所以，，，. 设为平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 设为平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. （1）求C的方程； （2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，点在上，由抛物线的定义，可得，进而得到抛物线的标准方程； （2）（ⅰ）设点，求得切线方程为，得到，再求得和的方程，联立方程组，求得，得到，结合，得到，由抛物线的定义，求得，即可求解； （ⅱ）由（i）知，得到点在以点为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在上，且，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得， 则， 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或. （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026届高三年级统一测试 数学第十四次周测 时间：1月8日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 3. 一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 4. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知等比数列前项和为， 若，，则（ ） A. 128 B. 255 C. 256 D. 511 6. 在中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，，，，则面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 7. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. B. 10 C. 2 D. 8. 已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 10. 在某次校园十佳歌手比赛中，八名评委根据参赛选手的表现在5，6，7，8，9，10这六个分值中选择一个作为选手分数，按照规则，八个得分中去掉一个最高分和一个最低分（如有同分，则只去掉同分中的一个），剩下的六个分数作为有效得分.现对某名选手的六个有效得分进行统计，发现其平均值为.在对这六个有效得分统计的下述结论中，一定能判断六个有效得分的中位数不超过8的是（ ） A. 仅出现一个分数是5 B. 极差为4 C. 众数为7 D. 方差不超过3 11. 已知函数）的部分图象如图所示，将方程的所有正实数根从小到大排列得到，则（ ） A. B. 存在正整数使得 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示椭圆，则的取值范围为___________． 13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 14. 函数有两个零点，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共3小题，共 47分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 x 10 20 30 40 50 y 70 80 100 120 130 （1）若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于x的回归直线方程．（参考数据：） （2）基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160位学生．按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2列联表： 成绩没有进步 成绩有进步 合计 参与课后自主学习 5 135 140 未参与课后自主学习 5 15 20 合计 10 150 160 依据的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在三棱锥中，已知，，，，，. （1）若为的中点，求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. （1）求C的方程； （2）过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $