浙江省杭州市西湖区2025-2026学年九年级上学期期末数学复习试卷

浙江省杭州市西湖区2025-2026学年九年级上学期期末数学复习试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将二次函数化为的形式，结果为(    ) A. B. C. D. 2.如图，AB是的直径，C是上一点．若，则的度数为     A. B. C. D. 3.如图，在中，D是AB上一点，连接CD，下列条件中不能判断的是    A. B. C. D. 4.如图为一座拱形桥示意图，桥身弦长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为(    ) A. 3 B. C. 2 D. 5.五一期间，小明和小聪准备去大学里参观游玩，两人决定分别从北京大学、复旦大学和浙江大学这三所大学里随机选择一所大学参观游玩，小明和小聪选择同一所大学的概率为(    ) A. B. C. D. 6.如图，正方形ABCD内接于圆O，，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 7.如图，中，，将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，则该纸杯杯底的直径为    A. B. 5cm C. D. 6cm 9.如图，在中，，，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B， D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接以下结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 10.二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有     A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若，则          . 12.在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为           13.如图，四边形ABCO的顶点A、B、C在上，若，则           14.竖直上抛某物体时，物体离地面的高度与运动时间之间的关系可用公式来表示，由公式可知，该物体经过          s离地面的高度为 15.如图，在钝角三角形ABC中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是          . 16.如图，AB是的直径，点C，点D是半圆上两点，连结相交于点P，连结已知于点E，；下列结论：①；②若点P为AC的中点，则；③若，则；④；其中正确的是          . 三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题5分 已知二次函数的图象经过两点． 求b和c的值． 当时，求y的取值范围． 18.本小题5分 某学校开展会员核酸检测，设立了A，B，C三个检测小组． 学生甲随机选择一个小组进行核酸检测，则他选择A组的概率为          . 学生乙、丙分别选择一个小组进行核酸检测，求乙、丙在同一小组的概率用树状图或列表法分析 19.本小题5分 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，连接有以下四个条件： ①；②；③；④ 请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 在的前提下，若点E为AC中点，，求线段AB的长． 20.本小题5分 如图中，，在BC上取一点D使，连结AD，作的外接圆，交AB于点 求证：； 若，，求 AC的长． 21.本小题9分 日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． 设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与 x之间的函数关系式； 如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元? 每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元? 22.本小题9分 【发现问题】如图1，已知和均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是           ． 将图1中的绕点 C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点 ①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线AD和直线BE交于点F，直接写出的度数和线段AD、BE间的数量关系． 23.本小题5分 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，， 求抛物线的解析式及点C的坐标； 动点 M从点 O出发，以每秒2个单位长度的速度向点 B运动，过点 M作 x轴的垂线交抛物线于点 N，交线段BC于点 Q，设运动时间为秒． ①若，请求出t的值； ②的面积何时取最大值？最大值是多少？ 24.本小题9分 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点 求证：∽； 如果BD平分，，，求DE的长； 如果，，求证： 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的表示形式，将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得. 【解答】 解： 故选 2.【答案】B  【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】解：， ， 又， ， 故选： 3.【答案】C  【解析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可依次排除选项． 【详解】解：， 、由可判定，故不符合题意； B、由可判定，故不符合题意； C、由不能判定，故符合题意； D、由可判定，故不符合题意； 故选 4.【答案】C  【解析】解：连接OA， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故选： 根据垂径定理、勾股定理进行计算即可． 本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提． 5.【答案】A  【解析】本题考查用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解题的关键．先画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小聪选择同一所大学的结果数，再利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：设“北京大学、复旦大学和浙江大学”这三所大学分别为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小聪选择同一所大学的结果有3种， 小明和小聪选择同一所大学的概率为， 故选： 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和勾股定理．连接OA、OB，利用正方形的性质和勾股定理得出，根据阴影部分的面积列式计算可得． 【解答】 解：连接OA、OB， 四边形ABCD是正方形， ，， 设，根据勾股定理得， ， 可得， 所以阴影部分的面积， 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转可得，，，得，根据，即可得到得的度数． 【解答】 解：，， 将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上， ，，， ， 故选 8.【答案】B  【解析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出BN，CM的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心O，过点O作于N，交CD于点M，连接OC，OB， ， ， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为 故选： 9.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图-基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：CP平分，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后根据黄金三角形的定义可得，从而可得，再利用三角形的面积可得，从而进行计算即可解答． 【解答】 解：，， ， 由题意得：CP平分， ，故A正确； ， ， ， ， ， ，故B正确； 是顶角为的等腰三角形， 是黄金三角形， ， ，故C不正确； ， ，故D正确. 故A、B、D不符合题意，C符合题意； 故选 10.【答案】D  【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】   解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即 抛物线与y轴交于正半轴，则 故①正确； ②抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为直线， 时，， 而， 即， 故②正确； ③时，， 而 故③正确； ④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是 当时， 故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选 11.【答案】  【解析】解：， ， ， 将其代入得： 原式， 故答案为： 由比例的基本性质，可得，进而得，代入计算即可． 本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键． 12.【答案】12  【解析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．摸到白球的概率为，利用概率公式建立关于m的方程，解之可得． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为： 13.【答案】100  【解析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，在优弧AC上取一点D，连接AD、DC，根据圆内接四边形对角互补得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图，在优弧AC上取一点D，连接AD、DC， ， 又， ， ， 故答案为： 14.【答案】2或3  【解析】利用二次函数的性质把代入，求出即可． 【详解】解：设该物体经过ts离地面的高度为30m 则整理得： 解得：或3 15.【答案】3秒或秒  【解析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论列式求解即可求出本题答案． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则， ①当D与B对应时，有 ， ， ； ②当D与C对应时，有 ， ， 故答案为：3秒或秒． 16.【答案】①②③  【解析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由AB是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点P为AC的中点，得出，进而证明≌全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接OD，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④． 【详解】解：①， ， ， 是的直径， ， ， 故①正确，符合题意； ②点P为AC的中点， ， 为直径， ， ， ≌， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ③连接OD， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故③正确，符合题意； ④， ， 当时，， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 17.【答案】【小题1】 解：二次函数的图象经过两点， ， 解得， 即b的值为，c的值为2； 【小题2】 解：由得：二次函数的解析式为 ， 该函数图象的对称轴为直线，开口向上， ，且， 当时，该函数取得最大值9； 当时，该函数取得最小值， 当时，y的取值范围是   【解析】  本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． 把利用待定系数法，求出b、c的值即可求解；   根据二次函数的性质，可得该函数图象的对称轴为直线，开口向上，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 18.【答案】【小题1】 【小题2】 解：树状图如下 乙、丙在同一小组核酸检测的概率 或列表法如图 A B C A B C   【解析】  根据概率的公式计算即可； 【详解】解：总共有三组， 甲选A的概率为：   画出树状图，找出乙、丙在同一组的情况数，根据概率公式计算即可． 19.【答案】【小题1】 解：选：①， 理由：，， ； 选：②， 理由：，， ， ， ； 选③： 理由：， ， ， ； 选：④：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； 【小题2】 解：， ， 点E为AC中点， ， ， ， ， ， ， 线段AB的长为   【解析】  本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证；   由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 20.【答案】【小题1】 连结DE，， 为直径，， ，三线合一 【小题2】 设，则， ， ， ，得取正值 ， 根据勾股定理得：   【解析】  连结DE，根据，可得AD为直径，则有，并且，所以DE是三线合一的线，可以得出   根据，，可证，则有，化简得，利用勾股定理可求得AC的长， 21.【答案】【小题1】 解：根据题意得， ， 与x之间的函数关系式：； 【小题2】 解：根据题意，得：， 解得， 尽可能让利于顾客， ， 答：每个毛绒玩具售价应定为45元； 【小题3】 解：根据题意，得：， ， 抛物线开口向下， 抛物线对称轴为直线， 当时，元． 答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元．   【解析】  本题考查二次函数的销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的关系． 根据“每天可售出80个，每个售价提高1元，则每天少卖2个”列式整理即可求解；   根据利润等于售价销量，列一元二次方程方程，解方程即可求解；   根据利润等于单价乘以数量列出二次函数的解析式，结合二次函数的性质求解即可得到答案． 22.【答案】【小题1】 【小题2】 ①结论：， 证明：和均为等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ， ≌， ； ②由①可知，≌， ， 为等边三角形， ， ， ； 【小题3】 ，， ， 由勾股定理得，， ，     同理，，， ， ，， ， ， ，即，， ，   【解析】  根据等边三角形的性质，可得线段AD和BE的数量关系； 【详解】解：和均为等边三角形， ，， ；   ①利用等边三角形的性质可以证明≌，从而得到线段AD和BE的数量关系； ②在①的基础上可得，运用三角形内角和定理可求出的度数；   利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以求出，运用等量代换可以求出，则根据相似三角形的性质与三角形内角和定理，可以得出的度数和线段AD、BE间的数量关系． 23.【答案】【小题1】 解：把，，代入中，得：， 解得， 抛物线的解析式为， 点坐标为； 【小题2】 解：①如图，连接，    设点，则， ，， ， 时，有，整理得：， 解得：不符合题意，舍去，， 当时，； ②如图，连接CN，    设直线BC的解析式为则有：， 解得， 直线BC的解析式为， ， 当QN最大时，的面积最大， ，则， ， ， 当时，的面积最大，最大值是   【解析】  将点A、B坐标代入中，即可求解；   ①如图，连接，设点，则，，，，则，即可求解；②连接CN，确定直线BC的解析式为，当QN最大时，的面积有最大值，求解即可． 24.【答案】【小题1】 证明：，， ∽； 【小题2】 解：平分， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 【小题3】 证明：， ，， ， ， ， ， ， 而， ， ， 四边形ABCD内接于圆，    ， 又， ， ，   【解析】  可得出，，则结论得证；   证明∽，可得，可求出BE长，则DE可求出；   根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明；根据等腰三角形的判定与性质和圆周角定理可证明，则结论得出． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $