2025-2026学年浙教版九年级数学上册期末冲刺卷

2025-2026学年浙教版九年级数学上册期末冲刺卷 一、单选题（每题3分.共计30分） 1.某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s.小明爸爸随机地 由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是() A.小明爸爸遇到红灯是必然事件 B.小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C.小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D.小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 2.下列说法正确的是() A.“通常加热到100℃时，水沸腾”是随机事件 B.重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次， 2 盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为2.在某次试验中，小明前三次抛掷 硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D.小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为0.4.在接下 来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 a 3 3.已知b2,则下列结论不正确的是() A60 a+b 5 a+14 B.2a=3b D.b+13 4.若”=(a-4中+7x-5是二次函数，则“的值为() A.-4 B.4 C.±4 D.±2 5.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的 面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为8m,宽为5m的长方形，将不规则图案围起 来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小 球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了图 2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是() 试卷第1页，共3页 小球落在不规则图案内的频率 0.4 0.35 0. 060120180240300360420实验次数 图1 图2 A. 12m2 B.14m2 16m2 18m2 D. 6.已知抛物线：y=-(x-1)+a(a为常数)与抛物线工'关于y轴对称，A-2, B),C2,)都是抛物线L上的点，则片、、乃的大小关系是（) A.片>乃>为 B.片>5>5 C.⅓>乃>y D. y2>出>3 7.已知二次函数”=ar+r+a≠0的图象如图所示，则下列结论正确的是 abc<0 A. B.b-4ac< C.4a+2b+c=0 D.a-b+c<0 8.如图，在以AB为直径的⊙O中，C为OB上一点.以点C为圆心，BC长为半径画弧， 1 与1B相交于点D:分别以点g'D为圆心，大于D为半径画弧，两弧（弧所在圆的半 径相等)相交于点E;画直线EC与⊙O相交于点F,G,连接AG.若OA=5,BC=2,则 线段AG的长为() 试卷第2页，共3页 B A. 45 B.8 C.55 D.10 9.如图，点AB在双曲线=x0上，直线B分别与，轴、y轴交于点CD: 与双曲线y=2(x<0)交于点E,连接O4OB:若S,c=20,AB=3BC,AD=DE,则 k的值为(） B Cx A.-10 B.-11 C.-12 D.-13 I0.如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，P是AB边上的动点（不与点A,B重 EO 合)，以E为中心，将线段P逆时针旋转90，得到线段2.给出下面四个结论： 90° D ○ ∠APE=∠QED ① ②AP<AE: ③D,Q两点间距离的最小值大于C,Q两点间距离的最小值： ④点Q到直线AD,BC的距离相等. 试卷第3页，共3页 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小 明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号 的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子 中，被标记的豆子有5粒.小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为粒 I2.如图，在梯形ABCD中，ADBC,AC与BD相交于点O,如果BC=2AD,那么 SAAOD:SABOC的值为. 0 13.一身高l.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出 手.按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用)=02x+3.5 来描述，那么 球出手时，运动员跳离地面的高度为_m. 0.25 3.05 1.8 14.如图，圆弧形桥拱的跨度AB为24米，拱桥所在圆的半径为13米，则拱高CD为 试卷第4页，共3页 l5.如图，在锐角△ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从点A出发到点B停止，动 点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为lcms,点E运动的速度为2cms,如果两 点同时开始运动，那么以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为秒. 16.如图，在扇形 1B中，已知∠40B=90°，01=5，过4B的中点C作CD101 CE⊥OB,垂足分别为D、E,则图中阴影部分的面积为一· 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.已知函数y=(m+则r+m-到x+m-1是关于x的二次函数。 (1)求m的值： (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项. 18.如图为某住宅小区新修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，己知该拱门接触地面的 跨度为8m,拱门顶端最高处的高度为3m,小青以拱门的左边缘O为原点，地面所在直线 为x轴，垂直于地面的直线为V轴，建立如图所示的平面直角坐标系. Ay/m 3 8x/m (I)求拱门所在抛物线的函数表达式： (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为1.5m的支柱，支 柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离。 19.为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军 饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计 图，如图所示.根据图中信息解答下列问题. 试卷第5页，共3页 人数 84 84 红军饼松花蛋 72 72 48 48 酸辣粉 卤土鸡 36 m 30% 24 0 松花蛋卤土鸡酸辣粉红军饼美食 (1)本次共调查游客_人，扇形统计图中m的值为_； (2)将条形统计图补充完整： (3)该旅行社推出活动，游客可从上述4种美食中随机选择两种免费品尝.请用画树状图或 列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率. 20.在平面直角坐标系中，已知OA=10cm,OB=5cm,点P从点O开始沿OA边向点A以 2cm/s 的速度移动：点P从点B开始沿80边向点O以1cms的速度移动.如果人 BO ,P、Q 同时 出发，用 t(s) 表示移动的时间 0≤t≤5) OP )用含1的代数式表示：线段P0=cm,00=cm APOB 9cm2 (2)求当1为何值时，四边形 的面积为 △POQ,△AOB (3)当 与 相似时，求出t的值. 21.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC到D,连接DA并延长，与⊙O交于 点E,连接AC、CE,使得∠D=∠E. 试卷第6页，共3页 E B (I)求证：BC=CD 4 (2)若AB=4:弧BC的长为3π，连接AC,求扇形AOC的面积. 2.已知二次函数=ar+bx+c的图像经过0，-)，（-6c小两点，其中a,b,c为常数， 且ab>0. 备用图 (I)求a,c的值； (2)若该二次函数的最小值是4，且它的图像与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C. ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,B的坐标： ②如图，在第三象限内二次函数的图像上有一动点P,连接BP,与直线AC交于点E,当 PE PE E的值最大时，求点P的坐标，及BE的值. B 23 图1 图2 图3 基础过关 试卷第7页，共3页 (1)如图1，在Rt△ABC中，DB=90°，∠A=60°，AB=2,则BC= 方法突破 (2)如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点D为线段 AC上一点，且AD=4,CD=2,求DE的长. 迁移应用 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，过点12,0)在x轴上方作射线AB ,使得∠OAB=120°.点M为射线AB上一动点，连接OM,将线段OM绕点O逆时针旋 转0°得到线段N.点P-6.0,Q0,2 为坐标轴上两点，连接PW、№.求 PN+。NQ的最小值. 24.如图，B是半圆”的直径，C为半圆弧上一点，连接 0 C,CD⊥AB ,垂足为 D,M 是 CD上一点，连接MM并延长交BC于点 E,AF⊥E ,垂足为F M OD B (I)求证：∠E=∠ACD: CM CD (2)求证：CEEF： (3)若AB=5,当M是CD中点时，请直接写出EF的最大值. 试卷第8页，共3页 2025-2026学年浙教版九年级数学上册期末冲刺卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 【答案】D 【分析】本题考查概率与事件的概念，A选项为必然事件，B选项频率与概率不符，C选项忽略独立性，D选项符合概率的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： A、水在标准大气压下加热到必然沸腾，是必然事件，不是随机事件，故A错误； B、盖面向上的频率为，但估计概率为，与频率不符，故B错误； C、抛掷硬币每次独立，第四次结果不确定，不一定是正面朝上，故C错误； D、概率0.4表示每次投篮投中的可能性，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，故D正确； 故选：D． 3．已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例性质，是解题的关键．由已知比例关系，可设，代入各选项逐一验证即得． 【详解】解：∵， ∴设． A：将代入A选项验证： 左边，右边， 左边右边，故A选项结论正确． B：，， ∴，故B选项结论正确． C：， 故C选项结论正确． D：当时，，则， 故D选项结论不正确． 故选：D． 4．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 5．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 6．已知抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称，，，都是抛物线上的点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，坐标与图形变化——轴对称，设点是抛物线上的一点，则点是抛物线上的一点，据此可得抛物线的解析式为，则可推出抛物线的开口向下，对称轴为直线，即在抛物线上的点离其对称轴越远，函数值越小，比较出三个点到直线的距离的大小即可得到答案． 【详解】解：设点是抛物线上的一点， ∵抛物线（a为常数）与抛物线关于y轴对称， ∴点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在抛物线上的点离其对称轴越远，函数值越小， ∵，，都是抛物线上的点，且， ∴， 故选：A． 7．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点和函数特殊值对应的图象位置是解题的关键．通过二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合函数表达式的特殊值，逐一判断选项． 【详解】解：∵图象开口向上，∴； ∵对称轴，∴； ∵图象与轴交于负半轴，∴； ∴，故A项错误． ∵图象与轴有2个交点，∴，故B项错误． ∵当时，，且图象过，∴，故C项正确． ∵当时，，且图象过上方，∴，故D项错误． 故选：C． 8．如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查作垂线，勾股定理，圆的相关定义，根据作图得到，然后根据勾股定理求出长，然后再在中求出长即可． 【详解】解：连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 9．如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 10．如图，在正方形中，E是边的中点，P是边上的动点（不与点A，B重合），以E为中心，将线段逆时针旋转，得到线段．给出下面四个结论： ①； ②； ③D，Q两点间距离的最小值大于C，Q两点间距离的最小值； ④点Q到直线，的距离相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，分别取、的中点、，连接、、、，先证明四边形是矩形， 、、都是等腰直角三角形，再结合旋转证明，得到，即，则点在直线上运动，据此逐个结论判断即可． 【详解】解：分别取、的中点、，连接、、、， ∵正方形， ∴，，，， ∵E是边的中点，、的中点、， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴，， ∴，， ∵以E为中心，将线段逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ①∵， ∴，故①说法正确； ②当在右边时，如图， 此时，， ∴，故②说法错误； ③∵点在直线上运动， ∴当在点时，D，Q两点间距离取最小值，C，Q两点间距离取最小值，而，即D，Q两点间距离的最小值等于C，Q两点间距离的最小值；故③说法错误； ④∵点在直线上运动，， ∴点Q到直线，的距离相等；故④说法正确； 综上所述，所有正确结论的序号是①④， 故选：B． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为 ． 【答案】1:4 【分析】由AD BC，即可求得△AOD∽△COB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：如下图： ∵AD BC， ∴△AOD∽△COB， ∴ ∵BC＝2AD， ∴， 故答案为：1 ：4． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 13．一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为 m． 【答案】0.2/ 【分析】本题考查了二次函数的应用，求得球出手时运动员的横坐标是解题的关键．求得当时，x的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】解：令，即， 解得，（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， 运动员跳离地面的高度为：， 故答案为：0.2． 14．如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为 ． 【答案】8米/ 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故答案为：． 15．如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 秒． 【答案】3或4.8 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法．本题先设运动t秒，再分两种情况，与，利用其性质列出方程即可求解． 【详解】解：设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当点D与点B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当点D与点C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒． 故答案为：3或． 16．如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图：连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，再根据证明，根据全等三角形的性质得到，从而得到矩形是正方形，再求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴，解得：， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 18．如图为某住宅小区新修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘为原点，地面所在直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【答案】(1)或． (2) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，再进一步求解即可； （2）令，可得，再解方程，并进一步求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴拱门所在抛物线的函数表达式为或． （2）解：令，可得， 解得，， ， ∴这两根支柱之间的距离为． 19．为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． (1)本次共调查游客 人，扇形统计图中m的值为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 【答案】(1)240，35 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再利用概率公式计算概率．也考查了统计图． （1）根据该项所占的百分比等于该项人数÷总人数．两图给出了“卤土鸡”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“酸辣粉”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出选“红军饼”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次抽取的游客总人数为 ， ∴， ∴， 故答案为：240，35； （2）解：选红军饼的人数为人． 补全条形统计图如图： （3）把四种美食分别记为 A：酸辣粉、B：松花蛋、C：红军饼、D：卤土鸡，画树状图如图． 共有12种等可能的结果，其中选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果有2种， ∴选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率 20．在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． 【答案】(1) (2)当或3时，四边形的面积为 (3)当或1时，与相似 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质， （1）由运动知，得出结论； （2）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （3）分或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：由运动知，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为． （3）解：与相似，， 或， 或， 当，则， ， 当时，则， ， 当或1时，与相似． 21．如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接、，使得． (1)求证：． (2)若，弧的长为，连接，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，弧长、扇形面积计算公式是解题的关键． （1）得到，结合已知条件得到为等腰三角形，同时根据直径所对的圆周角是直角，得到是等腰三角形底边的高，在根据等腰三角形三线合一证得； （2）根据弧长公式计算得到圆心角的度数，利用扇形面积公式计算得到扇形面积． 【详解】（1）证明：所对应的圆周角为和， ， ， 为等腰三角形， 为的直径， ，即， 是等腰三角形底边的高， ； （2）解：连接，如图所示， 直径， 圆的半径， 设， ， ， ， ，即扇形的面积为． 22．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在第三象限内二次函数的图像上有一动点P，连接，与直线交于点E，当的值最大时，求点P的坐标，及的值． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为；，；②，的值为 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②先求得直线的表达式为，过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H，则，先证明得到，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，； ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H， 则， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， 即点P坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式，利用数形结合思想和相似三角形的性质求解是解题的关键． 23． 基础过关 （1）如图1，在中，，，，则________． 方法突破 （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点为线段上一点，且，，求的长． 迁移应用 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，过点在轴上方作射线，使得．点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．点，为坐标轴上两点，连接、．求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）运用勾股定理及直角三角形的性质，易得的值； （2）根据证明，证明，求出，利用勾股定理计算即可； （3）作的角平分线，过点作于点，则可得，可得，利用垂线段最短可得的长度为的最小值，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）如图，连接， 和都是等腰直角三角形，， ，即， ，， ， ，, ， ； （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段, ， ， ， ，， ， ， ， ， 如图，作的角平分线，反向延长交轴于点， ，， 过点作于点， ， ， 如图，过点作于点， 根据垂线段最短，可得的最小值为的长度，即的最小值为的长度， ， 设，则， 根据勾股定理可得，即， 解得（负值舍去）， ， ， ， ， 所以的最小值为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，含的直角三角形及勾股定理等，解本题的关键是作出重要的辅助线． 24．如图，是半圆的直径，为半圆弧上一点，连接，垂足为是上一点，连接并延长交于点，垂足为． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，当是中点时，请直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质与圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质得到，即可证明结论成立； （2）证明，则，证明，则，即可证明结论成立； （3）证明，过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， 得到根据垂径定理得到，，进一步即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）解：当是中点时，则， 由（2）可知，， ∴， 过点作于点G，过点作于点H， 则四边形是矩形， . ∴ 根据垂径定理得到，， ∴, 即的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $