精品解析：安徽省合肥市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

九年级数学（沪科版） 试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 抛物线经过点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，是的弦，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，分别在的边，上，那么添加下列一个条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与双曲线交于、两点，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，，点分别是上的点，将沿着折叠得到，点落在边上，若当时，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值为___________． 12. 锐角满足，且，则的取值范围为___________． 13. 如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为______． 14. 如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，． （1）当时，的长为_____； （2）在滑动过程中，的最大值是_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）画出关于原点成中心对称的． 18. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 20. 小明寒假去乡下爷爷家，看到爷爷家房屋结构如图所示，好奇的小明想测量房屋最高点到地面的距离．他发现为的中点，并根据实际情况测量出房屋的宽度为5米，屋檐的长为米，屋檐与地面平行，并在与处于同一直线的点处测得．请根据以上信息，帮小明求出到地面的距离．（结果精确到米；参考数据：）． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，一次函数的图象经过A，C两点，且与y轴交于点B，反比例函数的图象过点C． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点D是线段上一点，过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．当时，求点F的坐标． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且． （1）求证：直线是的切线： （2）若，，求的长， 八、（本题满分14分） 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） 试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故该选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆内时，点到圆心的距离与半径的大小关系是解题关键． 【详解】解：∵的半径为3，点P在内， ∴， ∵选项中只有， ∴的长可能是2， 故选：D． 3. 抛物线经过点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质 抛物线开口向上，对称轴为 ，距离对称轴越远的点函数值越大．计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点距离对称轴越远，函数值越大． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，是的直径，是的弦，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，三角形内角和定理，掌握圆的相关性质是解题关键． 由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：D． 5. 如图，点，分别在的边，上，那么添加下列一个条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了补充条件使两个三角形相似．利用相似三角形的判定方法，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故本选项不符合题意； B、添加，不能判断，故本选项不符合题意； C、∵， 则，又， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，，，，于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，勾股定理，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 直线与双曲线交于、两点，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又，在双曲线上， ，， ． 故选：B． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 根据旋转的性质即可得到，，，，再根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理得出，再根据平角的定义求出，进而可求出． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵，，三点在同一条直线上， ∴ ∴ 故选D． 9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向，对称轴公式和与y轴的交点可得，，据此可判断A；根据当时，，得到，则可推出，据此可判断B；根据对称性推出当时，，则，据此可判断C；根据可判断D． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即，故B结论正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴，即，故C结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在等边中，，点分别是上的点，将沿着折叠得到，点落在边上，若当时，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定及应用，关键是通过角度关系推导相似三角形，结合边长比例列方程求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． ∵， ∴，． 由折叠的性质，得，，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 设，则，；设，则． 由相似三角形的性质，得，即， ∴，即，解得． 经检验，是原分式方程的解， 故的长为． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 由已知比例关系，求出的值，然后代入目标表达式计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的的几何意义，平行四边形的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，点在的图像上，点在的图像上， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，． （1）当时，的长为_____； （2）在滑动过程中，的最大值是_____． 【答案】 ①. 3 ②. 3 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，可得是等边三角形，可证四边形是矩形，则，即可求解； （2）如图所示，延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （2）如图所示，延长交于点，连接， ∵，是直径， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当为直径时，即，的值最大，则的值最大， ∴的最大值是； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值混合运算，涉及特殊角的正弦、余弦及正切值，二次根式混合运算等知识，先求出特殊角的正弦、余弦及正切值，再由二次根式乘法运算及加减运算法则求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解： ． 16. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象与性质．根据对称轴公式，以及将点代入抛物线表达式得到方程组求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）画出关于原点成中心对称的． 【答案】（1）如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转、中心对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据关于原点对称的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 20. 小明寒假去乡下爷爷家，看到爷爷家房屋结构如图所示，好奇的小明想测量房屋最高点到地面的距离．他发现为的中点，并根据实际情况测量出房屋的宽度为5米，屋檐的长为米，屋檐与地面平行，并在与处于同一直线的点处测得．请根据以上信息，帮小明求出到地面的距离．（结果精确到米；参考数据：）． 【答案】点到地面的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意，过点作于，设交于点，结合图形，在中，求出长，在和在分别表示出，，利用，求出的长，从而得到结果． 【详解】解：如图，过点作于，设交于点， 根据题意，， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，（米）， ∴（米）． 设，则， ∵在中，， ∴， 同理，在中，， ∵， ∴， 解得，即（米）， ∴（米）， 答：点到地面的距离为米． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，一次函数的图象经过A，C两点，且与y轴交于点B，反比例函数的图象过点C． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点D是线段上一点，过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F．当时，求点F的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点代入，求出反比例函数的表达式为，再把代入，求出一次函数的表达式为，即可作答． （2）理解题意，设，因为平行于轴，所以，即，结合，得，解得，即点的纵坐标为，把代入得，即可作答． 【小问1详解】 解：把点代入， 得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 把代入， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 设， ∵过点D作x轴的平行线交于点E，交反比例函数图象于点F． ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵平行于轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得， ∴点的坐标为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且． （1）求证：直线是的切线： （2）若，，求的长， 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， ， ， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径确定直角，再由等腰三角形三线合一的性质，推出，最后利用圆的切线的判定方法进行解答即可； （2）根据直角三角形的边角关系，圆周角定理求出、、，进而求出、，再根据相似三角形的判定和性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，， ，， ，， ， 在中，，， ，， ， ， ， 即， 解得， 经检验是原方程的解， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 八、（本题满分14分） 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①，；② （2） 证明：∵，，    ∴，    ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，        ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出 ，得出，代入得，进而，即可得证． 【小问1详解】 解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $