2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末冲刺卷

2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末冲刺卷 一、单选题（每题3分.共计30分） 1.如图，口ABCD,对角线AC,BD交于点O,添加下列条件，能使口ABCD变为菱形的 是() A.AB=CD B.AC=BD C.∠ABC=90 D.AC⊥BD 2.将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉 字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次 摸出的球上的汉字能组成“金明的概率是() A日 B. C. 1 6 D.2 3.已知-3 b 2 则下列结论不正确的是() B.2a=3b C.atb=5 D.a+l4 b+13 4.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0的一个根，则2025+2a+2b的值为() A.2026 B.2027 C.2028 D.2029 5.一块三角形板ABC,BC=12cm,AC=10cm,测得BC边的中心投影B,C,长为24cm, 则AC边的中心投影AC的长为() A.5cm B.15cm C.20cm D.25cm 6.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面 积是多少，他采取了以下办法：用一个长为8m,宽为5m的长方形，将不规则图案围起来， 然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在 界线上或长方形区域外不计入试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的 折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是() 试卷第1页，共3页 小球落在不规则图案内的频率 0.4 0.35 入2入 60120180240300360420实验次数 图1 图2 A.12m2 B.14m2 C.16m2 D.18m 7.如图，把3个相同的矩形填充到菱形ABCD中，已知菱形ABCD的周长为8√2cm,则每 个矩形的周长为() D A.22cm B.4cm C.4v2cm D.8cm b 8.如图，点A,C在反比例函数y=a第一象限的图象上，点B,D在反比例函数乃=b第 二象限的图象上，AB∥CD∥x轴，AB=2,CD=3,AB与CD之间的距离为1，则a-b的 值是() 1 B 州 A.1 B.3 C.6 D.8 9.关于x,y的二次三项式x2+mxy-4x,y2+mxy-4y(m为常数)，下列结论正确的有() ①当m=1时，若x2+mxy-4x=0,则x+y=4 ②无论x取任何实数，等式x2+my-4x=3x都恒成立，则x+my=7 ③若x2+xy-4x=5,y2+y-4y=7,则x+y=6 ④满足x2+y-4x+y2-y-4y≤0的正整数解(x,y)共有25个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第1页，共3页 IO.如图，正方形ABCD中，点E在BD上，DE=2BE,连接CE,过点E作EF⊥CE交 AB的延长线于点F,再过点F作FG∥CE,FG=CB,连接CG、DG,则DC的值为() BD D B A B C.4V2 D.3 5 3 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是 12.某学校计划成立读书社，采用“线上邀请”的方式招募新成员.活动初始第一轮邀请由1 名同学发起，该同学成功邀请到x人加入读书社；在第二轮邀请中，每一位已加入读书社的 成员（含最初发起邀请的1名同学）都能邀请到x名未参与的同学加入.经过这两轮邀请后， 读书社的总成员人数达到121人.依据题意可列关于x的方程为 13.把一个矩形ABCD按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似， 若BC=9,则AB的长为 B 14.某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为b(b<a)的 小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配 件的表面积分别记为S、S2、S丙，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接). 甲 丙 ☐图，点4在反比例函数y=Sx>0的图象上，AB∥x轴交反比例函数y《x<0 图象于点B,点P在x轴上，若S△B即=6，则k的值为 试卷第1页，共3页 16.如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BE,若∠CED=90°，ED=1 ，则线段BE的长度为一 D 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.解方程： (1)(x-32=2x(3-x); (2)x2-2x-4=0. 18.如图，平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是点A(-6,6),点B(-4,2),点 C(-2,2); (1)将ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A,B,C,在坐标系中画出图形，并分别写出对 应点A,B,C1坐标： (②)以原点O为位似中心，在点0的异侧，画△4B,C,使它与A8C的相似比为号 19.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线，垂足为点E, 延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. 试卷第1页，共3页 B E (I)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OE,若BD=8,AC=4, ①求OE的长： ②求CE的长. 20.如图，在矩形ABCD中，AB=3,E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，AB恰与对角 线AC重合，点B的对应点为点F,再将△AEC沿AC折叠，点E的对应点为点G,且在 AD上. Q E (I)求证：四边形AECG为菱形； (2)求四边形AECG的面积， 21.打造书香校园，培养阅读习惯河南省实验中学举办了读书活动，数学兴趣小组开展了“我 最喜欢的书籍”为主题的调查活动，对学校部分学生进行了问卷调查，抽到的学生根据自己 的爱好选择一类书籍(A历史类，B文学类，C科技类，D艺术类，E其他类)，兴趣小组 根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图. 个人数/名 40 40 35 3 E 10% 25 20 20 D 分 15 10 10 5 0 A BCDE类别 ()此次调查采用的调查方式是 样本容量为 ,并补全条形统计图： (2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是度： (③)本次调查中，选择E其他类的5人中有两名男生和三名女生，若从中随机抽取两人，请 试卷第1页，共3页 利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率。 22.某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销， 经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件. (1)求平均每次降价每件盈利减少的百分率： (2)为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经 调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利2940元，每件 应降价多少元？ 23.如图，一次函数y=kx+bk≠0)的图象与两坐标轴分别交于点A,B,与反比例函数 乃，=k,+0,x>0)的图象交于点C(1,2,Dm2 1】 连接0C,0D. (I)求k和m的值； (②)求一次函数y,=kx+bk,≠0的函数表达式： (3)求△OCD的面积. 24.综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角 形进行了研究. A H 图1 图2 图3 【初步感知】如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一动点，过点E作EF⊥AE交CD于点 F,求证：△ABE∽△ECF; 【类比探究】如图2，点E是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AE交对角线BD于点M, 若线段AB是线段BE和BC的比例中项，求证：AE⊥BD; 【拓展提升】如图3，口ABCD的对角线AC,BD相交于点M,过点C作CE⊥AC交边AD的 试卷第1页，共3页 延长线于点E,若AC=6,CE=8,求线段BD的最小值. 试卷第1页，共3页 2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末冲刺卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 2．将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查画树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画树状图法或列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是． 故选：B． 3．已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例性质，是解题的关键．由已知比例关系，可设，代入各选项逐一验证即得． 【详解】解：∵， ∴设． A：将代入A选项验证： 左边，右边， 左边右边，故A选项结论正确． B：，， ∴，故B选项结论正确． C：， 故C选项结论正确． D：当时，，则， 故D选项结论不正确． 故选：D． 4．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比． 【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． 6．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 7．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，已知菱形的周长为，则每个矩形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明． 首先根据已知条件，通过等量代换证明，从而得到，进一步推出，得出，然后利用菱形的周长求出，最后根据矩形的性质计算出矩形的周长即可． 【详解】解：如图，由题意可知：三点共线， ，长宽 ， ， ， ， ， ， ， 菱形的周长为， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 即每个矩形的周长为． 故选：B． 8．如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据反比例函数k值意义可得，设，则，得出，求出，得出答案即可；解法二：设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解． 【详解】解：解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H， 则轴， ∵轴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 根据反比例函数k值意义可得： ， ∵与之间的距离为1， ∴设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 解法二：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选：C． 9．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，则 ④满足的正整数解共有25个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①将代入代数式，计算即可；②又可得，再根据题意求解即可；③两方程相加，令，可化为，求解即可；④根据题意可得，列出正整数解，即可． 【详解】解：将代入可得，，即 解得或，即或，①错误； 由可得， ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，②正确； 两式相加可得： 即 令，则，解得， 即或，③错误； 由可得 正整数解为： ，总共有个，④错误 正确的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式． 10．如图，正方形中，点E在上，，连接，过点E作交的延长线于点F，再过点F作，，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，垂足分别为，先证明，四边形为正方形，过点G作，交延长线于点，再证明，设，由得，则，，，分别在中，运用勾股定理求得，，即可求出比值． 【详解】解：过点作，垂足分别为，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， 过点G作，交延长线于点， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，分别由勾股定理得：，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的综合问题，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理，正确构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握这些知识是解决此题的关键．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零解答． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， 故二次项系数， 即． ∵方程有两个实数根， ∴判别式． 解得． 综上，m的取值范围是且． 故答案为：且． 12．某学校计划成立读书社，采用“线上邀请”的方式招募新成员．活动初始第一轮邀请由1名同学发起，该同学成功邀请到人加入读书社；在第二轮邀请中，每一位已加入读书社的成员（含最初发起邀请的1名同学）都能邀请到名未参与的同学加入．经过这两轮邀请后，读书社的总成员人数达到121人．依据题意可列关于的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据招募过程，第一轮后成员数为，第二轮每位成员邀请x人，新增成员数为，总成员数即为与之和，化简得，等于121，列方程即可． 【详解】解：第一轮邀请由1名同学发起，成功邀请x人加入，故第一轮后成员总数为． 第二轮邀请中，每一位已加入成员（含发起人）均邀请x人，故新增成员数为． 两轮后总成员数为． 依据题意，总成员人数达到121人， 因此可列方程． 故答案为：． 13．把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据题意得小长方形的宽为3，设，相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得小长方形的宽为3， 设， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， 解得（负值舍去）， 故原长方形的宽为． 故答案为： ． 14．某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解； 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 16．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三线合一等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点B作于O，证明，得到，由旋转的性质可得，则，由三线合一得到，则可利用勾股定理得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于O， 由正方形的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18．如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是点，点，点； (1)将 绕点 O 顺时针旋转 得到 ，在坐标系中画出图形，并分别写出对应点坐标； (2)以原点O为位似中心，在点O的异侧，画 ，使它与的相似比为 【答案】(1)图见解析，点坐标为； (2)见解析 【分析】此题考查了位似图形和旋转的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）找到位似的对应点并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： 点坐标为； （2）如图，即为所求． 19．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2 ② 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 对于（1），根据菱形的性质得，再结合得出四边形是平行四边形，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论； 对于（2），①根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案； ②，先根据菱形的性质得出，再根据面积相等求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：①∵四边形是菱形， ∴． 在中，， ∴； ②∵四边形是菱形，且， ∴，． 在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得, 即， 解得． 20．如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上． (1)求证：四边形为菱形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理． （1）由矩形的性质得到，，由折叠得到，，，，因此，从而，得到四边形为平行四边形，再由，即可得证； （2）由菱形的性质得到，，，，，进而有，在中根据勾股定理可求出，从而得到的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， 由折叠的性质可知，，，，， ， ， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ∴为菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形，，， ，，，， ， ∵，即， ， ， ， 即四边形的面积是． 21．打造书香校园，培养阅读习惯.河南省实验中学举办了读书活动，数学兴趣小组开展了“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，对学校部分学生进行了问卷调查，抽到的学生根据自己的爱好选择一类书籍（历史类，文学类，科技类，艺术类，其他类），兴趣小组根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图． (1)此次调查采用的调查方式是______， 样本容量为______，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是______度； (3)本次调查中，选择其他类的5人中有两名男生和三名女生，若从中随机抽取两人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)抽样调查；100；见解析 (2)144 (3) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）根据的人数及所占比值求出总人数，总人数减去、、、的人数，可求出的人数，再补全统计图即可； （2）乘以所占总人数的比值，即可求出“科技类”所对应的圆心角度数； （3）画树状图，共20种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵对学校部分学生进行了问卷调查， ∴调查方式是抽样调查； 被调查的学生总人数为：（人）； ∴艺术类人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：抽样调查；100． （2）解：“科技类”所对应的圆心角度数为：， 故答案为：144． （3）解：设用、表示两名男生，用、、表示三名女生， 画树状图如下： 共20种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有12种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 22．某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． (1)求平均每次降价每件盈利减少的百分率； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 【答案】(1)平均每次降价每件盈利减少的百分率为 (2)若商场每天要盈利元，每件应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，进行列式计算，即可作答． （2）结合每件盈利元，平均每天可售出件，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设平均每次降价每件盈利减少的百分率为， 根据题意，得， 解得（舍去）或， 答：平均每次降价每件盈利减少的百分率为． （2）解：设每件应降价元， 根据题意，得， 解得，， 尽快减少库存，且一件女款上衣每降价元，每天可多售出件 答：若商场每天要盈利元，每件应降价元． 23．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 24．综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 【答案】初步感知：证明见详解；类比探究：证明见详解；拓展提升： 【分析】初步感知：由正方形性质得到，进而得到，再由得到，则，最后由相似三角形的判定定理即可得证； 类比探究：由矩形性质得到，，根据题中条件，结合相似三角形的判定定理得到，再由相似性质得到，在中，，等量代换即可得到，即，从而得证； 拓展提升：先由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，，从而确定求线段的最小值，就是求线段的最小值，由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当时，线段有最小值，作出图形，由相似三角形的判定定理得到，列比例式代值计算求出即可得到线段的最小值． 【详解】解：初步感知：如图所示： 在正方形中，， ， ， ， ， ； 类比探究：如图所示： 在矩形中，，， 线段是线段和的比例中项， ， 则， ，， ， ， 在中，， ， 即在中，，则， ； 拓展提升：如图所示： ，， 在中，由勾股定理可得， 在中，对角线相交于点，则，， 点是定点、点是边上的一个动点，且，即求线段的最小值，就是求线段的最小值， 由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当时，线段有最小值，如图所示： ，， ， 则， 即， 解得， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形综合，综合性较强，涉及正方形的性质、互余定义、相似三角形的判定与性质、矩形性质、比例中项定义、比例性质、垂直判定、勾股定理、平行四边形性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，熟记特殊平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $