精品解析：上海科技大学附属学校2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷

上海科技大学附属学校2025-2026学年度第一学期期末考试 七年级数学试卷（原卷版） 注意事项： 1. 你拿到的试卷满分为100分，考试时间为900分钟． 2. 试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，故选项A不符合题意； B、结果不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C、，是因式分解，故选项C符合题意； D、结果不是整式的乘积形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 3. 下列分式中，是最简分式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义．最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，要判断哪个分式是最简分式，需依次分析每个选项的分子与分母是否有公因式，若没有公因式则为最简分式． 【详解】、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 故选：． 4. 如图，不是的同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，解题关键是正确识别图形，能够准确判断同位角、内错角和同旁内角．观察图形，根据同旁内角、内错角和同位角的定义，对各个选项中的角与的关系进行判断即可． 【详解】解：A．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； B．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； C．观察图形可知：和不是同旁内角，故此选项符合题意； D．观察图形可知：和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列命题中，判断错误的是（ ） A. 所有定理都有逆命题 B. 对顶角相等的逆命题是真命题 C. 假命题的逆命题不一定是假命题 D. 两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题、逆命题的定义及真假判断，解题关键是明确每个命题的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确； 选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误； 选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确． 选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确． 因此，判断错误的是选项B． 故选：B． 6. 如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 65° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质得∠BFE=∠B' FE，再由平行线的性质可求得∠BFE= 50°，从而得解． 【详解】解：由折叠得：∠BFE=∠B'FE， ∵四边形ABCD是长方形 ∴AD//BC， ∴∠AEF +∠BFE= 180°， ∵∠AEF= 130°， ∴∠BFE= 50°， ∴∠B' FE= 50°， ∴∠B' FC= 180°－∠BFE－∠B' FE=80°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 如图，三角形是由三角形沿射线方向平移得到的，若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，先根据平移的性质得出，再利用，即可求出的长． 【详解】解：将沿射线方向平移得到， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 8. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法及乘方运算，先计算同底数幂的除法，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为： 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，通过寻找两个数，它们的乘积为常数项24，且和为一次项系数，从而进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 通过因式分解分母，将第二个分式简化，再与第一个分式相加． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 本题要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在三角形中，，则x的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，做题的关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．利用三角形三边关系得出x的取值范围． 【详解】解：∵在三角形中，， ∴， 即． 故答案为：． 13. 若分式的值为零，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，关键是牢记“分式值为零，需要分子为零且分母不为零”这一核心规则． 【详解】解：要使分式的值为零，需同时满足： 分子为零：，解得或； 分母不为零：，解得． 综上，的值为． 故答案为：． 14. 一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是． 设三个外角的度数分别为，，，得到，求出，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为， ∴设三个外角的度数分别为，，， ∴， ∴， ∴三个外角的度数分别为，，， ∴与三个外角对应的三个内角分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 15. 如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：①③④． 16. 如图，如果平分，，，那么的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的相关计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再用平行线的性质即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 17. 若，且，则___________． 【答案】19 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值，将原式变形为已知条件是解题关键． 根据题意得出，将原式变形，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 故． 又， 故，即， 解得， 故答案为：19． 18. 在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质及倍角三角形的定义，关键是通过角平分线的性质推导的内角关系，再结合倍角三角形的定义求解的度数． 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴． ∵， ∴， 在中，． 又平分，故． 在中，，结合， 可得． ∵为4倍角三角形，且， ∴存在两种情况： ①直角是4倍的一个锐角，即，解得，则． ②一个锐角是4倍的另一个锐角，即，解得，则． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解， （1）先分组，再提取公因式即可； （2）先展开多项式，再利用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： = =； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）去分母转化为整式方程求解并检验； （2）去分母转化为整式方程求解并检验． 【小问1详解】 解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 解得： 经检验：是增根， ∴原方程无解． 21. 如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 22. 如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的含义，掌握角的和差运算是解本题的关键，先证明，再求解，再结合垂直的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 23. 已知关于的方程． （1）若，求出方程的解； （2）若方程无解，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或2或 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键； （1）将代入原方程，再解方程即可； （2）根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程可化为，， 即， 两边同乘得，， 化简，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或． 24. 反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 【解析】 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】略 25. 如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． （1）求的度数； （2）如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】（1） （2）①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【小问1详解】 解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海科技大学附属学校2025-2026学年度第一学期期末考试 七年级数学试卷（原卷版） 注意事项： 1. 你拿到的试卷满分为100分，考试时间为900分钟． 2. 试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，是最简分式的是 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，不是的同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，判断错误的是（ ） A. 所有定理都有逆命题 B. 对顶角相等的逆命题是真命题 C. 假命题的逆命题不一定是假命题 D. 两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 6. 如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 65° D. 50° 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 如图，三角形是由三角形沿射线方向平移得到的，若，则 ______． 8. 计算：__________． 9. 因式分解：__________． 10. 计算：__________． 11. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：_____． 12. 在三角形中，，则x的取值范围为______. 13. 若分式的值为零，则的值为_____． 14. 一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 15. 如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 16. 如图，如果平分，，，那么的度数是______． 17. 若，且，则___________． 18. 在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 22. 如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数． 23. 已知关于的方程． （1）若，求出方程的解； （2）若方程无解，求的值． 24. 反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 25. 如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． （1）求的度数； （2）如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $