2025-2026学年人教版数学八年级上册期末复习题--- 用提公因式法和因式法因式分解

期末复习题--- 用提公因式法和因式法因式分解 题型1 判断是否是因式分解 1.下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2.下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型2 已知因式分解的结果求参数 3.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 4.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 题型3 公因式 5.下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6.已知，则 ． 题型4 提公因式法分解因式 7.已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 8.如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 题型5 判断能否用公式法分解因式 9.下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 10.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型6 平方差公式分解因式 11.（1）因式分解： （2）先化简，再求值：，其中． 12.【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 题型7 完全平方公式分解因式 13.在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 14.先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 题型8 综合运用公式法分解因式 15.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式： (2)若，则M有最______值，为______． (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：_______平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 16.教科书中这样写道∶"形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式"，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如∶分解因式∶． 解∶原式； 再如∶求代数式的最小值． 解∶； ∵，∴原式，即当时，原式有最小值． 学以致用∶ (1)用配方法分解因式∶；(其他方法不得分) (2)用配方法求多项式的最大值？并求出此时x的值． (3)若，求的值． 题型9 综合提公因式和公式法分解因式 17.一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解的题目． ①； ②； ③； ④． (1)小红做错的或过程不完整的题目是______（填序号）． (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 18.因式分解： (1)； (2)； (3)． 题型10 因式分解在有理数简算中的应用 19.利用因式分解计算： (1) ； (2)． 20.分解因式： (1)； (2)； (3)利用因式分解计算：． 题型11 十字相乘法 21.[阅读理解]将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足其常数项q是两个因数（m、n）的积（即），而一次项系数p恰好是这两个因数的和（即），则可以把因式分解成．例如，分解因式 ①， ②． 如上，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图①、②），这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们就可以得到： ① ； ②． [迁移运用] (1)请模仿上例，用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式（画出图示）： ①     ② (2)若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，则的最大值为______． 22.阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 题型12 分组分解法 23.阅读理解： 当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如： 这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如： ． 这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式： (1) ； (2)． 24.常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述方法的其中一种无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．具体过程如下： ． 像这种将一个多项式适当分组后，进行因式分解的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)已知，且，求的值． 题型13 因式分解的应用 25.观察下面的等式：，，，，…… (1)尝试：________． (2)归纳：________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 26.我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．    (1)    情境一： ①如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如图1，请你用含、的式子表示一块等腰梯形木片的高________； ②请将这4块完全相同的等腰梯形木片拼出另一个图形，并画出该图形，使得与图1结合可验证乘法公式； (2)情境二：如图2，乙同学用12张纸片及若干张的纸片、纸片是否能拼成一个大正方形（不重叠、无缝隙）？如果不能拼成，请说明理由；如果能拼成，请写出所有能拼成的大正方形的边长（用含、的式子表示）； (3)情境三：丙同学声称自己用图2的三种纸片，2块纸片，5块纸片，8块纸片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，还需要从中增加3块纸片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致）． 参考答案 题型1 判断是否是因式分解 1.B 根据因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积， 选项A：左边是乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，符合因式分解的定义，故符合题意； 选项C：左边是乘积，右边是乘积，但属于恒等变形，并非因式分解，故不符合题意； 选项D：右边不是乘积形式，而是和的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 故选：B． 2.B 解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、等式右边是整式积的形式，故是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D、因为 ，所以该等式不成立，不是正确的变形，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 题型2 已知因式分解的结果求参数 3.（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 4.（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 题型3 公因式 5.A 、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 6.-3 ∵， ∴， ∴ 题型4 提公因式法分解因式 7.A 解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 8.A 解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 题型5 判断能否用公式法分解因式 9.C 解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 10.B 解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 题型6 平方差公式分解因式 11.（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 12.（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18； （3）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 题型7 完全平方公式分解因式 13.（1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 故答案为：，小，． 14.（1）解：设，则原式可化为， 则， 再把代入，得到原式； （2）解：先把变形为， 则原式变为， 设，则， 则，即， 解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 题型8 综合运用公式法分解因式 15.（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴， 所以M有最大值，为2； 故答案为：大，2； （3）解：①（平方米）． 故答案为：； ② ∵ ∴ ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米． 16.（1）解：； （2）由题意，∵， ∴当时，多项式有最大值13； （3）， ， ， ， ， ∴． 题型9 综合提公因式和公式法分解因式 17.（1）解：小红做错的或过程不完整的题目是； （2）解：①， ② ， ③ ， ④ ． 18.（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 题型10 因式分解在有理数简算中的应用 19.（1）解： ； （2） ． 20.（1）解：原式 ； （2）解：原式    ； （3）解：原式    ． 题型11 十字相乘法 21.（1）解：① ② （2）解：若多项式可以分解成（m，n为整数）的形式，要使得取得的最大值，则取得最大值，考虑m，n为正整数时， ，，， 当时，为最大值， 故答案为：． 22.（1）解：小龙同学的解法中，第二步运用了完全平方公式分解因式． 故选：C （2）解：小龙的结果不正确，没有分解彻底． 设 原式 ； （3）解：把作为一个整体， ∴ ． 题型12 分组分解法 23.（1）解： ； （2）解： ． 24.（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ，即， 两边同时乘以可得， ． 题型13 因式分解的应用 25.（1）解：， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得： 故答案为：n； （3）解： 所以结论正确． 26.（1）解：①如图，设等腰梯形的高为h， 由图形可知，， ②如图 图1中平行四边形由四块梯形木片拼接而成，底边长度为，由①可知高为，故面积为， 所做图形由四块梯形木片和一个边长为b的正方形构成一个边长为a的大正方形，故四块梯形木片的面积为， 综上所述，可得． （2）设构成的大正方形边长为，则面积为， 由图2可知纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为，故大正方形是由块纸片A、块纸片B、块纸片C构成， 根据题意可得，解得或或或， 综上可知，能拼成大正方形，大正方形的边长为或或或． （3）赞同丁同学的说法，增加3块C之后， 该情况下所拼长方形的两边长为和，长方形如下图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $