北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题

海淀区2025-2026学年第一学期期末练习 高三数学 2026. 01 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 4. 在的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点，则该双曲线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点，当变化时，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知非零向量满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（ ） A. 点可以在点处 B. 点在底面上的轨迹为线段 C. 点的轨迹围成直角三角形 D. 直线与点的轨迹所在平面相交 9. 若函数满足对任意的，都有，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，对任意成立.数列为周期数列，即存在，使得对任意成立，给出下列两个结论： ①对任意，存在，使得为递增数列； ②对任意，存在，使得为等差数列； 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 12. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为__________；点在上，且，则__________. 13. 在中，是边上的中线，且，的面积为，则__________，__________. 14. 已知函数， ① 若关于的方程恰好有一个解，则的一个取值为________； ② 若关于的方程恰好有三个解，则的取值范围为___________. 15. 已知曲线，给出以下四个结论： ①曲线是轴对称图形； ②曲线不经过整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积； ④曲线与直线有公共点. 其中所有正确结论的序号是________________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，为锐角，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 17. 如图，在五面体中，底面为正方形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率. （1）估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； （2）若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望； （3）经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的左顶点为，请从下面条件中任选两个作为已知. 条件①：椭圆的离心率为； 条件②：椭圆经过点； 条件③：点到椭圆的左焦点的距离为1. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点.过点作的垂线交直线于点.若是等腰直角三角形，求的斜率. 20. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； （2）若函数在上单调递增，求的值； （3）若函数在处取得极小值，求的取值范围. 21. 对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列. 对有穷数列，令数列. 若，则称为阶完美数列. （1）写出所有的2阶完美数列； （2）若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数； （3）是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由. 海淀区2025-2026学年第一学期期末练习 高三数学 2026. 01 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 3 【13题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【14题答案】 【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 【15题答案】 【答案】① ③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2）的周长为 【17题答案】 【答案】（1） 方法一：连接，与相交于点，连接， 因底面为正方形，则为中点，又为中点， ， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面， 所以平面. 方法二：取中点，连接， 在中，为中点，为中点， 所以为中位线，所以，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以平面， 又因为平面，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）方案三的数学期望最小 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 【20题答案】 【答案】（1）17 （2）0 （3）当时，，当时，. 【21题答案】 【答案】（1）3，1；3，2；1，3；2，3. （2）1 （3）假设存在 16 阶完美数列． 记则 16 层共有个位置． 由完美数列的定义，这 136 个位置上的数构成集合 ，所以它们两两不同． 先从最底端向上回溯． 令 对 ， 是第 行某两个相邻数的差的绝对值． 把这两个数中较大的记为 ，较小的记为 ，则即 逐层代入，得到 右端的 16 个数位于不同的位置，因此两两不同； 又它们都是 到 之间的正整数，所以 另一方面， 本身也是三角形中的一个数，所以 ． 因此必有并且 下面确定这 16 个位置所在的范围． 设 ． 若 ，把第一行数列反向排列． 由于每作一次变换 ，反向排列后的结果仍是原结果的反向排列，所以反向后的数列仍为 16 阶完美数列，而 136 在第一行的位置变为第 位． 因此可设 设 位于第 行第 列． 因为第 行第 列的数由第 行第 、 列的两个数产生，所以 从而 再看与 配对的 ：若 ，则 位于第 列； 若 ，则 位于第 列． 因此所有 的列号都不超过 9． 所以，取值恰为 的 16 个位置全部位于第 9 列或其左侧． 第 7 行共有 10 项，取其最右端 对 ，把产生 的两个相邻数中较大的记为 ，较小的记为 ． 同理有所以 由于 位于第 10 列，而第 行第 列的两个“父项”位于第 行第 、 列，因此从 向上回溯时，每一步涉及的位置都在第 10 列或其右侧． 故与前面取值为 的 16 个位置完全不重合． 由于三角形中的 136 个数两两不同，而这 7 个位置与前述 16 个位置完全不重合，所以 既彼此不同，也都不可能取 中的值． 因此它们每个都不小于 17． 因此 但 也是三角形中的一个数，应满足 ，矛盾． 故不存在 16 阶完美数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $