精品解析：湖南省长沙市岳麓区湖南师大附中博才实验学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年九年级（上）1月月考数学试题 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】根据中心对称图形的概念可得：A选项不是中心对称图形． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，关键是根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合解答． 2. 2025年河南小麦产量由国家统计局官方数据确认，总产量为75000000000斤．数据75000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法要求数字写成的形式，其中，n为整数．将75000000000转换为科学记数法，需移动小数点确定a和n． 【详解】解： 数据75000000000用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂的除法法则，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项正确． B、，故选项错误． C、，故选项错误． D、，故选项错误． 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 了解一批电视机的使用寿命适合采用普查 B. 从一副扑克牌中任意抽取张，抽到“”是随机事件 C. 要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查，全面调查（普查）的概念，随机事件的概念，必然事件的带你，统计图的相关知识即可求解． 【详解】解：选项，不适合用普查，故选项错误，不符合题意； 选项，一副扑克牌中抽到“”，是随机事件，故选项正确，符合题意； 选项，扇形统计图可以看出对象的百分比，气温变化情况复杂，不宜用扇形统计图，故选项错误，不符合题意； 选项，是随机事件，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查数学中重点概念问题，理解定义，概念的含义是解题的关键． 5. 关于反比例函数的描述错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、第四象限 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：∵反比例函数， ∴当时，，即该函数图象过点，故选项A正确，不符合题意； 该函数图象在第二、四象限，故选项B正确，不符合题意； 当时，，故选项C错误，符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线，直线相交于点E，若，则线段的长为（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 利用平行线分线段成比例定理得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选A． 7. 已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、整体代入法求代数式的值，因为是方程根，可得，代入代数式可得：原式，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：是方程的根， ， 即 ， ， ， ， 是关于的方程的两个根， ，， 原式 ， 故选：B． 8. 如图，中，，，M是上一点，且，平分，过M作交于F，则（    ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题．可通过作辅助线，即延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ， ， 又， ， ，， 又，， ， ，， ， ， 故选：C． 9. 某输油管道运输时，油面最高位置如图所示，若油面最大深度为米时，污水横截面的宽度为米，则排水管的半径是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 作于点，连接，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：作于点，连接， 设排水管的半径为， ，， ， 根据勾股定理可知，， 即， 解得：； 故选：C 10. 如图，点，分别在轴，轴正半轴上滑动，点，分别在轴，轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（　　） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 通过直角三角形边长的关系，证明即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵四边形，都是矩形， ∴，， ∴， 且，分别为四边形，的对角线， ∴，， 故， 即， 故选C． 二．填空题（每题3分，满分18分） 11. 若、为实数，且满足，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入求出y的值，最后相乘即可． 【详解】∵，，， ∴，且， 解得， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和代入求值，根据二次根式有意义的条件求出x的值是解题的关键． 12. 写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是，可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的解析式．根据二次函数的性质和顶点式进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，一个满足下列两个条件的二次函数为， 故答案为：（答案不唯一） 13. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面的顶角是______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，设圆锥底面半径为r，母线为l，由得到，由三角函数定义进一步得到，根据等腰三角形的性质即可得到答案．此题考查了圆锥的侧面展开图的相关计算，数形结合是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，设圆锥底面半径为r，母线为l， 由图形可知，， ∴， 在中，， ∴， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为： 14. 如图，将绕点逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，解题关键是弄清旋转角及旋转方向． 根据和旋转角可求得的度数． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转后得到， ∴， 又，， ∴，解得：， 故答案为：． 15. 反比例函数的图像如图所示，若的面积是2，则k的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，利用反比例函数k的几何意义即可解答． 【详解】解：设点P的坐标为（，）， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的动点，则取最小值时，点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，数形结合是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，则取最小值；设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案． 【详解】解：令，即， 解得， 令，， 故A、B、C的坐标为：， ∴函数图象对称轴是直线， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点， ∴连接交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，从而点P即为所求， 设的函数表达式为：， 将代入， 得， 解得， 的函数表达式为：， 将代入，， 故点P坐标是． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，先化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，利用二次根式的性质化简，正确计算是解题的关键． 18. 先化简，再求值：．其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题关键． 利用异分母分式的加减法法则先算括号里的，再将除法转化为乘法约分化简，将代入化简后的结果求值即可． 【详解】解： 当时，代入上式得， 原式． 19. 如图，在中，弦为，弦为，为的直径，D为的中点．连接和，与相交于点F． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键．（1）利用圆周角定理寻找等角证明即可； （2）根据圆的性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的定义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则， ∵，且， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得或（不符合题意，舍去）， ∴（cm）， ∴， ∴， ∴的值为3． 20. 某校计划开设五项活动：跳绳、篮球、乒乓球、跑步、踢毽子．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，在全校随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一项），统计整理并绘制了如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次问卷调查的学生共有________人，并补全条形统计图；“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为________度； （2）学校体育老师从喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）300， 补全条形统计图如图所示． 126 （2） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中“踢毽子”的人数除以扇形统计图中“踢毽子”的百分比可得本次问卷调查的学生人数；求出“跳绳”的人数，补全条形统计图即可；用360°乘以“乒乓球”的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． 【小问1详解】 本次问卷调查的学生共有（人）． “跳绳”的人数为（人）． 故答案为：300． 在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为． 故答案为：126． 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 21. 如图，点C在以为直径的⊙上． （1）作的平分线交于点D； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1） 如图所示： （2） 证明：依题意，连接， ∵点C在以为直径的上， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，圆周角定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，作的平分线交于点D，即可作答． （2）根据直径所对的圆周角是直角，再结合角平分线的定义，得出，因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可作答． 【小问1详解】 解：的平分线交于点D； 【小问2详解】 略 22. 李明在“鱼菜共生系统对水质的影响”实验研究中，针对水质中的氨氮含量进行了实时监测，如图是水质中氨氮含量与时间x（天）的变化图象，其中为一条线段，段满足反比例函数关系， （1）段的函数解析式为________； （2）李明以普通养殖塘为对照组，发现对照组的氨氮含量与时间满足直线的函数解析式，则在第40天时，鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设段的函数解析式为，故，从而可以得解； （2）依据题意，设直线为，又，，从而，进而求出解析式，再令，求出y，又对于函数，当时，求出y，最后比较即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，设段的函数解析式为， ， 段的函数解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，设直线为， 又∵，， ， ，， 直线为， 当时，， 又对于函数， 当时， ， ， 鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低． 23. 中，，为边上一点．经过点，与，两边分别交于点，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若与相切于点，且，求的半径长． 【答案】（1） 证明：，经过点，与，两边分别交于点，， 为半径，为直径， ， ， ； （2）⊙O的半径长为 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，根据，得； （2）连接，，根据切线性质，得，得，得，根据，得，根据，得，得，根据，得，得，得，根据，得到，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与相切于点，且，如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 又 ， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ． 故的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，掌握这些知识并构造适当的辅助线是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若双曲线经过点，直线与y轴交于点． ①求a，b的值； ②求抛物线与x轴的交点的横坐标； ③若点，在抛物线上，其中，，求证：． （2）若抛物线与x轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ①求t值； ②若点，在抛物线上，其中，，当取最大值12时，求a，b的值． （3）若点，在抛物线上，当时，总有；当时，总有，设抛物线的顶点坐标为，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①，； ②，； ③抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为：， ， 抛物线的开口向上， 由②知，抛物线与x轴的交点的横坐标为， 当或时，；当时，， ，， ， ， 当时，， 当时，， 抛物线在上对应的图象的最高点的横坐标为，最低点是抛物线的顶点， 的最大值为， ； （2）①2；②， （3） 【解析】 【分析】（1）① 把点代入双曲线解析式求出a，再将该点和点代入直线方程，求出b的值即可；②将①中求得的a、b代入抛物线解析式，令得到一元二次方程，通过求解该方程，得到的根即为抛物线与x轴交点的横坐标；③ 先确定抛物线的对称轴和开口方向，结合②中求得的与x轴交点，分析抛物线在特定区间的增减性；再根据两点横坐标的大小关系，结合函数在该区间的单调性，推导得出两点函数值的大小关系； （2）① 已知抛物线与x轴交于，可得方程代入求解参数关系，再利用对称轴公式求t； ② 根据条件确定点C和D的x坐标范围，结合抛物线的对称性及开口方向，分析函数在区间内的最大值与最小值，建立方程求解a和b； （3）利用点在抛物线上求出参数关系，再结合函数在区间内的符号条件，分析抛物线与x轴的交点位置，从而确定顶点纵坐标的范围． 【小问1详解】 解：①双曲线经过点 ， ， 把代入得，， 解得，； ②把代入抛物线得， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得，， 抛物线与x轴的交点的横坐标为； ③略 【小问2详解】 ①抛物线与x轴的一个交点为， ， 整理，得， 抛物线, 抛物线的对称轴为直线， ； ②令，则， 解得 ， 抛物线在或上，；在上，， ，， 抛物线在上的图像最高点的横坐标为，在上最低点的横坐标为， 的最大值为，的最小值为， 取最大值12， ，解得， ； 【小问3】点在抛物线上， ，整理，得， 或， 当时，抛物线的解析式为：， 令，，整理得， 设方程的两根为， ， ，当时，总有；当时，总有， ， 方程的判别式 ， 分情况讨论： 当，即时，(与矛盾，舍去）； 当，即时，， ，解得； 抛物线的解析式为的顶点横坐标为：， ，对称轴， 在上，k随b的增大而增大， 当时，， 当时，， k的取值范围为：． 当时， ①时，， 令，则，解得， 当时，总有；当时，总有， 不成立，舍去； ②时，， 令，则，解得， 当时，总有；当时，总有， 不成立，舍去； 综上所述，． 【点睛】本题考查了初中数学中的方程与不等式、函数图像及性质、几何图形的面积与周长计算等知识点，解题的关键在于准确理解题目条件，合理运用相关公式和定理，通过逻辑推理建立正确的数学模型，进而求解． 25. 如图，，连，，，半径交，于E，F两点，延长至点G，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值； （3）连交于点H，若的半径为5，，求的周长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，运用同弧或等弧所对的圆周角相等及已知条件即可证得； （2）证明，得，由，设， 得，，利用勾股定理及平行线分线段成比例定理表示出相关线段即可得出答案； （3）连接，证明，，利用成比例的线段及勾股定理，用表示，根据，求出即可得出周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，设， ，， 中，， 中，， ， ， ， ，即， ， ； 【小问3详解】 解：连接， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 或， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的周长是或. 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的切线的判定、圆的相关性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理在几何计算中的运用，综合性比较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）1月月考数学试题 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年河南小麦产量由国家统计局官方数据确认，总产量为75000000000斤．数据75000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 了解一批电视机的使用寿命适合采用普查 B. 从一副扑克牌中任意抽取张，抽到“”是随机事件 C. 要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件 5. 关于反比例函数的描述错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、第四象限 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而增大 6. 如图，直线，直线相交于点E，若，则线段的长为（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 7. 已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，M是上一点，且，平分，过M作交于F，则（    ） A. 3 B. C. 4 D. 9. 某输油管道运输时，油面最高位置如图所示，若油面最大深度为米时，污水横截面的宽度为米，则排水管的半径是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，点，分别在轴，轴正半轴上滑动，点，分别在轴，轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（　　） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 二．填空题（每题3分，满分18分） 11. 若、为实数，且满足，则__________． 12. 写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是，可以是________． 13. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面的顶角是______度． 14. 如图，将绕点逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_______°． 15. 反比例函数的图像如图所示，若的面积是2，则k的值为_____________． 16. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的动点，则取最小值时，点坐标是____． 三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：．其中． 19. 如图，在中，弦为，弦为，为的直径，D为的中点．连接和，与相交于点F． （1）求证：； （2）求的值． 20. 某校计划开设五项活动：跳绳、篮球、乒乓球、跑步、踢毽子．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，在全校随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一项），统计整理并绘制了如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次问卷调查的学生共有________人，并补全条形统计图；“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为________度； （2）学校体育老师从喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 21. 如图，点C在以为直径的⊙上． （1）作的平分线交于点D； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 22. 李明在“鱼菜共生系统对水质的影响”实验研究中，针对水质中的氨氮含量进行了实时监测，如图是水质中氨氮含量与时间x（天）的变化图象，其中为一条线段，段满足反比例函数关系， （1）段的函数解析式为________； （2）李明以普通养殖塘为对照组，发现对照组的氨氮含量与时间满足直线的函数解析式，则在第40天时，鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低多少？ 23. 中，，为边上一点．经过点，与，两边分别交于点，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若与相切于点，且，求的半径长． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若双曲线经过点，直线与y轴交于点． ①求a，b的值； ②求抛物线与x轴的交点的横坐标； ③若点，在抛物线上，其中，，求证：． （2）若抛物线与x轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线． ①求t值； ②若点，在抛物线上，其中，，当取最大值12时，求a，b的值． （3）若点，在抛物线上，当时，总有；当时，总有，设抛物线的顶点坐标为，请直接写出k的取值范围． 25. 如图，，连，，，半径交，于E，F两点，延长至点G，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值； （3）连交于点H，若的半径为5，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $