精品解析：北京市育才学校2025-2026学年高一上学期期末数学试题

北京育才学校2025-2026学年度第一学期期末试卷 高一数学 本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集运算即可求解. 【详解】因为全集，， 则， 故选：D 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式即可直接判断. 【详解】对于A，在上单调递减，错误； 对于B，在区间上单调递增，正确； 对于C，在上单调递减，错误； 对于D，在上单调递减，错误. 故选：B 3. 已知、，且，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用绝对值的性质可判断AB选项的正误，取可判断C选项的正误，利用不等式的基本性质可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，，A选项中的不等式恒成立； 对于B选项，，，B选项中的不等式恒成立； 对于C选项，取，，所以，，即，C选项中的不等式不恒成立； 对于D选项，，由不等式的基本性质可得，D选项中的不等式恒成立. 故选：C. 4. A，B两个小组各有6名同学，他们一周的课外阅读时长（单位：小时）如下： A组： 5 6 7 8 9 8 B组： 9 6 7 8 9 10 设A，B两组同学课外阅读时长的平均数依次为，方差依次为，.则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据均值与方差的计算公式直接求解即可． 【详解】根据题意，， ， ， ，． 故选：C． 5. 已知一元二次方程的两根分别为和，则（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用根与系数的公式，再由求解即可. 【详解】由题意可得，，，由韦达定理可得，，， 所以，所以. 故选：A. 6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度 C. 向下平移1个单位长度 D. 向上平移1个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】变形函数解析式，结合函数图象平移规则即可求解. 【详解】由， 可知：只需把函数的图象上所有的点向下平移1个单位长度， 故选：C 7. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立直角坐标系，再计算模长即可． 【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系， 则，， ， ． 故选：B． 8 已知.若，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，解一元二次方程即可求解. 【详解】因为，则 依题意，又， 则，即， 解得或(舍去)， 故， 故选：D 9. 设函数则“”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先分析每一段的单调性，再分析分段点处的衔接条件，即可求出在上单调递减的充要条件. 【详解】当时，，这是底数为的指数函数，在上单调递减； 当时，，这是开口向上、对称轴为的二次函数，在上单调递减（对称轴左侧递减）； 充分性：若，则，即，因为，所以，又因为两段函数在各自区间上均单调递减，所以在上单调递减. 必要性：若上单调递减，则分段点处必须满足，即. 故选：C. 10. 已知，，2，3，4，5，且，记，其中表示，，，这k个数中最大的数，则A的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，，，构造等式成立的对称情况求解即可. 【详解】由题意可得，，，，， 因为，若让，则有，，， 即，， 代入可得，，因，即，所以， 所以，即， 同理，所以，即，又因为，所以，，解得， 所以A的最小值是. 故选：B. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由求解. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 12. 已知命题r：“，”，则：______. 【答案】， 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】命题r：“，”， 则：“，”， 故答案为：， 13. 设平面向量，，.则使得向量与共线的一组实数x，y的值为______，______. 【答案】 ①. （不唯一） ②. （不唯一） 【解析】 【分析】易得，再根据向量与共线，由求解. 【详解】因为向量，， ， 所以， 又因为，且向量与共线， 所以， 即， 故答案为：（不唯一） 14. 若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，则S的非空子集的个数为______；从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 【答案】 ①. 31 ②. 【解析】 【分析】由集合的元素个数求出其非空子集个数；求出集合具有“对称特征”的子集个数，进而求出概率. 【详解】集合有5个元素，因此S的非空子集的个数为； 集合具有“对称特征”的子集为 ，共7个， 所以选取的集合具有“对称特征”的概率为. 故答案为：31； 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③，； ④，. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由，求，再结合单调性逐项判断即可. 【详解】由题意得，定义域为， 由解析式可知在定义域上单调递减， 可得， 对于①,由，得，所以，正确， 对于②，由单调性可知当，，即，正确； 对于③，因为，则， 则，错误； 对于④，令， 则， 即，故正确， 故答案为：①②④ 三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，，其中. （1）当时，求； （2）若“，使得”为真命题，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定，结合并集运算即可求解； （2）先求得时，的取值范围，进而可求解. 【小问1详解】 当时，， 又 则； 【小问2详解】 由“，使得”为真命题， 可得， 先计算， 由，又， 当时，即，得，符合， 当时，即，由， 可得或，即或，又， 所以， 综上可知时，a的取值范围是， 所以时，a的取值范围是， 即“，使得”为真命题，a的取值范围是. 17. 运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181 180 179 178 173 172 170 168 乙：180 179 175 171 170 169 丙：183 176 165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. （1）估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； （2）估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； （3）甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）丙 【解析】 【分析】（1）由频率计算公式即可求解； （2）分别计算乙丙获得优胜奖的概率，再计算乙丙都没获得优胜奖的概率，再由对立事件计算公式即可求解； （3）结合甲乙丙高分段的数量（频率）和最大值即可判断. 【小问1详解】 由甲：181 180 179 178 173 172 170 168 8组数据中成绩达到以上（含）有4组， 甲在决赛中获得优胜奖的概率为； 【小问2详解】 由乙：180 179 175 171 170 169 6组数据中成绩达到以上（含）有3组， 故乙在决赛中获得优胜奖概率为； 由丙：183 176 165 3组数据中成绩达到以上（含）有2组， 故丙在决赛中获得优胜奖的概率为； 则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：， 故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为； 【小问3详解】 甲的成绩达到以上（含）的数量为2， 概率（频率）为，最大值为181； 乙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为180； 丙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为183； 可判断丙获得冠军的概率最大. 18. 已知函数. （1）证明是偶函数； （2）判断在区间上的单调性，并加以证明； （3）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明见解析； （2）单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数定义推理得证. （2）化简函数并判断单调性，再利用函数单调性定义推理得证. （3）利用偶函数及单调性求出最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，， 所以函数是偶函数. 【小问2详解】 当时，函数，函数在上的单调递增， 任取，则， 由，得，则，即， 所以函数在上的单调递增. 【小问3详解】 由（1）（2）知偶函数在上的单调递增， 则函数在上的单调递减，当时，，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 19. 某公司一年需采购某种元件18000件，每件元件的采购价为25元.公司对该元件每年分n次采购，每次采购的数量均为m件，每次采购的手续费为5000元.已购入未使用的元件要放入库房仓储备用，经统计，每年元件的平均仓储量为件，每个元件每年的仓储费为20元.为使该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和最小，则每年采购的次数是多少? 【答案】6 【解析】 【分析】设该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和为，由题意得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知， ，即 设该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和为， 则， 即 ， 当且仅当，即时，取等号， 故每年采购的次数是6，可使公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和最小. 20. 已知函数的图象经过点. （1）求c的值； （2）解不等式：； （3）证明：存在零点，且所有零点之积小于1. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由对数的运算可得； （2）整理后设，分和结合对数的运算可得； （3）取特殊值结合零点存在定理可判断；结合单调性和对数的运算性质可证明. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 整理可得， 设，则不等式变为， 显然左边和右边不能相等，所以右边必须大于零， 即， 当时， 不等式为， 即，即； 当时， 不等式为， 此时若时， 即，无解； 若时， 不等式为， 即， 综上，不等式的解集为； 【小问3详解】 ，函数定义域为， 取，则， 因为，所以； 取，； 取，， 由零点存在定理可得在上存在零点， 令，即， 当时，方程为， 由单调性可知，左边单调递增，右边单调递减，方程最多有一个解，设为； 当时， 方程为， 因为， 作出函数和图象， 由函数图象可得此时方程也有一个解，设为， 所以， 两式相加可得， 因为. 21. 已知集合，其中.若A的子集满足，则称T具有性质P.A的所有具有性质P的子集T的个数记为. （1）当时，写出A的所有具有性质P的子集T； （2）当时，若，且，证明：数对，和，中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值. 【答案】（1）、 （2）证明见解析. （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题干定义找出集合即可； （2）用反证法，假设数对和的两数奇偶性均不同，找出矛盾即可； （3）要最大化，集合A应包含尽可能多的三元等差数列，再依次计算的子集T个数即可. 【小问1详解】 集合，元素按从小到大排列为 满足的三元子集T需满足其中一个元素是另外两个的平均数. 对于：，满足条件，故 对于：，满足条件，故 因此满足的子集有和. 【小问2详解】 假设数对和的两数奇偶性均不同，即： 与一奇一偶，故为奇数； 与一奇一偶，故 为奇数. 集合的三元子集共个： ：若满足，左边为偶数，右边为奇数，矛盾，故不满足； ：若满足，左边为偶数，右边为奇数，矛盾，故不满足； ：需​； ：需.​ 若这两个子集都满足，则​，与​矛盾。因此最多只有1个子集满足条件，与矛盾. 故假设不成立，即数对和中至少有一对的两数奇偶性相同. 【小问3详解】 要最大化，集合A应包含尽可能多的三元等差数列（即长度为3的等差数列）， 当A为公差为1的等差数列（如）时，三元等差数列的个数最多， 对于集合，计算三元等差数列个数： 公差：，，…，，共7个； 公差：，，…，，共5个； 公差：，，，共3个； 公差：，共1个； 总个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京育才学校2025-2026学年度第一学期期末试卷 高一数学 本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知、，且，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. A，B两个小组各有6名同学，他们一周的课外阅读时长（单位：小时）如下： A组： 5 6 7 8 9 8 B组： 9 6 7 8 9 10 设A，B两组同学课外阅读时长平均数依次为，方差依次为，.则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知一元二次方程两根分别为和，则（ ） A. B. C. 5 D. 3 6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度 C. 向下平移1个单位长度 D. 向上平移1个单位长度 7. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ） A B. C. 5 D. 8. 已知.若，则（ ） A. B. C. D. 9. 设函数则“”是“在上单调递减”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知，，2，3，4，5，且，记，其中表示，，，这k个数中最大的数，则A的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______. 12. 已知命题r：“，”，则：______. 13. 设平面向量，，.则使得向量与共线的一组实数x，y的值为______，______. 14. 若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，则S的非空子集的个数为______；从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③，； ④，. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16 已知集合，，其中. （1）当时，求； （2）若“，使得”为真命题，求a的取值范围. 17. 运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181 180 179 178 173 172 170 168 乙：180 179 175 171 170 169 丙：183 176 165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. （1）估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； （2）估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； （3）甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 18. 已知函数. （1）证明是偶函数； （2）判断在区间上的单调性，并加以证明； （3）求在区间上的最大值和最小值. 19. 某公司一年需采购某种元件18000件，每件元件的采购价为25元.公司对该元件每年分n次采购，每次采购的数量均为m件，每次采购的手续费为5000元.已购入未使用的元件要放入库房仓储备用，经统计，每年元件的平均仓储量为件，每个元件每年的仓储费为20元.为使该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和最小，则每年采购的次数是多少? 20. 已知函数的图象经过点. （1）求c的值； （2）解不等式：； （3）证明：存在零点，且所有零点之积小于1. 21. 已知集合，其中.若A的子集满足，则称T具有性质P.A的所有具有性质P的子集T的个数记为. （1）当时，写出A的所有具有性质P的子集T； （2）当时，若，且，证明：数对，和，中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $