2025-2026学年北师大版七年级数学上册期末考试卷

2025-2026学年北师大版七年级数学上册期末考试卷（含答案） （满分150分 时间120分钟） 第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1.-2 的相反数等于（ ） A. -2 B. − C. 2 D. 2.“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞” 是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇飏如丝的细雨飘飞。诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 都不正确 3.2025 年 10 月 1 日，国庆假期第一天，天下第一泉 (济南趵突泉) 风景区接待游客超过 391 200 人次。将数字 391 200 用科学记数法表示应为（ ） A. 3912×102 B. 39.12×104 C. 3.912×105 D. 3.912×106 4.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 中央电视台春节联欢晚会的收视率 B. 手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 C. 神舟二十一号载人飞船发射前对零部件的检查 D. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 5.农民插秧时，为使插秧的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 线段可以比较大小 D. 线段有两个端点 6.若−8xmy3与x2yn是同类项，则m−n的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 7.如图所示，小华借助直尺和三角板，根据 “一重合、二紧靠、三移动、四画线” 的步骤完成了 “过直线 AB 外一点 P 画直线 CD∥AB”，其中依据的数学原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子。每人分 4 个梨，多 12 个梨；每人分 6 个梨，恰好分完。” 设有 x 人，则可列方程为（ ） A. = B. = C.4x−12=6x D.4x+12=6x 9.如图，延长线段 AB 至 C，使 BC=2AB，延长线段 BA 至 D，使 AD=3AB，点 E 是线段 DB 的中点，点 F 是线段 AC 的中点，若 AB=6cm，则 EF 的长度为（ ） A. 15cm B. 16cm C. 18cm D. 20cm 10.有一列数 {-1，-2，-3，-4}，将这列数的每个数求其相反数得到 {1，2，3，4}，再分别与 1 的和的倒数，得到 {,,,}，称 {,,,} 为一次操作，记为 {a1,a2,a3,a4}；第二次操作是将 {a1,a2,a3,a4} 再进行上述操作，得到 {a5,a6,a7,a8}；第三次将 {a5,a6,a7,a8} 重复上述操作，得到 {a9,a10,a11,a12}… 以此类推。下列说法中：①a5=2，a6=，a7=，a8=；②a2026=−2；③a1+a2+a3+…+a359+a360=−79正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。 11.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家。若向前走 8 步记作 + 8 步，则向后退 3 步可记作________步。 12.下面几个几何体的截面可能为圆的是________。（填写序号） ①圆柱 ②圆锥 ③棱柱 13.一副直角三角板如图所示放置，点 E 在 BC 的延长线上，BC∥DF，则∠CDE=________度。 14.关于 x 的一元一次方程3x−m=4与一元一次方程1+2x=7有相同的解，则 m 的值为________。 15.将一张长方形的纸对折，如图 1 所示，对折 1 次后纸片上有 1 条折痕。再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图 2 所示，对折 2 次后纸片上有 3 条折痕。按照上述方法连续对折 10 次，则纸面上一共有________条折痕。 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 7 分） 如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的。 （1）这个几何体由________个小正方体组成； （2）请按要求在方格内分别画出这个几何体从左面和上面看到的形状图。 17.（本小题满分 8 分）计算：（1）(−3)+(+13)+(−5)−(−5) （2）−12025+(−3)2÷−∣−2∣ 18.（本小题满分 8 分）先化简，再求值：3(x2−3y)−(3x2+y−x)，其中∣x+1∣+(y−2)2=0。 19.（本小题满分 8 分）解方程：（1）3x−1=x+5 （2）−=1 20.（本小题满分 6 分）如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE⊥OD，OF 平分∠BOD。若∠BOF=25°，求∠AOE 的度数。 21.（本小题满分 9 分）阳光中学有一块长为 y m，宽为 10 m 的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个学生自主菜园。如图，空地有两边靠墙，在不靠墙的两边均需留出宽为 x m 的小路，余下的长方形部分作为学生自主菜园，种植各种瓜果蔬菜。 （1）学生自主菜园的长为________m，宽为________m；（用含 x，y 的代数式表示） （2）现要给学生自主菜园周围围上护栏（靠墙的边不用围），请用含 x，y 的代数式表示护栏的总长度。若每米护栏的价格为 80 元，求当x=2.5，y=20时购买护栏所需的总费用。 22.（本小题满分 10 分）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A.50≤x<60；B.60≤x<70；C.70≤x<80；D.80≤x<90；E.90≤x≤100。根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图。 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了________名学生，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，A 组所对应扇形的圆心角为________度； （3）该校要对成绩在 E 组（90≤x≤100）的学生进行奖励，请估计该校 2000 名学生中获奖的学生人数。 23.（本小题满分 10 分）某水果店用 870 元从某水果产地购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲品种苹果重量比乙品种苹果多 20 千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： （注：获利 = 售价 - 进价） （1）该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？ （2）该水果店将这些苹果全部售完后，将获利多少元？ 24.（本小题满分 12 分）问题解决策略 —— 归纳 “低多边形风格” 是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图）。 【数学问题】某数学兴趣小组受此启发提出了如下问题：一个 m 边形，内部有 n 个点，可把原多边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（分割方法：在多边形内取一定数量的点，连同多边形的顶点，逐步连接这些点，连线不相交，使多边形内部都变成三角形。） 【问题探究】（1）为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手： ①当三角形内点的个数为 4 时，请补全表格中的图，并填空：a=________； ②变化规律是：三角形内的点每增加 1 个，小三角形增加________个； ③当三角形内点的个数为 n 时，分割得到的小三角形有________个； 【类比应用】（2）四边形有 4 个顶点，若内部有 1 个点，连线后可以把四边形分割成________个小三角形；四边形内部每增加 1 个点，分割得到的小三角形增加________个； 当四边形内点的个数为 n 时，分割得到________个小三角形； 【问题解决】（3）结论：m 边形内有 n 个点时，可以分割得________________个小三角形，请仿照（2）写出此结论的探索过程。 25.（本小题满分 12 分）光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图 1，在反射现象中，过入射点 O 垂直于反射面 MN 的直线叫做法线 OC。入射光线 AO，反射光线 OB 和法线 OC 都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（∠AOC），反射光线与法线的夹角叫做反射角（∠BOC）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律。请你利用反射定律解决以下问题： （1）如图 2，入射光线 AO 经镜面 MN 反射后的光线与墙相交于点 B，若∠AOB=110°，则∠BON=________； （2）如图 3，将支架平面镜 CD（可调节角度）放置在水平地面 MN 上，激光笔 AB 发出的光束 BE 经过镜面 CD 反射后与天花板形成的点记为 F，激光笔 AB 与水平天花板 PQ 所成的锐角为 30°，支架平面镜与地面的夹角∠DCM=α（0°≤α<75°）。 ①若 α=20°，求反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE 的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角 α 的角度，保证点 F 不与点 A 重合（CD 足够长）。请直接写出反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE 的度数（用含 α 的式子表示）和 α 的取值范围。 参考答案 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1.-2 的相反数等于（ C ） A. -2 B. − C. 2 D. 2.“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞” 是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇飏如丝的细雨飘飞。诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（ A ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 都不正确 3.2025 年 10 月 1 日，国庆假期第一天，天下第一泉 (济南趵突泉) 风景区接待游客超过 391 200 人次。将数字 391 200 用科学记数法表示应为（ C ） A. 3912×102 B. 39.12×104 C. 3.912×105 D. 3.912×106 4.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ A ） A. 中央电视台春节联欢晚会的收视率 B. 手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 C. 神舟二十一号载人飞船发射前对零部件的检查 D. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 5.农民插秧时，为使插秧的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（ B ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 线段可以比较大小 D. 线段有两个端点 6.若−8xmy3与x2yn是同类项，则m−n的值是（ D ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 7.如图所示，小华借助直尺和三角板，根据 “一重合、二紧靠、三移动、四画线” 的步骤完成了 “过直线 AB 外一点 P 画直线 CD∥AB”，其中依据的数学原理是（ B ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子。每人分 4 个梨，多 12 个梨；每人分 6 个梨，恰好分完。” 设有 x 人，则可列方程为（ D ） A. = B. = C.4x−12=6x D.4x+12=6x 9.如图，延长线段 AB 至 C，使 BC=2AB，延长线段 BA 至 D，使 AD=3AB，点 E 是线段 DB 的中点，点 F 是线段 AC 的中点，若 AB=6cm，则 EF 的长度为（ A ） A. 15cm B. 16cm C. 18cm D. 20cm 10.有一列数 {-1，-2，-3，-4}，将这列数的每个数求其相反数得到 {1，2，3，4}，再分别与 1 的和的倒数，得到 {,,,}，称 {,,,} 为一次操作，记为 {a1,a2,a3,a4}；第二次操作是将 {a1,a2,a3,a4} 再进行上述操作，得到 {a5,a6,a7,a8}；第三次将 {a5,a6,a7,a8} 重复上述操作，得到 {a9,a10,a11,a12}… 以此类推。下列说法中：①a5=2，a6=，a7=，a8=；②a2026=−2；③a1+a2+a3+…+a359+a360=−79正确的个数为（ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。直接填写答案。 11.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家。若向前走 8 步记作 + 8 步，则向后退 3 步可记作____－3____步。 12.下面几个几何体的截面可能为圆的是___①②_____。（填写序号） ①圆柱 ②圆锥 ③棱柱 13.一副直角三角板如图所示放置，点 E 在 BC 的延长线上，BC∥DF，则∠CDE=____15°____度。 14.关于 x 的一元一次方程3x−m=4与一元一次方程1+2x=7有相同的解，则 m 的值为____5____。 15.将一张长方形的纸对折，如图 1 所示，对折 1 次后纸片上有 1 条折痕。再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图 2 所示，对折 2 次后纸片上有 3 条折痕。按照上述方法连续对折 10 次，则纸面上一共有____1023____条折痕。 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 7 分） 如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的。 （1）这个几何体由________个小正方体组成； （2）请按要求在方格内分别画出这个几何体从左面和上面看到的形状图。 （1）6 （2） 17.（本小题满分 8 分）计算：（1）(−3)+(+13)+(−5)−(−5) （2）−12025+(−3)2÷−∣−2∣ =10+0 =－1+9×2－2 =10 =15 18.（本小题满分 8 分）先化简，再求值：3(x2−3y)−(3x2+y−x)，其中∣x+1∣+(y−2)2=0。 解原式=3x2－9y−3x2－y+x =－10y+x ∵∣x+1∣+(y−2)2=0 ∴x=－1，y=2 将x=－1，y=2代入原式=－10×2+（－1）=－21 19.（本小题满分 8 分）解方程：（1）3x−1=x+5 （2）−=1 解：3x－x=5+1 解：3x－3－5x－2=6 x=3 x=－ 20.（本小题满分 6 分）如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE⊥OD，OF 平分∠BOD。若∠BOF=25°，求∠AOE 的度数。 ∵OF平分∠BOD，∠BOF=25∘ ∴∠BOD=50∘ ∴∠AOC=∠BOD=50∘ ∵OE⊥OD ∴∠EOD=90∘ ∴∠AOE=180∘−∠AOC−∠EOD=40∘ 21.（本小题满分 9 分）阳光中学有一块长为 y m，宽为 10 m 的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个学生自主菜园。如图，空地有两边靠墙，在不靠墙的两边均需留出宽为 x m 的小路，余下的长方形部分作为学生自主菜园，种植各种瓜果蔬菜。 （1）学生自主菜园的长为________m，宽为________m；（用含 x，y 的代数式表示） （2）现要给学生自主菜园周围围上护栏（靠墙的边不用围），请用含 x，y 的代数式表示护栏的总长度。若每米护栏的价格为 80 元，求当x=2.5，y=20时购买护栏所需的总费用。 （1）y－x 10－x （2）总长度为y－x+10－x=y－2x+10 将x=2.5，y=20代入（20－2×2.5+10）×80=25×80=2000元 22.（本小题满分 10 分）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A.50≤x<60；B.60≤x<70；C.70≤x<80；D.80≤x<90；E.90≤x≤100。根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图。 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了________名学生，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，A 组所对应扇形的圆心角为________度； （3）该校要对成绩在 E 组（90≤x≤100）的学生进行奖励，请估计该校 2000 名学生中获奖的学生人数。 （1）200 （2）86.4° （3）2000××=96人 答：96人。 23.（本小题满分 10 分）某水果店用 870 元从某水果产地购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲品种苹果重量比乙品种苹果多 20 千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： （注：获利 = 售价 - 进价） （1）该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？ （2）该水果店将这些苹果全部售完后，将获利多少元？ （1）设购进乙种苹果x千克，则甲种苹果(x+20)千克 6(x+20)+9x=870 解得x=50 x+20=70千克 答：购进甲种 70 千克，乙种 50 千克 （2）获利：70×(10−6)+50×(15−9)=280+300=580（元） 24.（本小题满分 12 分）问题解决策略 —— 归纳 “低多边形风格” 是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图）。 【数学问题】某数学兴趣小组受此启发提出了如下问题：一个 m 边形，内部有 n 个点，可把原多边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（分割方法：在多边形内取一定数量的点，连同多边形的顶点，逐步连接这些点，连线不相交，使多边形内部都变成三角形。） 【问题探究】（1）为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手： ①当三角形内点的个数为 4 时，请补全表格中的图，并填空：a=________； ②变化规律是：三角形内的点每增加 1 个，小三角形增加________个； ③当三角形内点的个数为 n 时，分割得到的小三角形有________个； 【类比应用】（2）四边形有 4 个顶点，若内部有 1 个点，连线后可以把四边形分割成________个小三角形；四边形内部每增加 1 个点，分割得到的小三角形增加________个； 当四边形内点的个数为 n 时，分割得到________个小三角形； 【问题解决】（3）结论：m 边形内有 n 个点时，可以分割得________________个小三角形，请仿照（2）写出此结论的探索过程。 （1）① 9；② 2；③ 2n+1 （2）4；2；2n+2 （3）2n+m−2 探索过程：m 边形内有 1 个点时，分割成m个三角形；每增加 1 个点，增加 2 个三角形，故n个点时，为m+2(n−1)=2n+m−2 25.（本小题满分 12 分）光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图 1，在反射现象中，过入射点 O 垂直于反射面 MN 的直线叫做法线 OC。入射光线 AO，反射光线 OB 和法线 OC 都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（∠AOC），反射光线与法线的夹角叫做反射角（∠BOC）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律。请你利用反射定律解决以下问题： （1）如图 2，入射光线 AO 经镜面 MN 反射后的光线与墙相交于点 B，若∠AOB=110°，则∠BON=________； （2）如图 3，将支架平面镜 CD（可调节角度）放置在水平地面 MN 上，激光笔 AB 发出的光束 BE 经过镜面 CD 反射后与天花板形成的点记为 F，激光笔 AB 与水平天花板 PQ 所成的锐角为 30°，支架平面镜与地面的夹角∠DCM=α（0°≤α<75°）。 ①若 α=20°，求反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE 的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角 α 的角度，保证点 F 不与点 A 重合（CD 足够长）。请直接写出反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE 的度数（用含 α 的式子表示）和 α 的取值范围。 （1）解：∵反射角 r 等于入射角 i ∴∠AOM =∠BON ∵∠AOM+∠BON +∠AOB =180°,且∠AOB =110° 解得∠BON =35° 在直角三角形BON 中， ∠OBN =90°-∠BON 代入数据得∠OBN =55°; （2）①解：过点 E 作 EG⊥CD 与点 G ，已知∠DCM = a =20°，则入射角∠BEG 与∠DCM 互余 ∴∠BEG =90°-20°=70° 根据光的反射定律，反射角∠GEF =∠BEG =70° ∵天花板与地面平行，激光笔发出的光束与天花板所夹锐角为30° ∴反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE =70°-30°=40°; ②过点 E 作 EG⊥CD 于点 G ，入射角∠BEG =90°- a ，根据光的反射定律，反射角∠GEF =∠BEG =90°-α ∴反射光束 EF 与天花板所形成的角∠AFE =(90°-α)-30°=60°-α 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $