精品解析：上海市嘉定区2025-2026学年高一上学期期末数学样卷试题

2025学年第一学期高一年级 数学样卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设全集，若集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，由补集的运算直接求出即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 2. 若，则是第________象限角．（填“一”“二”“三”或“四”） 【答案】三 【解析】 【分析】直接根据象限角的定义判断即可. 【详解】因为， 所以与终边相同，是第三象限角. 故答案为：三 3. 若关于x的不等式的解集是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以的两根分别为， 所以，即， 故答案为： 4. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由弧长公式和扇形的面积公式计算即可. 【详解】根据扇形的弧长公式可得， 根据扇形的面积公式可得． 故答案为：4. 5. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式代入求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 6. 若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出是区间的中点，即可得出答案. 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得. 故答案为： 7. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解当时，的解，再根据函数奇偶性求解即可. 【详解】当时，， 若，则，解得或（舍去） 因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，的解为， 综上，方程的解集为. 故答案为： 8. 用函数的观点解不等式，则其解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】设函数，根据函数单调性，即可解所求不等式. 【详解】设函数，定义域为， 根据指数、对数函数单调性可得，和都是上的增函数， 所以函数是上的增函数， 又，即，所以， 则不等式的解集为. 故答案为： 9. 对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时，， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意舍去； 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为： 10. 对于实数x，符号表示不超过x的最大整数（例如，）．设，其中．则在区间上，函数的所有零点之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分段讨论求出的解析式，根据解析式可得零点之和. 【详解】当时，，，； 令可得. 当时，，，； 令可得. 当时，，，； 令可得. 当时，，，； 令可得（舍）. 当时，，，； 令可得（舍）. 综上可得，函数的所有零点之和为. 故答案为： 11. 某物流中心计划在仓库内划定一个矩形的分拣区域，该区域被一条对角线分为两个三角形作业区．已知在其中一个三角形作业区内，需要预留一个半径为的圆形区域供自动导引车原地转向使用．若要求这个圆形转向区与矩形分拣区的两邻边及这条对角线都相切，则该矩形分拣区域占地面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据内切得到矩形长和宽的关系式，结合基本不等式求出，根据矩形面积公式可求答案. 【详解】如图，设,矩形面积为， 由题意可知半径为2的圆与内切，， 由相切的性质可得,, 所以，其中； 由勾股定理，所以，即； 由基本不等式可得，当且仅当取到等号， 解得或（舍）， ，即矩形分拣区域占地面积的最小值为. 故答案为： 12. 已知，设定义在上，且满足的函数的值域为A，若集合，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得当时的取值范围即可． 【详解】令，得或（舍去）． 当时，， 故对任意，都存在，，故， 故； 而当时，． 故当时，a的取值范围是． 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ） A. 都能被5整除 B. 至多有一个能被5整除 C. 或不能被5整除 D. 都不能被5整除 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 14. 幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 15. 在平面直角坐标系中，变换表示：先将点P绕原点逆时针旋转角，再将点P到原点的距离变为原来的倍．已知点经过一次变换后得到点．若点再进行一次同样的变换得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第一次变换，数形结合，求出，即可求点的坐标. 【详解】因为, 所以， 故点绕原点逆时针旋转角后对应点为， 和共线，如图， 由点可知，，又与关于轴对称， 所以，则，则与x轴负半轴的夹角为， 故点再进行一次同样的变换得到点在轴的负半轴上，且， 所以点的坐标为， 故选：D 16. 设关于x的方程．已知陈述句：该方程有且仅有一个实数根．给出如下两个陈述句：①；②．则下列说法成立的是（ ） A. 只有是的充分条件 B. 只有是的充分条件 C. 、都是的充分条件 D. 、都不是的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别检验，时，原方程根的情况，再由充分条件的概念得解. 【详解】当时，方程为，即，解得，即方程有且仅有一个实数根； 令，则原方程可化为， 当时，， 方程有两个不等实数根，且， 故方程有且仅有一个正根，由为单调递增函数可知， 原方程有且仅有一个实数根， 综上可知，、都是的充分条件. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知集合，集合． （1）求集合P； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式即可求解； （2）化简集合Q，根据题意转化为是的真子集，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由， 故. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为“”是“”的充分非必要条件， 所以是的真子集， 所以. 因此实数的取值范围为. 18. 已知，，，． （1）分别求和的值； （2）分别求和的值． 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据平方关系和角的范围可得答案； （2）根据和角公式和倍角公式可求答案. 【小问1详解】 因为，，所以，； 因为，，所以，； 所以，， 【小问2详解】 ； 由可得或（舍）， 故. 19. 为了改善空气质量，某科研单位通过实验发现：在一定范围内，每使用1个单位剂量的缓释净化剂，空气中释放的净化剂浓度y（单位：毫克/立方米）随时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为：．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次性使用4个单位剂量的净化剂（此时浓度为1个单位时的4倍），则有效净化时长约为多少小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）科研人员定义了“空气舒适度指数”Q，其计算公式为（其中y为此时空气中的净化剂浓度）．规定：当时，人体感觉“舒适”．若使用了1个单位剂量的净化剂，请问在使用后的3小时内，人体感觉“舒适”的时长约为多久？（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，一次性使用4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可； （2）由求出，再解指数不等式即可得解. 【小问1详解】 根据已知可得，一次性使用 4个单位的净化剂，浓度， 则当时，由，得，所以， 当时，由，得，，得，所以， 综上，， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时， 【小问2详解】 由，即， 解得， 使用了1个单位剂量的净化剂，在使用后的3小时内浓度， 由可得，即， 取对数可得，即， 因为，所以， 所以在使用后的3小时内，人体感觉“舒适”的时长约为小时. 20. 已知函数，其中． （1）求函数的定义域A； （2）若函数的最小值为1，求a的值； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于0，列出不等式求解即可； （2）由二次函数的最值求出的最大值，再由对数函数的单调性求出最小值列方程求解即可； （3）换元后，分离参数，利用基本不等式求出最大值即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 由可知， 所以不等式的解为， 故函数的定义域. 【小问2详解】 令， 当时，， 又为减函数， 所以，可得， 即，解得或（舍去）. 【小问3详解】 令，则由指数函数的单调性知为增函数， 当时，， 不等式可化为，即， 即存在，使得不等式成立， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故. 21. 已知函数的定义域为．对于任意实数集，记，．如果对任意，总有，则称具有“性质”． （1）设，，判断函数与是否具有“性质”，并说明理由； （2）证明：函数具有“性质”的充要条件是为偶函数； （3）已知函数具有“性质”，且当时，．设函数．若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 具有“性质”， 不具有“性质”. 理由如下：对于任意实数集， ； 因为，所以，即，所以具有“性质”. 对于，取集合，则， ，则，显然，所以不具有“性质”. （2） 若为偶函数，则对于任意，都有. 对于任意实数集，， 因为，所以对于任意，都有, 所以具有“性质”. 若具有“性质”，则对于任意实数集，总有. 对于任意一个，取，则，根据定义，，， 因为，所以，即为偶函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“性质”的特点验证即可或利用特例说明不具备“性质”； （2）根据偶函数的定义和“性质”的特征进行证明即可； （3）先求出在区间的最大值，在区间的最大值，根据大小关系，求解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数具有“性质”，由(2)可知是偶函数. 当时，其对称轴为，所以在上单调递减. 根据偶函数的性质，在上单调递增，所以在上的最大值为. ,因为，所以均为增函数， 所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 因为对任意，都存在，使得成立， 所以在上的最大值小于等于在上的最大值，即. 令，则，即，解得或（舍）， 所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高一年级 数学样卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设全集，若集合，则______． 2. 若，则是第________象限角．（填“一”“二”“三”或“四”） 3. 若关于x的不等式的解集是，则________． 4. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______. 5. 已知函数，则________． 6. 若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 7. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程的解集为________． 8. 用函数的观点解不等式，则其解集为________． 9. 对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 10. 对于实数x，符号表示不超过x的最大整数（例如，）．设，其中．则在区间上，函数的所有零点之和为________． 11. 某物流中心计划在仓库内划定一个矩形的分拣区域，该区域被一条对角线分为两个三角形作业区．已知在其中一个三角形作业区内，需要预留一个半径为的圆形区域供自动导引车原地转向使用．若要求这个圆形转向区与矩形分拣区的两邻边及这条对角线都相切，则该矩形分拣区域占地面积的最小值为________． 12. 已知，设定义在上，且满足的函数的值域为A，若集合，则a的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ） A. 都能被5整除 B. 至多有一个能被5整除 C. 或不能被5整除 D. 都不能被5整除 14. 幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ） A. B. C. D. 15. 在平面直角坐标系中，变换表示：先将点P绕原点逆时针旋转角，再将点P到原点的距离变为原来的倍．已知点经过一次变换后得到点．若点再进行一次同样的变换得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 16. 设关于x的方程．已知陈述句：该方程有且仅有一个实数根．给出如下两个陈述句：①；②．则下列说法成立的是（ ） A. 只有是的充分条件 B. 只有是的充分条件 C. 、都是的充分条件 D. 、都不是的充分条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知集合，集合． （1）求集合P； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 18. 已知，，，． （1）分别求和的值； （2）分别求和的值． 19. 为了改善空气质量，某科研单位通过实验发现：在一定范围内，每使用1个单位剂量的缓释净化剂，空气中释放的净化剂浓度y（单位：毫克/立方米）随时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为：．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次性使用4个单位剂量的净化剂（此时浓度为1个单位时的4倍），则有效净化时长约为多少小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）科研人员定义了“空气舒适度指数”Q，其计算公式为（其中y为此时空气中的净化剂浓度）．规定：当时，人体感觉“舒适”．若使用了1个单位剂量的净化剂，请问在使用后的3小时内，人体感觉“舒适”的时长约为多久？（结果精确到0.1） 20. 已知函数，其中． （1）求函数的定义域A； （2）若函数的最小值为1，求a的值； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 21. 已知函数的定义域为．对于任意实数集，记，．如果对任意，总有，则称具有“性质”． （1）设，，判断函数与是否具有“性质”，并说明理由； （2）证明：函数具有“性质”的充要条件是为偶函数； （3）已知函数具有“性质”，且当时，．设函数．若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $