2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（面积问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（面积问题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 2．如图，两条抛物线，与分别经过点且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在轴的正半轴上，顶点在轴上方，抛物线恰好经过点，点为抛物线的顶点，连接，若的面积为10，则正方形的边长为（    ） A．6 B．4或5 C．4 D．5 4．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴平行线交抛物线于点B，连接、，则的面积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 6．已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点B，的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．无法计算 7．已知抛物线的顶点是原点，点A在第一象限抛物线上，点B为点A关于原点对称点，交抛物线于点C，则的面积S关于点A横坐标的m的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与坐标轴交于两点，与轴交于点．，如果直线平分四边形的面积，那么的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，交y轴于点C，点D在该函数第四象限内的图象上，若的面积为，则点D的横坐标是（    ）．    A．1 B． C． D．2 10．如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．则下列说法中错误的是（    ） A．一元二次方程有两个相等的实数根 B．若点，，均在该抛物线上，则 C．在y轴上找一点D，使的面积为1，则点D的坐标为 D．将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线解析式是 二、填空题 11．如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，，则的面积是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 13．如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为 14．如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 ． 15．如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 三、解答题 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点． (1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标； (2)求面积的最小值． 17．如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 18．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若，则___________；点P的坐标___________． (2)随m的取值不同的长度是否发生变化，如不变求出定值，若变化，请说明理由； (3)当的面积为6时，求出所有满足条件的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（面积问题）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B D B A B B C 1．D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 2．D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题，先求出，再由抛物线是抛物线向上平移2个单位长度得到的，且点A和点B的纵坐标的差值为2，可知阴影部分的面积即为图中长方形的面积，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∵抛物线是抛物线向上平移2个单位长度得到的，且点A和点B的纵坐标的差值为2， ∴阴影部分的面积即为图中长方形的面积， ∴， 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，确定该抛物线的顶点坐标是解题关键．设正方形的边长为，将抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，过点作于点，易知，然后结合三角形面积公式建立关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设正方形的边长为， 即， ∵抛物线， ∴该抛物线顶点， 过点作于点，如下图， 则， ∵的面积为10， ∴， 整理可得 ， 解得，， ∴正方形的边长为4或5． 故选：B． 4．B 【分析】根据已知条件得到抛物线的顶点的坐标为，求得点的横坐标为2，把代入得，，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：抛物线的顶点的坐标为， 轴， 点的横坐标为2， 把代入得，， ， ， 的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．D 【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：当时，，则， 当时，，解得，则，， ， 设， 当时，面积的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．B 【分析】根据平移的性质和抛物线的对称性可知图中阴影部分的面积的面积． 【详解】】解：∵， ∴，， 则． 又当时，， 则， 故． ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线由抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象平移问题，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，根据二次函数图象平移，利用割补法求解． 7．A 【分析】先根据抛物线顶点坐标求出，继而写出A，B的坐标，用两点间距离公式得出的长，再写出的解析式，根据垂直，可得直线的解析式，联立抛物线解析式可求出点C点的坐标，继而求出的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】∵抛物线的顶点是原点， ∴， ∴， ∴解析式为， ∴， ∵点B为点A关于原点对称点， ∴， ∴直线的解析式为，， ∵交抛物线于点C， ∴直线的解析式为， 令，解得（0舍去）， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，三角形的面积公式，二次函数的图象和性质，一次函数的解析式和应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．B 【分析】设直线交x轴于点E，交线段CD于点F，利用一次函数函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C、D、E、F的坐标，由直线平分四边形OBDC的面积，可得出关于k的分式方程，解出k值后经检验后即可得出结论． 【详解】设直线交x轴于点E，交线段CD于点F，如图所示， ∵抛物线与坐标轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴点A(-1，0)，点B(3，0)，点C(0，)， 当时，有， 解得：， ∴点D(2，)， ∴CD＝2， ∵直线交x轴于点E，交线段CD于点F， ∴点E(，0)，点F(， )， ∵直线平分四边形OBDC的面积， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积，由直线平分四边形OBDC的面积，找出关于k的分式方程是解题的关键． 9．B 【分析】此题根据题意先求出B，C两点坐标，再根据的面积为，利用分割法表示出面积表达式，结合二次函数联立方程求解即可． 【详解】解：解方程 解得： ， 则A、B的坐标是(-1，0)和(3，0)， 又， ∴C的坐标是(0，-3) 设D的坐标为（a，b）， 作DM⊥AB于M，如图：    则 ， 又D在抛物线上， ∴， 联立方程解得：a= ，b= ， ∴点D的横坐标是 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数问题中根据图形面积求坐标，根据图像性质找出相关坐标，并利用割补法表示面积是关键，计算量较大． 10．C 【分析】解出方程的解即可判断A；分别将横坐标代入求出纵坐标，进行比较即可判断B；设点D的坐标为，则，求解即可判断C；先将二次函数解析式变成顶点式，再写出平移之后的解析式，再根据沿x轴翻折，即可判断D． 【详解】解：A．方程整理得：， 解得：， 即一元二次方程有两个相等的实数根， 故选项A不符合题意； B．当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选项B不符合题意； C．当时，，即； 当时，，即； 设点D的坐标为， 即， 解得或4， ∴点D的坐标为或， 故选项C符合题意； D．∵， ∴将该抛物线先向左平移1个单位得到的抛物线解析式为：， 平移后再沿x轴翻折，翻折后得到的抛物线表达式是：， 故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，铅锤法求面积，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质是解题的关键． 11． 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ， 则， ， ∴的面积是. 故答案为：． 12．或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 13． 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，作轴于H，设，求出，把代入，得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于H， 设， 令，则，解得：，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∵， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 【详解】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 15．8 【分析】根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过抛物线的顶点D作轴，与y轴交于点C，如图所示， 因为 则四边形是矩形， ∵抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点， ∴，， 将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积， ∴． 故答案为：8 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质与判定，二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积． 16．(1) (2)16 【分析】（1）根据即可求解； （2）作轴交直线于D，设E、F点的横坐标分别为，，则，为方程的两根，可用，表示出，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵k为任意不为0的实数， ∴，， 解得: ，， ∴直线L经过定点D，其坐标为； （2）解：设E、F的横坐标分别为，， 则，为方程的两根， 整理得， ∴，， ∴， 当时，有最小值，最小值为8， 当时，， 解得：，， ∴， 作轴交直线于点D，如图， 则， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，的最值，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 17．(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）令求出坐标，利用即可； （3）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 18．(1)4； (2)随m的取值不同的长度不发生变化，为定值4 (3)所有满足条件的值为或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）先求出得出顶点坐标，再求出当时，方程的解为，即可求出； （2）先求出当时，方程的解为，即可求出； （3）先求出，，再分两种情况：当时或当时，分别求出相应的的值． 【详解】（1）解：当时，抛物线， ， 当时，， 解得：， ∵点在点左侧， ， ； （2）解：随m的取值不同，的长度不发生变化，为定值4，理由如下： 当时，， ， 解得：， ∵点在点左侧， ， ； ∴随m的取值不同，的长度不发生变化，为定值4； （3）解：当时，， ， ， ， 当时，即或， ， 解得：； 当时，即， ， 解得：； 综上，所有满足条件的值为或． 19．(1)； (2)①存在，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． （1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． ②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． ②设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 代入 ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ∴点横坐标为， ∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等， ， 和等高， ． 20．(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $