河北省衡水市第二中学2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学试题

高二年级期末质量检测 数学 考试说明： 1. 本试卷共150分。考试时间120分钟。 2. 请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知曲线在点处的切线方程是，则 A.5 B. C.2 D. 2. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 3. 已知是的导函数，若，则 A. B. C. D. 4. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的离心率为 A. B. C. D. 5. 已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数，则 A. B. C. D. 7. 在数列中，，，，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8. 记数列的前项和为，对任意，，当且仅当，，则 A.442 B.455 C.470 D.485 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9. 下列命题中正确的是 A. 函数 的导函数是 B. 双曲线 的渐近线方程是 C. 若数列 满足 ，，则 D. 函数 在区间 上是减函数 10. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则下列说法中正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 11. 已知数列 中，，，则 A. ， B. 是递增数列 C. D. 数列 的前 项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ________. 13. 已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 ________. 14. 已知函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为 ________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 16.（本小题满分15分） 已知函数 ，且 。 （1）求的值； （2）讨论的单调性。 17.（本小题满分15分） 已知点在抛物线：（）上，是的焦点，。 （1）求的标准方程； （2）若是的准线，过点作直线的垂线，垂足为，线段交于点，且为锐角三角形，，求的值及的外接圆半径。 18.（本小题满分17分） 已知数列满足，。 （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和； （3）设，证明：。 19.（本小题满分17分） 已知椭圆，过点作两条动直线，，分别交于两点，（，与不重合），且满足，其中，分别为直线，的斜率。 （1）若直线的斜率为1，求线段的长度； （2）求直线的斜率； （3）设直线与分别交轴于点，，求证：的中点为定点。 高二年级期末质量检测 数学（一） 参考答案 1.A【解析】根据导数的几何意义，函数在处的导数，就是曲线在点处切线的斜率5.故选A. 2.B【解析】抛物线的标准方程为，所以准线方程为.故选B. 3.D【解析】由导数的定义得，所以.故选D. 4.A【解析】由题意知，所以，的离心率.故选A. 5.A【解析】若等比数列是递增数列，则或，则必有；若，则的公比，但是递减数列，所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件.故选A. 6.B【解析】因为，所以，所以，所以，，.故选B. 7.C【解析】已知①，当时，②，① - ②可得：当时，，即，由，可得，所以数列是各项均为1的常数列，因此，即.将代入不等式，得到对恒成立，即对恒成立.设，则 ，令，解得，所以当时，递增；当时，；当时，递减，所以的最大值为。因为对恒成立，所以，即。故选C。 8.C【解析】由题意得，区间上的项数为，所以当确定时，有个连续的，对应。当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；当时，，则项数为，对应；前段的项数之和为，因此，第项属于的段，此时，所以。故选C。 9.CD【解析】因为，所以，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由题意知， 所以当时，，，，，，把以上式子相加可得，所以，也符合，故C正确； 对于D，令，即解得且，因为，故D正确.故选CD. 10.AB【解析】对于A，在等差数列中，，所以，所以，又因为，所以与异号，若，，则，，矛盾，因此，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，，从而，，又因为，所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，因为，所以与异号，但的正负不确定，，所以的符号不确定，故C错误； 对于D，因为，所以，，故D错误.故选AB. 11.ABD【解析】对于A，因为，假设当时，，那么当时，，由数学归纳法可知，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，由A可知，所以是递增数列，故B正确； 对于C，，，，，故C错误； 对于D，因为，所以，所以 ，所以数列的前项和 ，故D正确，故选ABD. 12.1【解析】因为，所以，，所以曲线在点的切线斜率为，因为曲线在点的切线与直线垂直，所以 ，解得. 13.6078【解析】因为是正项等比数列，所以，， 即，由，则 ，故 ，故 ，故. 14.（写成范围也给分）【解析】因为，所以 ，设，则，所以在上单调递增，对于不等式，整理得 ，即，根据函数的单调性及其定义域得 解得，即原不等式的解集为. 15.【解析】（1）因为，所以；…………………3分 （2）因为，所以；…………………6分 （3）因为，所以， 所以；…………………10分 （4）因为，所以…………………13分 16.【解析】（1）因为，所以， 所以，可得.…………………4分 （2）由（1）知，…………………5分 当时，，令，解得，令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；…………………7分 当时，如果，即，令，解得，所以的单调递增区间 为，单调递减区间为和； 如果，即，则，所以的单调递减区间为； 如果，即，令，解得，令，解得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和；……………11分 当时，有，令，解得，令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；…………………12分 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减.…………………15分 17.【解析】（1）由题意得，解得， 所以点的坐标为，……………………………2分 代入的方程得，解得或，……………………………4分 所以抛物线的标准方程为或.……………………………5分 （2）当抛物线的方程为时，准线的方程为， 设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，交于点，则 ，，，……………………………7分 此时，所以是锐角且， 又因为，所以为锐角三角形，……………………………9分 因为点在抛物线上，所以， 所以， 外接圆的半径；13分 当抛物线的方程为时，同理可得，此时，与 为锐角三角形矛盾， 综上，， 外接圆的半径为.15分 18.【解析】（1）因为，所以， 将上式变形为，2分 又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以.4分 （2）由（1）知，所以， 所以①， ②， ①②得 ，9分 高二数学（一） 第7页 所以Sn=(2n-1)×2n+1+2 10分 （3）证明：由题知1cn=12n(2n-1)，当n=1时，1c1=12<58； 11分 当n=2时，∑i=121ci=12+14×3=712<58； 12分 当n≥3时，1cn=12n(2n-1)<12n×12n-1=122n-1， 14分 所以 =712+125-122n+11-14=712+43(132-122n+1)<712+43×132=58， 16分 综上，∑i=1n1ci<58得证 17分 19.【解析】（1）由题意得直线TA的方程为y-32=x-1，即y=x+12， 1分 由{y=x+12x24+y23=1消y得7x2+4x-11=0，Δ=16+4×7×11=4×81>0， 3分 设，，则，， 所以|TA|=1+12|x1-x7|=1+12(x1+x7)2-4x1x7=1827 5分 （2）设直线的方程为， 椭圆方程整理可得， 所以，………7分 整理得， 从而，…………………………9分 则，解得，……………………………11分 所以，可得。……………………………13分 （3）设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为， 令，解得点的横坐标，所以；…………………15分 同理可得，点的坐标为，设的中点为， 则，，……………………………16分 所以线段的中点为定点。……………………………17分 高二数学（一） 第9页 学科网（北京）股份有限公司 $