寒假作业5：三角函数-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一寒假作业5：三角函数 【基础巩固】 一、单选题 1.(2024·江西省宜春市·期中考试)下列命题正确的是(    ) A. 小于的角一定是锐角 B. 终边相同的角一定相等 C. 终边落在直线上的角可以表示为， D. 若角是第二象限角，则是第一或第三象限角 2.(2026·全国·期末考试)单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·陕西省·月考试卷)的值是(    ) A. B. C. D. 4.(2026·全国·期末考试)已知函数，其中若在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题 5.(2025·广东省·期末考试)下列各式中，值为的是    A. B. C. D. 6.(2024·浙江省·模拟题)函数的图象经过怎样的平移可以得到函数的图象(     ) A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 三、填空题 7.(2024·西藏自治区·月考试卷)若的最小正周期为，则的最小正周期为          ． 8.(2025·江苏省扬州市·期末考试)如图，分别以正五边形的顶点、为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，的长为，则扇形的面积为          ． 四、解答题 9.(2025·湖北省·月考试卷)已知函数． 求函数的最小正周期； 求函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合； 求函数的单调递减区间． 10.(2026·全国·期末考试)已知． 求的值； 求的值． 【拓展提升】 一、单选题 1.(2026·全国·期末考试)已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.(2026·全国·期末考试)三个数中，值为负数的个数有    个 A. B. C. D. 二、多选题 3.(2025·广东省·单元测试)若函数最大值是最小值的倍，则实数的值可以是(    ) A. B. C. D. 4.(2024·广东省·单元测试)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有(    ) A. 函数的对称中心为 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，且，则圆心角为，半径为的扇形的面积为 三、填空题： 5.(2025·广东省·单元测试)已知函数给出下列四个结论： 的最小正周期是； 的一条对称轴方程为； 若函数在区间上有个零点，从小到大依次记为，则； 存在实数，使得对任意，都存在且，满足． 其中所有正确结论的序号是          ． 四、解答题 6.(2026·全国·期末考试）已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值． 求函数的解析式： 方程在上有个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【基础巩固】 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了任意角的概念，终边相同的角、象限角的概念，属于基础题． 根据任意角的概念，终边相同的角，象限角的概念逐句判断即可． 【解答】 解：对于锐角是大于且小于的角，小于的角不一定是锐角，如的角，负角，故A错误； 对于终边相同的角可以表示为，所以终边相同的角不一定相等，比如和，故B错误； 对于终边落在直线的角可以表示为或，故C错误； 对于由角是第二象限角，得，则， 当为偶数时，的终边在第一象限当为奇数时，的终边在第三象限，故D正确； 故本题选D． 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题． 由题意推出的大小，然后求出点的坐标  【解答】 解：点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，  所以， 所以， 即点的坐标为：故选． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角函数的化简求值，属于基础题． 将转化为即可求解． 【解答】 解：原式， 故选A． 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查正弦函数的图象与性质，属于中档题． 若在区间上单调递增，满足两条件： 区间的长度超过；的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数求出的取值范围． 【解答】 解：因为函数在区间内单调递增， 所以，所以， 因为，所以， 若在区间上单调递增，则 解得， 当时，，又，则； 当取其它值时不满足，     的取值范围为． 故选： 5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二倍角公式，辅助角公式，诱导公式的应用，属基础题． 利用二倍角的正切公式可求；利用切化弦以及二倍角正弦公式可求；利用二倍角的余弦公式可求解；利用二倍角公式，以及辅助角公式，诱导公式可求解； 【解答】 解：原式，符合； 原式 ，不符合； 原式，符合； 原式，不符合． 故选AC． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题． 由条件根据函数的图象变换规律结合诱导公式，可得结论． 【解答】 解：， 根据左加右减法则， 向左平行移动个单位长度或者向右平行移动个单位长度均可得到 故选AD． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查三角函数周期的计算，属较易题． 结合三角函数的周期公式进行求解即可． 【解答】 解：的最小正周期为， 得， 则的最小正周期为， 即的周期为， 故答案为：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查弧长公式，扇形的面积，属于基础题． 由题意易知为等边三角形，若正五边形边长为且各内角为，利用弧长公式、扇形面积公式求结果． 【解答】 解：如下图，为等边三角形，若正五边形边长为，且各内角为， 所以，则，故， 所以，故扇形的面积为． 故答案为：． 9.【答案】解：函数 ， 故函数的最小正周期为 函数的最大值为， 此时，， 得，； 故函数的最大值为，取得最大值时自变量的取值集合为 令，， 得，， 故函数的单调递减区间为，．  【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于基础题． 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期． 根据正弦函数的最值求得函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合． 利用正弦函数的单调性求得函数的单调递减区间． 10.【答案】解：  【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于中档题． 根据平方关系及商数关系化弦为切，即可得解； 利用诱导公式化简，再根据平方关系化弦为切即可得解． 【拓展提升】 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是二倍角公式，二次函数的性质． 对函数进行变形，结合三角函数的值，解出的取值范围． 【解答】 解：， 故在上有解： 若时，，只需要即可，即，解得： 若时，，只需要即可，即，解得：． 故的取值范围为 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了不同象限内的角的三角函数值的符号特征，属于基础题． 【解答】 解：因为，，，所以； 因为，，，所以， 因为，，，所以， 故、、中，值为负数的个数有个 故选B 3.【答案】  【解析】【分析】 本题重点考查函数的最值，属于较难题． 令，，然后对进行分类讨论即可． 【解答】 解：令 当时，， 令 则 当时，， 则有，解得或舍去 当时，， 则有，解得或舍去 当时，， 则有，解得或舍去 当时，， 则有，解得或舍去 由上可得，实数的值为或或或 故选ABD． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的新定义问题，三角函数的图象与性质，三角恒等变换的综合应用，属于中档题． 选项，化简出，由三角函数的图象与性质找出对称中心； 选项，化简得，由齐次式化简求值； 选项，由题可得，利用换元法令，将原式转换为二次函数，求出最大值即可； 选项，，令，解出，利用扇形面积公式求解即可． 【解答】 解：对于选项， 令，解得， 故对称中心为，故 A错误； 对于选项，， 解得， 故 ，故B正确； 对于选项， ， 令， 则， 故开口向上，且对称轴为，所以当时，取到最大值，此时故 C正确； 对于选项， ， 因为，所以， 即 因为，所以， 所以扇形面积． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决． 画出函数图像，可判断，对于，转化为与在上交点问题，数形结合得到个根的对称性，从而得到答案；对于，时，单调递增，且，从而判断出存在实数，使得对任意，只有一个，满足要求． 【解答】 解：的图象如下： 对于，的最小正周期是，错误； 对于，的一条对称轴方程为，正确； 对于，画出图象，与在上有个交点， 这个交点即为函数在区间上有个零点， 从小到大依次记为，且关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 则， 故，正确； 对于，时，单调递增，且， 对任意，， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故， 由单调性可知存在实数，使得对任意，只有一个，满足，错误． 故答案为： 6.【答案】解：，依题意的图像关于轴对称， 则有，即，而，即有或， 当时，，符合要求，当时，，不符合要求，所以函数的解析式是． 由知，令当时，， 由题意有关于的方程有两个不等的实根， 且与在上均有两个不等的实根， 当时，，的图象如图所示， 故 即关于的方程在上有两个不等的实根， 令， 则，解得 所以实数的取值范围． 【解析】根据给定函数的性质，求出，再由平移后的图象特征求出并判断作答． 由给定方程可得关于的方程在上有两个不等的实根，再根据一元二次方程根的情况求解作答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $