寒假作业3：函数的概念与性质-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一寒假作业3：函数的概念与性质 【基础巩固】 一、单选题 1.(2026·全国·期末考试)函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 2.(2024·浙江省嘉兴市·月考试卷)已知函数的定义域是，则函数的定义域是(    ) A. B. C. D. 3.(2026·全国·期末考试)解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献以他名字命名的狄利克雷函数，以下结论错误的是(    ) A. B. 函数不是周期函数 C. D. 函数在上不是单调函数 4.(2025·湖南省长沙市·月考试卷)已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题 5.(2025·福建省·期中考试)在下列四组函数中，与表示同一函数的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.(2026·全国·期末考试)设，下列选项能表示从集合到集合的函数关系的是(    ) A.   B. C. D. 三、填空题 7.(2026·全国·期末考试)幂函数在上单调递减，则          ． 8.(2025·广东省·期末考试)若函数为奇函数，则          ． 四、解答题 9.(2024·天津市·月考试卷)若函数是定义在上的奇函数，当时，． 求函数的表达式； 若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 10.(2026·全国·期末考试)已知函数． 用定义证明：在区间上是减函数； 证明为奇函数； 解不等式． 【拓展提升】 1、 单选题 1.(2024·湖北省黄石市·月考试卷)已知函数，若的最小值为，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 或 2.(2026·全国·期末考试)已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题 3.(2025·江苏省·单元测试)已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是(    ) A. 在上为减函数 B. 的最大值是 C. 的图象关于直线对称 D. 在上 4.(2026·全国·期末考试)如图所示，边长为的正方形中，为的中点，点的方向运动，设为，阴影部分的面积为，则下列说法中正确的是 (    ) A. B. C. D. 图象的对称轴是 三、填空题 5.(2026·全国·期末考试)对于函数，若在其定义域内存在两个实数，，使当时，的值域也是，则称函数为“保值”函数，区间称为函数的“等域区间”． 请写出一个满足条件的“保值”函数：           若函数是“保值”函数，则实数的取值范围是           ． 四、解答题 6.(2026·全国·期末考试)如图，已知四边形为直角梯形，，，，点从点出发，沿着边运动到点，过点作直线垂直于边，设，则的左侧部分的多边形的面积为，周长为． 求和的解析式； 记，求的最大值． 【基础巩固】 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性问题，属于基础题． 先求得函数的定义域为，再结合二次函数性质和复合函数单调性的判定方法，即可求解． 【解答】 解：令，解得或， 即函数的定义域为， 又函数表示开口向上，对称轴方程为的抛物线， 所以函数在上单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以函数的单调增区间是． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查求函数定义域，属于基础题． 有抽象函数，也有偶次根式，只要保证每部分有意义即可． 【解答】 解：由函数的定义域是，结合函数的特征可知，  解得，故函数的定义域为． 故选：． 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查分段函数，求分段函数的值，以及判断分段函数的周期性和单调性，属于中档题． 根据函数解析式逐个判断可得结论． 【解答】 解：对于，因为，所以，所以A正确， 对于，对于任意非零有理数， 若为任意有理数，则也为有理数，所以； 若为任意无理数，则也为无理数，所以， 所以任意非零有理数，为实数，都有， 所以有理数为函数的周期，所以B错误； 对于，当为有理数时，， 当为无理数时，，所以，所以C正确； 对于，对于任意，且， 若都为有理数或都为无理数，则， 若为有理数，为无理数，则， 若为无理数，为有理数，则， 所以函数在上不是单调函数，所以D正确， 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查幂函数的单调性，属于中档题． 由题意可得，不等式可化为，函数是定义域为的减函数，故可得，解之即可． 【解答】 解：幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数， ，解得， ， 或． 当时，，其图象关于轴对称，不满足题意 当时，，其图象关于原点对称，满足题意， 不等式可化为． 函数是定义域为的减函数， ，解得， 即实数的取值范围是 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查同一函数的判断，属于基础题． 根据两个函数的定义域与对应法则均相同才能判定为同一函数，逐一分析即可． 【解答】解：对于，函数的定义域为，的定义域为，与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于，函数的定义域为，的定义域为，与的定义域相同，对应关系相同，则与是同一函数； 对于，函数的定义域为，的定义域为，与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于，函数，的定义域与对应法则均相同，是同一函数． 故选BD． 6.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查函数的概念，属于基础题． 根据函数的定义：任意存在唯一的与之对应即可判断． 【解答】解：根据函数的定义可知，任意存在唯一的与之对应， 对于，满足任意存在唯一的与之对应，故A正确； 对于，若或，没有与之对应，故B错误； 对于，满足任意存在唯一的与之对应，故C正确． 对于，当时无图象，不满足函数的定义，故D错误； 故选： 7.【答案】  【解析】【分析】 由幂函数的定义得，结合单调性即可得到结果． 【解答】 解：为幂函数，，解得或． 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递减，符合题意； 综上所述： 故答案为：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分段函数的奇偶性及求值问题，属于基础题． 结合已知条件，首先利用奇函数性质和赋值法求出参数，进而可得到答案． 【解答】 解：因为是奇函数， 所以，即， 所以 故． 故答案为：． 9.【答案】解：当时，因为函数是奇函数，； 当时，，． 由是奇函数，得， 所以； 由的解析式，作出的图象： ， 知函数的单调递减区间是， 要使在上单调递减， 则，解得． 所以实数的取值范围是．  【解析】本题主要考查了函数的解析式和函数的奇偶性以及函数的单调性与单调区间，属于基础题． 利用函数的奇偶性，求出函数的解析式； 求出函数的单调递减区间，即可求解出的取值范围． 10.【答案】解：设，且， ， 而，，， 则，即， 故在区间上是减函数； 由，所以为奇函数； 因为为奇函数，可化为， 而在区间上单调递减，则，解得， 故原不等式的解集为． 【拓展提升】 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的最值问题． 将化简，对分类讨论，根据的单调性，用表示出在上的最小值，解得的值即可． 【解答】 解：因为， 当时，在上单调递减， 所以，解得 当时，在上单调递增， 所以舍去， 所以实数的值为． 故选C． 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性，二次函数的性质，不等式等知识，考查数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题． 【解答】 解：是定义在上的奇函数． ，不等式恒成立， 则当时，函数的图象在函数的图象下方． 当时，，不满足题意； 当时，函数的图象可由的图象向左平移个单位得到， 因为函数在上单调递增，所以函数的图象均在函数图象上方，不满足题意； 当时，函数的图象可由的图象向右平移个单位得到， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合图象易知的解集为为两函数与图象的交点，由题意可得， 由解得， 由解得，  显然，所以只需使即可，解得． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的奇偶性与函数的周期性，属于拔高题． 根据题意为奇函数，可知函数关于点对称，再结合函数是偶函数可得出函数的周期为，而，，利用函数是偶函数从而可求得时的解析式，即解出． 【解答】解：因为函数为奇函数， 即函数的图象向左平移个单位则关于原点对称， 所以函数关于点对称， 即， 又函数是偶函数，所以， 于是，， 用替换，可得， 所以得：， 当，， 当时，， ， 所以在上为增函数，故A错误； ， ， 再根据偶函数，周期函数，关于对称，画出该函数的图象，如图： 由图可知最大值为，故B正确； 的图象关于对称，故C正确； 在上，故D正确． 故选：． 4.【答案】CB  【解析】【分析】 本题考查函数基本性质的判断问题，属于中档题． 【解答】解：对于选项，当时，阴影部分的面积显然逐渐增加，即函数在上单调递增，选项错误； 对于选项，当时， ，所以，， ，，选项正确； 对于选项，取的中点，连接， 作点关于直线的对称点， 则，所以，， 绕点按顺时针方向旋转扫过正方形的面积为，由对称性可知， 因为，即，选项正确； 对于选项，由选项可知，，则， 所以，， 所以，函数的图象不关于直线对称，选项错误． 故选：． 5.【答案】答案不唯一  【解析】【分析】 本题考查的是函数新定义问题，方程根的个数问题，属于综合题． 【解答】 解：若是“保值”函数，因为是增函数， 则存在实数，，使，即所以，为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根． 令，则当时，；当时，． 由图可知，当时，直线与曲线有两个不同交点，即方程有两个不等实根，故实数的取值范围是． 6.【答案】解：过作于点， 在直角梯形中，，， 所以，，． 当时，，， 当时，， 所以 ． 由得 当时，在上单调连增，则， 当时，，令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为． 因为， 所以的最大值为．  【解析】本题主要考查函数的实际应用，掌握函数的单调性，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于较难题． 过作于点，再结合面积公式，分，两种情况讨论，即可求解． 根据已知条件，结合函数的单调性，以及基本不等式的公式，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $