专题02整式乘法题型突破讲义（1）(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年新教材苏科版七年级数学下册

专题02整式乘法题型突破讲义（1） 一.单项式乘单项式 1.核心法则：单项式与单项式相乘，把系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同指数不变，作为积的因式。 2.运算步骤： ① 系数相乘，先定符号（同号得正，异号得负），再算绝对值； ② 相同字母的幂相乘，用同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）； ③ 只在一个单项式中出现的字母，连同指数直接抄入积中。 3.易错警示：漏乘系数符号、相同字母指数相加误算为相乘、遗漏单独出现的字母。 二、单项式乘多项式 1.核心法则：单项式乘多项式，是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，本质是乘法分配律的应用，公式为m(a+b+c)=ma+mb+mc。 2.关键要求： 必须逐项相乘，做到不漏乘、不缺项； 单项式为负数时，多项式每一项相乘后都要变号； 计算完成后，若有同类项必须合并，将结果化为最简形式。 3.易错警示：漏乘多项式中的某一项、符号判断错误、忘记合并同类项。 三、多项式乘多项式 1.核心法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，二项式相乘公式为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 2.运算要点： 逐项相乘时，每一项都要带符号运算，避免符号混乱； 二项式乘二项式可按 “前乘前、前乘后、后乘前、后乘后” 的顺序计算，确保不重不漏； 所有项相乘完毕后，必须合并同类项，得到最简整式。 3.易错警示：漏项或重复计算、交叉项符号出错、未合并同类项就结束计算。 基础 过关题 1.单项式乘单项式计算 2.单项式乘多项式及求值 3.多项式乘多项式计算 4.整式乘法混合运算 能力 提升题 5.单项式乘法求字母/代数式值 6.单项式乘多项式的应用 7.由单项式乘多项式求字母值 8.(x+p)(x+q)型多项式乘法 9.多项式乘多项式:化简求值 拓展 拔高题 10.多项式乘积不含项求字母值 11.多项式乘多项式与图形面积 12.多项式乘法中的规律型问题 【题型1.单项式乘单项式计算】 1．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，先计算幂的乘方与积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘单项式，根据单项式乘单项式的运算法则求得，进而根据对应系数、相同字母的指数相等求解即可． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴，， 故选：A． 3．现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【答案】3ab 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 【详解】解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 4．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 解答题 5．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【题型2.单项式乘多项式及求值】 6．关于单项式乘多项式，下列说法正确的是（    ） A．积可能是一个多项式，也可能是单项式 B．积仍是一个单项式 C．积的项数与原多项式的项数相同 D．积的项数与原多项式的项数不同 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的法则，掌握单项式乘多项式的积可能是单项式或多项式，积的项数可能因合并同类项而改变是解题的关键． 根据单项式乘多项式的法则，结合合并同类项的可能性，逐一判断每个选项的正确性． 【详解】解：A、例如，而，则积可能是多项式，也可能是单项式，A符合题意； B、例如是多项式，不是单项式，B不符合题意； C、例如，原多项式有项，积合并后为项，则积的项数可能因合并同类项与原多项式不同，C不符合题意； D、例如，原多项式有项，积也有项，则积的项数可能与原多项式相同，D不符合题意． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的计算，其中包括去括号、合并同类项、幂的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 8．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式的计算，根据题意可得，则可求出，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，则正确的计算结果是 ． 【答案】 【分析】根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案． 【详解】解：设多项式为A， 根据题意得原多项式：， 正确的计算结果为：， 故答案为： . 【点睛】本题考查了整式混合运算，涉及单项式乘以多项式运算、去括号法则及合并同类项等知识，熟练掌握整式的混合运算是解决问题的关键． 解答题 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以单项式，积的乘方． （1）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （4）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型3.多项式乘多项式计算】 11．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 12．有一张正方形纸片，第一次将其分割成4个面积相等的小正方形纸片，第二次将其中的一小张又分割成4个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去，第n次后正方形纸片的个数与第次后正方形纸片的个数的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索的题目，根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律． 其中，以图形为载体的数字规律最为常见． 猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想得出最终结论． 观察图形规律，得出第n次有．据此知第次正方形纸片个数为，再求积即可得出答案． 【详解】解：第一次有4个， 第二次有， 第三次有， …… 以此类推，第n次有． ∴第次正方形纸片个数为， 第n次后正方形纸片的个数与第次后正方形纸片的个数的积为： ， 故答案为：． 13．一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且新得到的正方形面积比原长方形面积小．则这个长方形的长是 ． 【答案】17 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据正方形面积比原长方形面积小，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，由题意，得： ， 解得：， ∴； 故答案为：17． 14．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法以及对新定义求和符号的理解与运用知识点，解题的关键是根据求和符号的运算规则将式子展开并化简，再通过对比系数求出m、n的值． 首先，我们需要理解题目中给出的求和符号＂＂以及如何展开求和表达式．接着，通过已知条件列出方程，求解出未知数和的值，最后计算的值． 【详解】由知， 即， 故答案为：． 15．如图放置的两个正方形，四点在同一条直线上，且．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查整式的乘法运算，理解题意，列出关系式是解题关键． 根据题意得出阴影部分的面积为：，结合图形变形求解即可． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积为： ∵， ∴， ∵已知图中阴影部分的面积， ∴一定能求出的是， 故选：A． 【题型4.整式乘法混合运算】 16．已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式乘多项式，代数求值等知识点，解题的关键是熟练掌握整式乘法的法则． 将代数式展开后，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解： 已知 ，，代入得： ， 故选：B． 17．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 18．求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 19．如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 【答案】24 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 根据图形中各线段的关系，用、的代数式表示相关线段的长，再根据，由矩形面积公式列出、的方程，求得便可求解． 【详解】设， 则， ， ， ， 整理得， 则长方形的周长是24， 故答案为：24． 解答题 20．定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 【题型5.单项式乘法求字母或代数式值】 21．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 22．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 23．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 解答题 24．对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 【答案】（1）246是等差数；777是等差数；（2）有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975；理由见解析 【分析】（1）根据新定义“等差数”的定义判断即可； （2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为，则a+c=2b，所以a+b+c=3b为3的倍数，进而得出则能被5整除，从而确定个位数c=0或5，然后分类讨论即可得出结果． 【详解】解：（1）∵2+6=2×4， ∴246是等差数； ∵7+7=2×7， ∴777是等差数； （2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为， 则a+c=2b， ∴a+b+c=3b为3的倍数，要使能被15整除， 则能被5整除，即c=0或5， 当c=0时，a=2b，则=210，420，630，840； 当c=5时，a+5=2b， ∴， ，，，， ∴综上所述，能被15整除的等差数有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975． 【点睛】本题主要考查了对整除的理解，理清新定义“等差数”是解答本题的关键． 【题型6.单项式乘多项式的应用】 25．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了新运算的定义及一元一次方程求解，单项式乘以多项式，根据新运算的定义，将方程转化为关于x的一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 26．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1） （用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则 ． 【答案】 32 【分析】本题考查了列代数式，整式乘法的应用，求代数式的值等知识，正确表示出相图形的面积是解题的关键． （1）由即可求解； （2）利用即可求解． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：32． 27．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的实际应用，解题关键是正确列出式子． 先设小正方形和大正方形的边长分别为，，再根据阴影部分的面积为，列出式子，化简即可求解． 【详解】解：设小正方形和大正方形的边长分别为，， 则，，， 又阴影部分的面积为， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：A． 28．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的面积之和为，且，阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值与几何图形的结合应用，正确归纳几何信息，熟练掌握代数式化简及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．根据题意可得：，，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积，然后进行化简计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积 ， 故答案为：． 解答题 29．以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为，求值结果为． 【分析】本题考查了多项式的乘法运算、合并同类项、化简求值以及代数式的对应推理．解题的关键是通过等式两边的项对应关系确定未知多项式，再运用整式的运算法则准确化简和计算． （1）对等式右边进行适当变形，对比等式两边结构，求出，并将多项式进行合并得到计算结果． （2）代入的表达式，展开多项式乘法，并合并同类项化简式子；代入x、y的值计算结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴计算结果为． 故答案为：；；． （2）解：∵， ∴， 将代入上式得：． 故化简结果为，求值结果为． 【题型7.由单项式乘多项式求字母值】 30．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 31．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 32．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 解答题 33．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 【题型8.(x+p)(x+q)型多项式乘法】 34．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据，依题意，则，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 解得 把代入，得， 解得． 故选：C． 35．观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得是（    ） A． B．3 C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．根据图1中的运算规律求解即可得． 【详解】解：由题意得， 故选：C． 36．若多项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值，涉及多项式乘以多项式、多项式相等的条件、负整数指数幂等知识，熟记多项式相关定义及运算是解决问题的关键．先由多项式乘以多项式展开，再由多项式相等的条件得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：1． 37．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，设另一个因式为，可得，即得，进而由多项式相等的条件得到，，据此即可求解，掌握多项式相等的条件是解题的关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 即， ∴，， 解得，， 故答案为：． 解答题 38．回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)或6 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或或或， 综上，的值为或6． 【题型9.多项式乘多项式:化简求值】 39．已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ． 故答案为：． 40．若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】题目主要考查求代数式的值，考查代数式的展开与整体代入能力，解题的关键在于通过展开代数式并重组可以快速得到结果． 将所求代数式展开后，利用已知条件且，进行整体代入，然后将已知式子代入求解即可得． 【详解】解：， 当，时， 原式， 故答案为：A． 41．已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多项式与多形式的乘法，单项式与多项式的乘法，及整体代入法求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多形式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则化简，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 42．若规定符号的意义是：，当时，的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 原式． 故答案为12． 解答题 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算以及代数求值，正确的计算是解题的关键． 根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入即可求解． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 【题型10.多项式乘积不含项求字母值】 44．如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 45．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 46．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 47．要使展开式中不含项，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中特定项系数的计算，解题的关键是明确项的产生来源，准确计算其系数并令系数为0求解参数． 确定展开式中项的所有生成方式；分别计算各生成方式对应的系数并求和；令项的系数为0，解方程得a的值． 【详解】解：多项式展开式中，项由以下三类乘积组成： ：系数为； ：系数为； ：系数为． ∵多项式展开式中不含项， ∴，解得． 故答案为：． 【题型11.多项式乘多项式与图形面积】 48．如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．（用含和的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，多项式的乘法． 根据平移的性质作答即可． 【详解】解：∵将长为6，宽为4的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴阴影部分的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 49．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（   ） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 先将大长方形的面积算出为，由题意可知为A类卡片面积，为B类卡片面积，为C类卡片面积，则根据多项式即能求出A、B、C相应的卡片数量． 【详解】解：由题意可知，大长方形的长为，宽为， 则其面积为； 由图可知，A类卡片面积为 ，B类卡片面积为，C类卡片面积为，由大长方形的面积多项式可知，的系数为2，的系数为4，的系数为9，则需要A类卡片2张，B类卡片4张， C类卡片9张． 故选：A. 50．从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 51．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的混合运算． 利用面积的和与差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 解答题 52．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （3）代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：当，时，， （元）， 所以购买所需地砖需要元． 【题型12.多项式乘法中的规律性问题】 53．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式、数字的变化规律、多项式，熟练掌握以上知识点是关键． 根据“杨辉三角”中所含规律，先求出的余数为1，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的余数为1， 若今天是星期四，则经过天后是星期五． 故选：C． 56．我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．                                                                                                                                           2                                    3       3                         4      6       4            …                                                                              … 请据上述规律，写出的计算结果中各项系数之和为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了多项式乘多项式，规律探索问题，分别计算出前面若干计算结果中各项系数的和，得到规律即可求解． 【详解】解：对于的展开式各项系数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； …… 则当，展开式中各项系数和为； 故答案为：64． 55．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 54．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 解答题 57．探索题： ， ， ， ． (1)观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 【答案】(1)①② (2)①② 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、多项式的乘法、有理数的乘法、逆用幂的乘方等知识点，发现数字的变化规律是解题的关键． （1）①根据已有等式进行类比即可解答；②根据已有等式进行类比、归纳即可解答； （2）①先将原式写成，然后利用（1）的规律解答即可；②先将原式写成，然后利用（1）的规律解答可得，再逆用幂的乘方求解即可． 【详解】（1）解：①由， ， ， ， 则； 故答案为：． ②由， ， ， ， ， …… ． 故答案为：． （2）解：① ． ② ． 因为且， 所以且， 所以． 所以． 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式乘法题型突破讲义（1） 一.单项式乘单项式 1.核心法则：单项式与单项式相乘，把系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同指数不变，作为积的因式。 2.运算步骤： ① 系数相乘，先定符号（同号得正，异号得负），再算绝对值； ② 相同字母的幂相乘，用同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）； ③ 只在一个单项式中出现的字母，连同指数直接抄入积中。 3.易错警示：漏乘系数符号、相同字母指数相加误算为相乘、遗漏单独出现的字母。 二、单项式乘多项式 1.核心法则：单项式乘多项式，是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，本质是乘法分配律的应用，公式为m(a+b+c)=ma+mb+mc。 2.关键要求： 必须逐项相乘，做到不漏乘、不缺项； 单项式为负数时，多项式每一项相乘后都要变号； 计算完成后，若有同类项必须合并，将结果化为最简形式。 3.易错警示：漏乘多项式中的某一项、符号判断错误、忘记合并同类项。 三、多项式乘多项式 1.核心法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，二项式相乘公式为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 2.运算要点： 逐项相乘时，每一项都要带符号运算，避免符号混乱； 二项式乘二项式可按 “前乘前、前乘后、后乘前、后乘后” 的顺序计算，确保不重不漏； 所有项相乘完毕后，必须合并同类项，得到最简整式。 3.易错警示：漏项或重复计算、交叉项符号出错、未合并同类项就结束计算。 基础 过关题 1.单项式乘单项式计算 2.单项式乘多项式及求值 3.多项式乘多项式计算 4.整式乘法混合运算 能力 提升题 5.单项式乘法求字母/代数式值 6.单项式乘多项式的应用 7.由单项式乘多项式求字母值 8.(x+p)(x+q)型多项式乘法 9.多项式乘多项式:化简求值 拓展 拔高题 10.多项式乘积不含项求字母值 11.多项式乘多项式与图形面积 12.多项式乘法中的规律型问题 【题型1.单项式乘单项式计算】 1．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 4．北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 解答题 5．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【题型2.单项式乘多项式及求值】 6．关于单项式乘多项式，下列说法正确的是（    ） A．积可能是一个多项式，也可能是单项式 B．积仍是一个单项式 C．积的项数与原多项式的项数相同 D．积的项数与原多项式的项数不同 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则 ． 9．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，则正确的计算结果是 ． 解答题 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3.多项式乘多项式计算】 11．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 12．有一张正方形纸片，第一次将其分割成4个面积相等的小正方形纸片，第二次将其中的一小张又分割成4个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去，第n次后正方形纸片的个数与第次后正方形纸片的个数的积为 ． 13．一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且新得到的正方形面积比原长方形面积小．则这个长方形的长是 ． 14．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 15．如图放置的两个正方形，四点在同一条直线上，且．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（　　） A． B． C． D． 【题型4.整式乘法混合运算】 16．已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 17．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 18．求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 19．如图，在长方形中放置两个边长都为5的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是 ． 解答题 20．定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【题型5.单项式乘法求字母或代数式值】 21．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 22．若，则 ． 23．若，则（   ） A． B． C． D． 解答题 24．对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 【题型6.单项式乘多项式的应用】 25．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 26．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1） （用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则 ． 27．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ）    A． B． C． D． 28．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的面积之和为，且，阴影部分的面积 ． 解答题 29．以下是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式： 化简：（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）． (1)多项式A为________，多项式B为________，计算结果为________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【题型7.由单项式乘多项式求字母值】 30．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 31．如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 32．已知单项式，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 解答题 33．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【题型8.(x+p)(x+q)型多项式乘法】 34．若，则（    ） A． B． C． D． 35．观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得是（    ） A． B．3 C． D．10 36．若多项式，则 ． 37．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为 ． 解答题 38．回答下列问题： (1)计算： ①___________； ②___________； ③___________． (2)总结公式（___________）； (3)已知均为整数，且，求的所有可能值． 【题型9.多项式乘多项式:化简求值】 39．已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 40．若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 41．已知，则 ． 42．若规定符号的意义是：，当时，的值为 ． 解答题 43．先化简，再求值：，其中． 【题型10.多项式乘积不含项求字母值】 44．如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 45．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 46．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 47．要使展开式中不含项，则的值等于 ． 【题型11.多项式乘多项式与图形面积】 48．如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．（用含和的代数式表示） 49．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（   ） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 50．从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 51．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为 解答题 52．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【题型12.多项式乘法中的规律性问题】 53．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 56．我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．                                                                                                                                           2                                    3       3                         4      6       4            …                                                                              … 请据上述规律，写出的计算结果中各项系数之和为 ． 55．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 54．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 解答题 57．探索题： ， ， ， ． (1)观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $