专题02 二次根式的运算（十二大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版新教材）

专题02 二次根式的运算（十二大题型） 【题型1 二次根式的乘法运算】...........................................................................................1 【题型2 二次根式的除法运算】...........................................................................................4 【题型3 二次根式的乘除法运算】.......................................................................................8 【题型4 最简二次根式的判定】..........................................................................................11 【题型5 化为最简的二次根式】..........................................................................................13 【题型6 同类二次根式】......................................................................................................14 【题型7 二次根式的加减运算】..........................................................................................16 【题型8 二次根式的混合运算】..........................................................................................17 【题型9 分母有理化】.........................................................................................................21 【题型10 已知字母的值，化简求值】..................................................................................26 【题型11 比较二次根式的大小】.........................................................................................28 【题型12 二次根式的应用】.................................................................................................29 【题型1 二次根式的乘法运算】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （3）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （4）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查分式的乘法，二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型2 二次根式的除法运算】 1．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法，分母有理化； （1）直接分母有理化即可； （2）先计算二次根式的除法，再分母有理化即可； （3）先计算二次根式的除法，再分母有理化即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 3．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 【详解】（1） （2） 5．计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则进行计算，可以先化简再除，也可以先除再化简． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． 【详解】（1）方法一： ； 方法二：； （2） （3） （4）方法一: 方法二： 【点睛】本题考查二次根式的除法，理解二次根式的性质，掌握二次根式除法运算法则是解题关键． 6．计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 1．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解； （4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】（1） （2） 4． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】解：原式= =． 【题型4 最简二次根式的判定】 1．下列二次根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数，含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式； B、被开方数2无平方因数且无分母，是最简二次根式； C、被开方数含有分母，故不是最简二次根式； D、被开方数，含有能开得尽方的因数9，故不是最简二次根式． 故选：B． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、 ，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，选项A被开方数含分母，选项C可化简，选项D可化为完全平方形式，均不是最简；选项B被开方数无平方因子且不含分母，故为最简． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式； C、，可化简，不是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：B． 4．在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件． 【详解】解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式； ④ ，含平方因数9，不是最简二次根式； ⑤ ，不能简化，是最简二次根式； ∴最简二次根式有③和⑤，共2个， 故选C． 【题型5 化为最简的二次根式】 1．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则 ， 故答案为 ． 2．将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 3．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 4．将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型6 同类二次根式】 1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与是同类二次根式的选项，即化简后被开方数均为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数为3，故A不符合题意； B、，被开方数为2，故B符合题意； C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数为3，故D不符合题意． 故选：B. 3．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质及同类二次根式是解题的关键；判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后根号内的数相同，先将化简，再逐一检查各选项化简后的结果即可． 【详解】解：∵， ∴选项A：， 选项B：， 选项C：， 选项D：， ∴只有选项C化简后根号内为2，与化简后的被开方数相同，可以合并； 故选C． 4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将化为最简形式，得到，从而确定被开方数为2． 【详解】∵ ，且与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 【题型7 二次根式的加减运算】 1．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式加法运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式加法运算法则，进行计算即可； （2）根据算术平方根定义，立方根定义，二次根式性质，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．计算：． 【答案】 【分析】先把括号内的二次根式化为最简二次根式，再去括号后，合并同类二次根式即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 4．计算： 【答案】． 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的加减运算即可得． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则解题关键． 【题型8 二次根式的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘除，再化简二次根式； （2）先化简二次根式，再计算加减即可； （3）先根据乘法公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：； ； （3）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)5； (4)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可； （3）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得解； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ＝5； （4） ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可； （）先进行加法运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （）先进行乘除运算，再进行减法运算即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行减法运算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟知运算法则是正确解答此题的关键． （1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先用乘法公式计算，再算加减即可． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 【题型9 分母有理化】 1．观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 2．根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照例题对二次根式进行分母有理化，合并即可； （2）对、进行分母有理化，分别求出和，利用完全平方公式的变形，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：，， ，， ． 3．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 【答案】(1)①；②；③ (2)2022 【分析】本题考查分母有理化； （1）①分子分母同时乘以即可；②分子分母同时乘以即可；③分子分母同时乘以即可； （2）先将括号内的式子分母有理化，找到互相抵消的项，即可算出结果. 【详解】（1）解：①， ②， ③. 故答案为：①；②；③. （2）解： . 4．阅读下列材料，然后解答问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，例如： ． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)直接写出下列各式分母有理化后的结果： _______，_____； (2)化简式子：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用题干的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用题干的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）原式 ． 5．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 【题型10 已知字母的值，化简求值】 1．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 2．已知：，则的值为 ． 【答案】 2026 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． 首先将 分母有理化，得到 ，然后计算 ，展开得到的值，再代入表达式 ，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ：2026． 3．设，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为． 【详解】解：由，， 计算， 所以． 则． 因此． 故答案为：． 4．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ． 5．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算，，再把原式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【题型11 比较二次根式的大小】 1．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小． 【详解】解：，，由于， 所以． 故答案为：． 2．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 3．比较大小 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，可求出，再求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 【题型12 二次根式的应用】 1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故肇事汽车行驶的速度约为， 故选：D． 2.已知矩形的长为a，宽为b且，． (1)求矩形的周长； (2)当时，求正方形的边长m的值．（注：S表示面积） 【答案】(1) (2)6 【分析】(1)直接利用矩形周长求法，结合二次根式的加减运算法则，计算得出答案； (2)直接利用正方形的性质化简，得出边长，求出答案． 【详解】（1） ∴长方形的周长是： （2）设正方形的边长为x，则有， ∴ ， ∴正方形的边长是：m=． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 3.如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案； （2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为，， ∴原矩形木板的长为，宽为， ∴原矩形木板的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ∴剩余木料的周长为． 4.如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式： （1）根据矩形的周长=（长+宽）计算即可； （2）先求出通道的面积，再算钱数即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长 （2）解：长方形花卉实验田的面积 5.海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（），d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度． 【答案】 【分析】根据公式及二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则， ∴海啸行进的速度是． 【点睛】此题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． 1．下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同． 把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数相同，是同类二次根式； C、与被开方数不同，不是同类二次根式； D、与，被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键．根据二次根式运算法则，验证算式的正误即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 3．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 4．计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 5．计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）根据平方差公式去括号，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 6．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算（十二大题型） 【题型1 二次根式的乘法运算】...........................................................................................1 【题型2 二次根式的除法运算】...........................................................................................2 【题型3 二次根式的乘除法运算】.......................................................................................3 【题型4 最简二次根式的判定】...........................................................................................4 【题型5 化为最简的二次根式】...........................................................................................4 【题型6 同类二次根式】......................................................................................................4 【题型7 二次根式的加减运算】...........................................................................................5 【题型8 二次根式的混合运算】...........................................................................................6 【题型9 分母有理化】..........................................................................................................7 【题型10 已知字母的值，化简求值】..................................................................................8 【题型11 比较二次根式的大小】.........................................................................................9 【题型12 二次根式的应用】.................................................................................................9 【题型1 二次根式的乘法运算】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1) (2) 3．计算：． 4．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【题型2 二次根式的除法运算】 1．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)． (2)． (3)． 3．化简下列各式： (1) (2) 4．计算： (1) (2) 5．计算： （1） （2） （3） （4） 6．计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 1．计算： (1) (2) (3) (4)． 2．计算：． 3．计算： (1) (2)． 4． 5．计算：． 【题型4 最简二次根式的判定】 1．下列二次根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型5 化为最简的二次根式】 1．化简： ． 2．将化为最简二次根式为 ． 3．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 4．将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【题型6 同类二次根式】 1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 【题型7 二次根式的加减运算】 1．计算 (1) (2) 2．计算：． 3．计算：． 4．计算： 【题型8 二次根式的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)． (2)． 【题型9 分母有理化】 1．观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 2．根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 3．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 4．阅读下列材料，然后解答问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，例如： ． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)直接写出下列各式分母有理化后的结果： _______，_____； (2)化简式子：． 5．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【题型10 已知字母的值，化简求值】 1．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知：，则的值为 ． 3．设，，则的值是 ． 4．已知，求的值． 5．已知，，求代数式的值． 【题型11 比较二次根式的大小】 1．比较大小： （填“”“”或“”）． 2．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 3．比较大小 ． 4．先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【题型12 二次根式的应用】 1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 2.已知矩形的长为a，宽为b且，． (1)求矩形的周长； (2)当时，求正方形的边长m的值．（注：S表示面积） 3.如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 4.如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 5.海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（），d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度． 1．下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 5．计算 (1)． (2)． 6．计算： (1)； (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $