精品解析：山东省济宁市嘉祥县第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

嘉祥一中高二上学期月考数学试卷 2026.01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】由题设条件求出，从而可求. 【详解】设公差为， 因为，，故，解得， 故， 故选：D. 2. 已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线的方向向量可知直线的斜率，所以. 故选：D. 3. 已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出和两点的坐标，把与联立得到，经过点的焦点，进而根据的长度求出. 【详解】设，，把l与C的方程联立， 得，消去y并整理，得， 则，，又l经过C的焦点， ∴，∴， ∴C的方程为. 故选：C. 4. 已知事件两两互斥，若，，，则（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可. 【详解】两两互斥，， ，， . 故选：B. 5. 已知数列和满足，，若数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，从而求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意，数列和满足，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以； 数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，所以. 故选：C 6. 在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆的方程为，代入点的坐标求出圆的方程，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】设圆的方程为， 则，解得，所以， 即圆，则圆心为，半径； 又直线，即，令，解得， 所以直线过定点，又点与圆心在直线（斜率不存在）上， 又，所以，当且仅当直线的斜率时取得， 又无最大值，且无限接近圆的直径， 所以． 故选：C． 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为. 【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体， 所以其体积为. 设正四面体内切球的半径为， 则，得. 如图，取的中点为，则 . 显然，当的长度最小时，取得最小值. 设正四面体内切球的球心为，可求得. 因为球心到点的距离， 所以球上的点到点的最小距离为， 即当取得最小值时，点到的距离为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. ，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知双曲线过点且渐近线方程为，是双曲线的焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 的方程为； B. 的离心率为2； C. 是双曲线上一点，且，则； D. 直线与只有一个公共点. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件求出双曲线的方程，再逐一分析各选项，计算判断作答. 【详解】因双曲线的渐近线方程为，则设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，于是得，即，双曲线的方程为， A错误； 由，，得，双曲线的离心率为，B正确； 由双曲线的定义，，则或，C错误； 直线与双曲线的渐近线平行，直线与只有1个公共点，D正确. 故选：BD 11. 已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有 A. 数列的前10项和为100 B. 若成等比数列，则 C. 若，则n的最小值为6 D. 若，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】 由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误. 【详解】由已知可得:,, ,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确; 成等比数列,则,即,解得故B正确; 因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误. 故选:AB. 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1 13. 设等比数列的前项和为，若公比，则___________. 【答案】64 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 14. 已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】切线方程为：,利用点到直线的距离公式可得切线方程为，与抛物线联立方程可得点,从而得到点坐标，求得的面积. 【详解】由题可得抛物线的焦点，准线方程为：， 过作圆的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：, 由于圆的圆心为,半径, 则，解得：, 根据对称性，不妨取切线斜率为，则切线方程为， 联立，得：, 解得：或, 因为在的上方，所以点, 由于过作的垂线，垂足为，则， 所以,点到直线的距离, 则, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为． （1）求点B，C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）, （2）7 【解析】 【分析】（1）设点，由题意可知点坐标满足BH的方程，再表示出的中点，代入AB边上的中线方程，解方程组可求出点的坐标，求出的斜率，可求出直线的方程，再与联立，可得点的坐标， （2）利用两点间的距离公式求出的长，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 设点，因为在直线上，所以， ① 又，的中点为，且点在的中线上， 所以， ② 联立①②，得，即点． 由题意，得，所以， 所以所在直线的方程为，即， ③ 因为点在AB边上的中线上， 所以点的坐标满足直线方程， ④ 联立③④，得，即． 【小问2详解】 由（1）得， 到直线的距离为， 所以， 故的面积为7． 16. 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得； （2）分别求出两人答对1道题的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论． 【小问1详解】 设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，. 设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}， 则，. 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以， . 由题意可得 即解得或 由于，所以，. 【小问2详解】 设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2. 由题意得，，， ，. 设{甲乙二人共答对3道题}，则. 由于和相互独立，与相互互斥， 所以. 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为. 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求二面角的正切值； （3）若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 又因为直三棱柱中，为的中点，所以且， 所以且，故四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）构造辅助线，利用线面平行判定定理； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，求出二面角的平面角的正切值； （3）建立空间直角坐标系，求平面的法向量及线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，令，得，故， 设二面角的平面角为，则，则， 所以； 【小问3详解】 由，，，得， 设，则， ，， 由得，解得， ，，设平面的法向量为， 则，令，得，故， ， 设与平面所成角为，则 18. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） 由， ，得， 因为， 所以数列是等比数列； （2）； （3） ， . 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可； （3）运用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ② 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥一中高二上学期月考数学试卷 2026.01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 90 D. 100 2. 已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件两两互斥，若，，，则（    ）． A. B. C. D. 5. 已知数列和满足，，若数列满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，直线与交于，两点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. ，使得 10. 已知双曲线过点且渐近线方程为，是双曲线的焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 的方程为； B. 的离心率为2； C. 是双曲线上一点，且，则； D. 直线与只有一个公共点. 11. 已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有 A. 数列的前10项和为100 B. 若成等比数列，则 C. 若，则n的最小值为6 D. 若，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则______. 13. 设等比数列的前项和为，若公比，则___________. 14. 已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为． （1）求点B，C的坐标； （2）求的面积． 16. 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率. 17. 如图，直三棱柱中，分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求二面角的正切值； （3）若，，，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 19. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $