广东省深圳市盐田高级中学2026届高三上学期数学周末练习卷（24）

盐田高级中学2026届高三（上）数学周末练习卷（24） 班级：___________姓名：___________命题人：李博 审题人：葛贻文 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．的展开式中，常数项为（    ） A．15 B．40 C．60 D．80 4．已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 5．小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知函数，且对任意的，都存在，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设过点与圆C：相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中正确的有（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27 D．若为两个随机事件，，，，则 10．已知是定义在的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．是的极小值点 D．存在实数，使得直线与的图象恰有1个公共点 11．已知是椭圆的两个焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且点满足（当点在轴上时，规定点与点重合），则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最小值为8 C．点的轨迹方程为 D．的最大值为 三、填空题 12．某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有 种． 13．已知，则 . 14．已知双曲线C：，过C的左焦点F的直线与圆O：相切于M，与C的右支交于点R.若的中点为N，则 . 四、解答题 15．已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 16．如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点. (1)证明：； (2)求二面角余弦值的最小值. 17．袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 18．已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率不存在，求的中心坐标； (3)求证：点不是的中心. 19．已知函数． (1)求函数的极值； (2)函数有两个零点，． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《周末练习卷24》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C A C D ACD AC 题号 11 答案 AC 1．D【详解】由题意得，集合. 所以.故选：D. 2．A【详解】，故，解得，则.故选：A 3．C【详解】展开式的通项为，令，得，则，故常数项为.故选：C 4．B.【详解】设等比数列的公比为，则，则，可得，所以，则，所以.故选：B. 5．C【详解】因为正四棱台的上口边长为，底部边长为，高为，所以水杯的体积为，因为，所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是7.故选：C 6．A【详解】因为，所以在上单调递增，所以，记，因为函数，且对任意的，都存在，使得恒成立，所以，又，所以.故选：A 7．C【详解】的图象向左平移个单位长度，可得，若图象关于原点对称，则满足，得，因为，故当时，取得最小值，故选：C. 8．D【详解】因为，所以点在圆外，设圆心为，点为点，切点为，圆化为标准方程得，则圆心，半径，  在中，，所以， 故，由圆的切线的性质可得，所以.故选：D 9．ACD【详解】对于A：先将这8个数进行从小到大排列：12，14，15，17，19，24，27，30，，因为是小数，故这组数据的第70百分位数为第6个数， 即，故A正确；对于B：若两个随机变量为负相关，且两个随机变量的线性相关性越强，则此时相关系数r的值越接近于，故B错误；对于C：若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数为，方差为，故C正确；对于D：由题可知，，得， 则，，故D正确.故选：ACD. 10．AC【详解】由题设，A对，若，则，故，由为偶函数，则，B错，由上时，，则， 令，即在上单调递增， 又，故在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，C对， 由C分析，或时，且， 所以、上，又为偶函数，则、上，所以直线与的图象恒有2个交点，D错.故选：AC 11．AC【详解】对于A：因为点在上，所以， 所以该椭圆的标准方程为，所以可得，因此椭圆的离心率为，所以本选项说法正确；对于B：因为是上的动点，所以， ，即，当且仅当时取等号，所以当时，有最小值，因此本选项说法不正确；对于C：设点的坐标为，所以有，因为轴，垂足为，所以点的坐标为，设点的坐标为， ，代入中，得，所以本选项说法正确； 对于D：圆的圆心是原点，半径为.因为， 所以，因此本选项说法不正确.故选：AC 12．【详解】由题意可得，值班的人数为人或者人， 若值班人数为人，则需要一个人值班首尾两天，另外一人值班中间一天，故， 若值班人数为人，则每人值班一天，故，所以可能的安排方法有种. 故答案为：. 13．【详解】因为，所以， ， 所以，所以． 故答案为： 14．【详解】由双曲线，可得，，则，因此左焦点，双曲线的实半轴长，因为圆，所以圆心为原点，半径，又因为直线与圆相切于，所以，在中：，设双曲线的右焦点为，是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，，则，即，因此，因为是的中点，故，则，所以.故答案为：. 15．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意. 当时，. 当时，，， 两式相减，得 所以， 又因为，所以. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以. （2）因为， 所以 ，因为为单调递增数列，且,所以. 16．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）取中点，连，， 因为底面为正三角形，，则，， 又平面，，所以平面， 又平面，所以. （2）以为原点，为x轴，为y轴，垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，其中， 因为，，所以，   则，，，，， 则，，， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则， ， 令，， 则，， 则 令，则， 则，， 当即时，有最小值，最小值为， 故二面角余弦值的最小值为. 17．(1)(2)分布列见解析，(3) 【详解】（1）设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． （2）的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 （3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 18．(1)(2) 【详解】（1）由题意知解得则椭圆的方程为. （2）不妨先设直线，如图， 为正三角形， 不妨设，分别在轴的上、下方，则直线的斜率为， 设直线，，联立，直线与椭圆相切， ，解得，即直线过点， 同理可得，直线过点，. 此时，关于轴对称，的中心在轴上，坐标为， 同理，当直线为时，由对称性可知，的中心坐标为， 综上，的中心坐标为. （3）由（2）可知，当三条切线，，中有一条直线斜率不存在时，的中心不是点. 当三条切线，，的斜率都存在时， 设，，，， 设， 则， 整理得， ， ，， ，， ，， ， 同理可得，，， 假设点是的中心，则点到，，的距离相等， ， ，，， ，，中必有两点关于坐标原点对称，此时存在两条切线互相平行，，，不能围成三角形，原假设不成立，即点不是的中心. 19．(1)答案见解析；(2)（i）；（ⅱ）证明见解析.【详解】（1）因为（），所以.当时，在上恒成立，所以在上单调递减，无极值；当时，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）（i）.设，则问题转化为与函数的图象有两个交点.因为.由，由.所以在上单调递增，在上单调递减.，且当时，；；当时，.所以当时，与函数的图象有两个交点. 所以实数的取值范围为. （ⅱ）由（i）可知，.由.设，，则， 由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.又，，当时，.当时，与函数的图象有两个交点，且.所以，且. 又，，，，结合（i），，. 由，由.所以. 因为，所以，，所以，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $