四川省绵阳南山中学实验学校2026届高三数学寒假作业

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上）寒假作业 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 11 答案 A 公 ACD ABD ABD 1.B【详解】由题知z=i-=-1+i,z=-1-i,所以三在复平面上所对应点的坐标为(-1，-1).故选：B 2.B【详解】f(x)不知奇偶性，因此f(-x)与f(x)的关系不确定，f(-x与f(x)关系不确定，故A错 误：令g(x)=f(x),xeR,-x∈R,8(-x)=f-x0=f()=8(x), 所以8()为偶函数，即y=f)为偶函数，故B正确：于)也不知其奇偶性，故C错误： h(x)=f(x)-f(-x),VxER,-xER,h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x), 所以h(x)为奇函数，即y=f(x)-f(-x)为奇函数，故D错误.故选：B. 3.C【详解】由U=AUB={∈N0≤x<10}={0,1,2,3,4,5,67,8,9}, 而A(CB)={1,3,5,7},则B中不含1,3,5,7，若0B,则0∈A,0∈CB,此时0∈A∩(CB),不满足题 意，故0∈B,同理可得2,4,6,8,9∈B,则B=0,2,4,6,8,9}.故选：C 4.A【详解】由题意知向量a=(sin26,cos20),b=(2,1), 则(a+b)6=a.6+|-2sim20+cos20+5=2sin26+1-2sim20+5=6,故选：A 5.C【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以n=10, 设展开式第41眼为常数项，则C(矿(-2y[=C(-2宁， 10-5r=0,r=2,·该二项式的展开式中常数项为C(-2)=180,故选：C 6.C【详解】对A:若mLau,mLn,则nl1a或nca,故A错误； 对B:若/IB,mCc,nCB,则m∥n或mn异面，故B错误； 对C:如图：过直线m作平面Y,交平面c于直线a,因为m/1a,所以/1a: 过直线m作平面6，交平面B于直线b,因为m11B,所以m//b: 所以a/b,且bcB,aaB,所以a/1B. aca,ax∩B=n,所以a/n.又/1a,所以/∥n.故C正确； 对D:因为垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故D错误故选：C 7.A【详解】与直线y=t(0<t<A)的三个相邻交点的横坐标分别是1,3,4， 知函数的周期为T=2亚=4-1=3，解得0= 2π 3 由三角函数的图像与直线y=t(0<t<A)知，3与4的中点必为函数的最大值的横坐标， 由五点法知 p=号+2版keZ,得0=+2xkeZ,又网<公得0 π7， 3分2 2 6 Γ6 所以f(x)=Asi +)令2+s2+≤2版+ (2亚x+ E+,kEZ,解得3h+三≤x≤3k+2,k∈Z, 3 23 6 当&=0时、)的单国送减区间足 故选：A. 8.B【详解】由题意得，抛物线E:y2=4x的准线方程为x=-1,焦点坐标为(1,0)， 圆C:(x-4)2+y2=1的圆心C(4,0),半径=1， A 设P(x,%),则y=4x(x。≥0)， :PA⊥1，根据抛物线的定义可得PA=x。+1, 又直线PB与圆C:(-4)+y2=1相切于点B,PB=VPC-r2, 又|PC=Vx-4)'+y2,|PB=V(x-4)+y,2-1 又PA=PB,x+1=Vx-4)+⅓2-1，即(。+1°=(x-4)°+2-1， 把矿=4代入，得（化+1-化-4+4-1，解得飞子板途：卫 9.ACD【详解】由图及已知，2025年一号线参与人数为4x1.5=6千人， 所以2025年参加10公里慢跑人数为6÷10%=60千人，即6万人，A对， 所以2025年五号线的参与人数为60×30%=18千人， 且2020年二号线、三号线的参与人数总和为8+10=18千人，显然B错， 2020年五条路线参与人数的极差为15-4=11千人，C对， 由图及上述分析，2020年一号到五号线的人数依次为4,8,10,11,15千人， 而2025年一号到五号线的人数依次为6,9,12,15,18千人， 2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率依次为： 6=4-509%,9-8=1259%,12-10=20%,15-1≈364%，18-15=20%. 4 8 10 11 15 所以2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线，D对.故选：ACD 10.ABD【详解】对于A,双曲线C:-二=1，则a=2.b=V5, 42 数南近线方程为)名，库上号，双俊号若1d0-2 a 2 孩渐近线方程为±号，即=±停，A正确： 对于B,由题意得，c=V2+b2=V6,EE=2W6,由双曲线的定义得，P-P=2a=4, :P=2PF引，P=8PE引=4，故△PEE的周长为12+2√6，B正确： 对于C,不妨设点P在右支上，设P引=t,则P=4+t,FE,=2V6, 因为Pr⊥PF,所以(t+4)2+t=24,解得t=22-2或t=-2√2-2（舍去）， 所以△PRR的面积为PRP4+0t=2W5+2列×(25-2=2，C错误： 对于D,若直线1与双曲线C的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间， 即k∈ D正确故选：ABD. 2’2 11.ABD【详解】对于A,由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cos A, 因为2d-2b2=c2,可得2(b2+c2-2 bc cos A)-2b2=c2,整理得c2=4 be cosA,即c=4bc0sA,所以A正确： 对于B,因为c=4 bcosA,由正弦定理得simC=4 sin B cosA, 又因为C=元-(A+B),可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cos Asin B, 所以sin Acos B+cosAsin B=4 sin B cosA,即sinAcos B=3 sin B cosA,所以tanA=3tanB，所以B正确； 对于C,由tanA=3tanB且△ABC为锐角三角形，设taB=t>0,则tanA=3t, 又由C=-(4+8,可得amC:-am4+B)=an4+tnB-,北>0，可得Y-1>0,解得1> 1 1-tan Atan B 3t2-1 5 因为m到。年品 +3t' 因为0，可得2-25，当且汉时，1 店时等号成立， 又因为1行所以等号不成立，则m4-到<点，所以4-B<后所以c不正确： 对于D,由选项C得tan Atan B tanC=3xtx,,=12r, 1 ×3一平-其中>万 要0-产可得r0)-C.令f=0.￥得=1度-1价去 当1e(店》时.广)0.f0单词递减：当ea+时，f0>0,f单调通增。 所以当t=1时，f(t)取得最小值，最小值为f(1)=6,所以tan Atan Btan C的最小值为6，所以D正确. 故选：ABD 12.18【详解】第一步：确定个位数，从1,3两个奇数中任选一个放在个位有A2种不同的选法： 第二步：确定百位数，百位数不能是0，也不能是已经用在个位上的数，故有三个数可选， 任选一个放在百位有A种不同的选法： 第三步：确定十位数，从剩下的三个数（包含0）中任选一个放在十位有A;种不同的选法： 根据分步乘法计数原理，可组成无重复数字的三位奇数共A,A;A;=2×3×3=18个.故答案为：18. 13.2元【详解】由题得圆锥底面积Sg=R=元，体积y==硫=5：，解得h=5, 3 3 母线长1=√R2+h2=√1+3=2，故圆锥侧面积S侧=πR1=2n.故答案为：2π. 14.[l,+o)【详解】由f(x)=x+e,得f'()=1+e>0,所以f(x)在R上单调递增， 由g(=x+x,得x>0,且g'()=1+1>0,所以g(d在(0，+)上单调递增 12 因此，对任意t>0,x1和x2都是唯一的，由题意：f(x)=x1+e=t, g(x)=x,+hx2=t,即hx2=t-x2,则x2=ex:,故t=x2+(t-x2)=e+(t-2), 故t=e+(t-x2)=f(t-x2),根据f()=x+e=t的x1是唯一的， 得t-x2=x,即x+x2=t,故5+x2-ht=t-ht,t>0 令=1n,10,则0-1片号.亩00得=1 当0<t<1时，h'(t)<0,h(t)在(0,1)上单调递减；当t>1时，h'(t)>0,h(t)在(L,+w)上单调递增： 故当t=1时，h()取得最小值：h1)=1-lnl=1,因此h≥1，即：x+x,-lnt∈1，+o). 15.【详解】(1)因为a1=2a-n+1(n∈N),所以a1-(n+1)=2(a-n), 则一-+)-2，又4-1=2，所以a-吟是首项为2，公比为2的等比数列， a-n 所以a-n=2”,即a=2”+n(neN). (2)由(1)得an=22m+2n=4"+2n(n∈N), 则{an}的前n项和Tn=(4+2)+(42+4)+(4+6)+..+(4“+2n) =(4+42+43+..+4）+(2+4+6+..+2m) 4-4)2+2m_4-4+r+n(neN). 1-4 2 3 16.【详解】(1)已知AF的最大值与AB的最小值都等于3， a+c=3 [a=2 2b2 则有 =3，解得b=5,所以椭圆的标准方程为+上 a 431 a2=b2+c2 c=1 ②)由D知椭圆的标准方程为子+背1，则PL,0奶 当直线AB的方程为x=1或y=0时，均不成立； 所以设直线AB的方程为x=y-1(m存在且m≠0)，A(x,y),B(x2,y2), x=y-1 +y-1'整理得(3+4)少-6mw-9=0,由韦达定理，y+ 6nL 9 3m2+44y,= 3m2+41 43 因为AF=2FB,且F在A,B之间，所以AF=2FB, 即(-1-x,-)=2(x+1,2),所以-4=2y2,即4=-2%， 60 6n 6m 将片=-2代入y+4=3+4得-2y+y=3+4即⅓3加+4： 9 9 路y2y代入，+4得-2y+4即23m+ 所以 6m2 9 3m+4232+4: 整理得8m=3m+4,即52=4，解得m=±25 5 所以直线AB的方程为V5.x+2y+√5=0或√5x-2y+√5=0. 17.【详解】(1)年份代码x的平均数x=3,销量y的平均数)=5， 所以∑(x-)=（←2)2+（←1）2+02+12+2=10， x-(y-列=-3)(2-列+(2-引3.5-可(3-3(25月 +(4-3)×(8-5)+(5-3)×(9-5)=18.5, 2K-00g-列185185，所以a=-i-5-185×3-05· 所以b= (-)} 10 1=1 所以这个地区某品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程为少=1.85x-0.55, 由于2027年对应的年份代码为x=7,得)=1.85×7-0.55=12.4， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台. 制氧机知识 (2)(i)根据男生和女生各100名，补全2×2列联表为： 学生 合计 了解 不了解 ()零假设H。：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关 男生 80 20 100 根据()中的2×2列联表中的数据可得， 200x(80×60-20×40)2100 女生 40 60 100 x2= ≈33.33>7.879. 100x100x120×80 3 合计 120 80 200 根据小概率值：=0.005的独立性检验，推断H。不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. (3)从(2)的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数X的所有可能取值为0,1,2,3,4. 且P(X=0)= 瓷品瓷别品 C1.21021, -等-别-3器“ C。21035 P(X=4)= 210 则X的分布列为 0 2 8 4 1 P 14 210 数学期望为8(x)-0女1员+2号3名40 3 P 2105 18.【详解】(1)(i)证明：因为AB LAC,平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,ABc平 面ABC, 所以AB⊥平面PAC, 因为PCC平面PAC, 所以PC⊥AB 33 (ii)根据题意，如图，建立空间直角坐标系，A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P0, (22 设三棱锥外接球球心O(a,b,c),则球心O(ab,c)到A,B,C,P的距离相等， OA=OB a2+b2+c2=(a-1)2+b2+c2 所以0A=0C,即{a+b2+c2=a2+(b-12+c2 c3 解方程得：a=b=, 2 OA=OP aipe-a-o3c 所以A0=(a,bc)222 113 又因为平面ABC的法向量为i=(0,0,1), v15 C 设40与平面4c所成角为，对血0=水风40后 5 B 所以A0与平面ABC夹角的正弦值为西 (2)解：过点P作棱PD⊥AC交AC的延长线于D,因为AB=AC=PC=1,AB L AC,∠PCA=I20°. 所以PD=5,故点P在以D为圆心，DP=5为半径的圆上动， 故以点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则aa010ca0,p00o,设0.则+：- 所c-(号，a=Lo0,c=0u0y 设平面APC的法向量为=(x,y1,1), CP.e,=0 〔1 则 ,即2+w+=0,则G=(0,-2,) CA.e,=0 x=0 平面PBC的法向量为e2=(2,2,z2) cpg,=0。 则 CB.e,=0 +m+西=0，令=-2，则无=2：，51+2,8=(2，-21+2w) 即2 x2=-y2 因为二面角A-PC-B的正切值为V2,所以二面角A-PC-B的余弦值的绝对值为5 3 所以Cose,e,F 2z2+2y2+y V2+y2V4z2+4z2+1+2y)2 3； 又因为y2+z2= 将共代入整理得4打=10，解得y=分：=生号 3 2 故二面角A-PC-B的正切值为√2，BP=√5 19.【详解】(1)当m=1时，8(x)=x-sinx, (i)当x>0时，则g'(x)=1-Cosx≥0，当且仅当x=2k阮(k∈N)时，等号成立， 故函数g(x)在(0，+o)上为增函数，故当x>0时，g(x)>g(0)=0-sin0=0,故原不等式得证； (ii)由题意可得f(x)=x(x-siny)+n=-xsinx+n, 所以f'(x)=2x-sinx-xCOSx,且f'(0)=0. 当x>0时，f'(x)=x(1-cosx)+x-sinx. 因为1-cosx≥0，x-sinr>0,所以f'(x)>0.因为f'(-x)=-f'(x)对任意xeR恒成立， 所以当x<0时，f'(x)<0,所以0是f(x)的唯一极值点. (2)由题意可得f(x)=g(x)+n=x2-x sinx+n,则f'(x)=2r-sinx-x cosx, 设曲线y=f(x)与曲线y=-cosr的两条互相垂直的“合一切线的切点的横坐标分别为x、x2, 其斜率分别为k、k,则k,=-1. 因为(-cosx)/=sinx,所以siny,sinx2=kk2=-1,所以{sinx,sinx2}={-l,l} 不纺设血=1，则名=2+ke2).因为女=f)=2-m-os 由r合一切线的定义可知2mx-sim-cos=im所以m=是=，2keZ. x,4kπ+π 由“合一切线的定义可知二·x-sinx+n=-c0sx,所以n=0 2 当= 4玩十元k∈乙，n=0时，取x=2元+，x2=-2m2’ 则f(x)=-cosx=0,f(x)=-cosx2=0,f'(x)=siny=1,f'(x2)=sinx2=-1,符合题意. 所以m= 2_(keZ),n=0. 4m+π绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上)寒假作业 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.复数z=i-1(i为虚数单位)的共轭复数三在复平面上所对应点的坐标为() A.(1,-1) B.（-1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) 2.若f(x)是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是() 1 A.f(x) B.f() C.() D.f(x)-f(-x) 3.已知集合U=AUB={x∈N0≤x<10以，A∩(C,B)=1,3,5,7},则集合B=() A.{2,4,6,8} B.{2,4,6,8,9} C.{0,2,4,6,89} D.{0,2,4,6,9} 4.已知0eR,向量a=(sin20,cos28,b=(2,),则(a+b)b=() A.6 B.5 C.4 D.3 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为() A.90 B.-90 C.180 D.-180 6.已知m,是两条不同的直线，a,B,Y是三个不同的平面，则下列结论正确的是() A.若m⊥a,m⊥n,则n/1o B.若a/IB,mca,ncB,则m∥n C.若m/1a,m/1B,a∩B=n,则ml∥n D.若a⊥B,B⊥y,则xI/y 7.已知函数了)-4sn(ax+p)4>0®>0pK习的图像与直线y=10<1<小的相邻三个交点的横坐 标分别为1,3,4，下列区间是函数y=f(x)的减区间的是() c.[0,2] D.[2,5] 8.己知抛物线E:y2=4x的准线为l,P为E上的一点，PA⊥1于点A,直线PB与圆C:(x-4④)2+y2=1相 切于点B,若PA=PB,则点P的横坐标为() A. > 7 B.3 C.3 D.2或3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020 年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知 2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则() 16公数/ 号线10% 五号线 12 306 二号线15% 8 四号线 线路 25% 号线20% 号 线线 线 线 图1 图2 A.2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B.2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C.2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D.2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 10.已知点风，R分别为双曲线C:女-二=1的左，右焦点，点P为双曲线C上一动点，则下列说法正确的 42 有() A.双曲线C与双曲线父？=1有相同的渐近线 24 B.若|P=2PF,则△PF的周长为12+2W6 C.若P耳⊥P,则△PF的面积为25 √2√2 D.若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈ 2’2 11.记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2-2b2=c2,则() A.c=4bcosA B.tan A=3tan B C.A-B的最大值为名 D.tan Atan B tan C的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.用0、1、2、3、4可组成无重复数字的三位奇数的个数为 13.己知圆锥的底面半径为1，体积为√3π，则该圆锥的侧面积为 14.已知函数f(x)=x+e,8(x)=x+nr,若f(x)=g(x2)=t(t>0),则x+x2-lnt的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知数列{a}满足a=3,a1=2a.-n+1(n∈N) (1)证明：数列{a,-心是等比数列，并求出{a}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和T. 16.（15分)已如畅圆C器若-(a>b>0的左焦点为，过P交振圈于A.B丙点，H的最大值与 AB的最小值都等于3. (1)求椭圆C的标准方程： (2)若AF=2FB,求直线AB的方程. 17.(15分)冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、 肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我 国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 2 销量y(万台) 2 3.5 2.5 9 (1)求这种品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量： (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动， 随机抽取了男生和女生各100名，得到如下2×2列联表： (i)根据已知条件，填写2×2列联表： ()根据小概率值=0.005的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关 联； (3)从(2)的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机 抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为X,试求X的分布列和数学期望 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 6多w-列 制氧机知识 nad-be) a=y-bx,x 学生 合计 ∑：-) (a+b)(c+d)(a+c)b+d) 了解 不了解 男生 20 a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 女生 40 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 合计 18.(17分)在三棱锥P-ABC中，AB=AC=CP=1,AB⊥AC,∠PCA=120°. (1)若平面PAC⊥平面ABC, (i)证明：PC⊥AB. (iⅱ)三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上，求直线AO与平面ABC所成角的正弦值. (2)若平面PAC⊥平面ABC,且二面角A-CP-B的正切值为√2，求BP的长. 19.(17分)已知函数g(x)=x-sinx,f(x)=8g(x)+n. (1)当m=1时， (i)证明：x>0时，8(x)>0; (i)求函数f(x)的极值点个数； (2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线y=f(x)与曲线y=-C0$x存在两条互相垂 直的合一切线”，求mn、n的值. 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上）寒假作业 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上所对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 4．已知，向量，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（    ） A．90 B． C．180 D． 6．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 7．已知函数的图像与直线的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数的减区间的是（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的准线为，为上的一点，于点，直线与圆相切于点，若，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9． 某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（    ） A．2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B．2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C．2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D．2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 10．已知点分别为双曲线的左､右焦点，点为双曲线上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 11．记锐角的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．用0、1、2、3、4可组成无重复数字的三位奇数的个数为 . 13．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为 ． 14．已知函数，若，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）求数列的前项和. 16． （15分）已知椭圆的左焦点为，过交椭圆于两点，的最大值与的最小值都等于3. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的方程. 17． （15分）冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 18． （17分）在三棱锥中，，，． （1）若平面平面， （i）证明：． （ii）三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求直线与平面所成角的正弦值． （2）若平面平面，且二面角的正切值为，求的长． 19．（17分）已知函数，． （1）当时， （i）证明：时，； （ii）求函数的极值点个数； （2）两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求、的值． 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上）寒假作业 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C A C C A B ACD ABD ABD 1．B【详解】由题知，，所以在复平面上所对应点的坐标为. 故选：B 2．B【详解】不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误；令，，， 所以为偶函数，即为偶函数，故B正确；也不知其奇偶性，故C错误； 令，，， 所以为奇函数，即为奇函数，故D错误．故选：B． 3．C【详解】由， 而，则中不含，若，则，，此时，不满足题意，故，同理可得，则.故选：C. 4．A【详解】由题意知向量， 则，故选：A. 5．C【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以， 设展开式第项为常数项，则， ，，该二项式的展开式中常数项为，故选：C. 6．C【详解】对A：若，，则或，故A错误； 对B：若，，，则或异面，故B错误； 对C：如图：过直线作平面，交平面于直线，因为，所以； 过直线作平面，交平面于直线，因为，所以； 所以，且，，所以. ，，所以.又，所以.故C正确； 对D：因为垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故D错误.故选：C 7．A【详解】与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，3，4， 知函数的周期为，解得， 由三角函数的图像与直线知，3与4的中点必为函数的最大值的横坐标， 由五点法知，得，又，得， 所以，令，，解得，， 当时， 的单调递减区间是．故选：A． 8．B【详解】  由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆的圆心，半径， 设，则， ，根据抛物线的定义可得， 又直线与圆相切于点，， 又， 又，，即， 把代入，得，解得.故选：B. 9．ACD【详解】由图及已知，年一号线参与人数为千人， 所以年参加10公里慢跑人数为千人，即6万人，A对， 所以年五号线的参与人数为千人， 且年二号线、三号线的参与人数总和为千人，显然B错， 年五条路线参与人数的极差为千人，C对， 由图及上述分析，年一号到五号线的人数依次为千人， 而年一号到五号线的人数依次为千人， 2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率依次为： ，，，，， 所以2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线，D对.故选：ACD 10．ABD【详解】对于A，双曲线，则， 故渐近线方程为，即，双曲线， 故渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由题意得，，由双曲线的定义得，， ，故的周长为，B正确； 对于C，不妨设点在右支上，设，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，C错误； 对于D，若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间， 即，D正确.故选：ABD. 11．ABD【详解】对于A，由余弦定理得， 因为，可得，整理得，即，所以A正确； 对于B，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以，即，所以，所以B正确； 对于C，由且为锐角三角形，设，则， 又由，可得，可得，解得， 因为， 因为，可得，当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以等号不成立，则，所以，所以C不正确； 对于D，由选项C得，其中， 设，可得，令，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 12．18【详解】第一步：确定个位数，从两个奇数中任选一个放在个位有种不同的选法； 第二步：确定百位数，百位数不能是，也不能是已经用在个位上的数，故有三个数可选， 任选一个放在百位有种不同的选法； 第三步：确定十位数，从剩下的三个数（包含0）中任选一个放在十位有种不同的选法； 根据分步乘法计数原理，可组成无重复数字的三位奇数共个.故答案为：. 13．【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得， 母线长，故圆锥侧面积.故答案为：. 14．【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增. 因此，对任意，和都是唯一的，由题意：， ，即，则，故， 故，根据的是唯一的， 得，即，故， 令， ，则，由得， 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：，因此，即：. 15．【详解】（1）因为，所以， 则，又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. （2）由（1）得， 则的前项和 . 16．【详解】（1）已知的最大值与的最小值都等于3， 则有，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知椭圆的标准方程为，则， 当直线的方程为或时，均不成立； 所以设直线的方程为（存在且），， ，整理得，由韦达定理，， 因为，且在之间，所以， 即，所以，即， 将代入，得，即， 将代入，得，即， 所以；整理得，即，解得 所以直线的方程为或. 17．【详解】（1）年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ， 所以，所以， 所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为， 由于2027年对应的年份代码为，得， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． （2）（ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表为： （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得， . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 18．【详解】（1）（i）证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以 （ii）根据题意，如图，建立空间直角坐标系，，，，， 设三棱锥外接球球心，则球心到的距离相等， 所以，即，解方程得：， 所以，又因为平面的法向量为， 设与平面所成角为，则 所以与平面夹角的正弦值为. （2）解：过点作棱交的延长线于，因为，，． 所以，故点在以为圆心，为半径的圆上动， 故以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，设，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，则 平面的法向量为 则，即，令，则，，， 因为二面角的正切值为，所以二面角的余弦值的绝对值为 所以； 又因为，将其代入整理得，解得， 所以，，此时 故二面角的正切值为， 19．【详解】（1）当时，， （i）当时，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上为增函数，故当时，，故原不等式得证； （ii）由题意可得， 所以，且. 当时，. 因为，，所以.因为对任意恒成立， 所以当时，，所以是的唯一极值点. （2）由题意可得，则， 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为、， 其斜率分别为、，则. 因为，所以，所以. 不妨设，则.因为， 由“合一切线”的定义可知.所以. 由“合一切线”的定义可知，所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以，. 学科网（北京）股份有限公司 $