四川省绵阳南山中学实验学校2026届高三上学期数学二诊模拟试题（四）

绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（四) 数学 命题：赵杰 审题：李果 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题。每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.A={xy=log,(4-x2},B={-1<x<3},则AnB= A.（-2,-1) B.（-2,3) C.(-1,2) D.(-1,3) 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+b2-c2=√5ab.则角C= A B.π c D. 6 6 3.定义在R上的函数四满足f+山)=f-),且当xc(Q,2时，=e,0<≤L 4,1<x≤2， 则 A号 B.√2 C.2 D.-2 4.空间中有两个不同的平面，B和两条不同的直线m,,则下列命题正确的是 A.若a⊥B,m⊥，m⊥n,则n⊥F B.若a⊥B,m⊥a,n⊥B,则⊥n C.若a⊥B,n⊥B,则n/1& D.若ncc,n/1B,cB,m//a&,则a//B 5.已知向量a,6满足a+b=1,a-26=2,且(2a+b)16,则 A. B c. D.6 2 二诊模拟试题 6.已知sima,sim(a+2A三(，则m(a+月cosB写 A B.- 4 c 7.己知一个正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，若球O的半径为1，则该正三棱柱体积的 最大值为 A.号 B.1 C.2 D.3 8已加精州C若器-1ab>0的、右在点分别为5，R,4为C上直直线状与C ,y2 交于另一点B,若AE,=2EB,cos∠F,B=-sn∠AFF,则C的离心率为 A.2 B.5 c.⑤ 6 D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9.己知函数f(x)=cos2x+V3sin2.x,xeR,则 A.∫(x)的最小正周期为π B.直线x= ·是曲线y=f(x)的一条对称轴 C.f(x)在0 上单调递增 6 D.将y=f(x)的图象向右平移”个单位得到y=-2cos2x的图象 10.如图，己知点A,B,C,D在表面积为12π的球O的球面上，且O∈BD,OA⊥平面BCD,点 E为BC中点，当二面角A-BC-D的大小为写时，则有 A.异面直线AB和CD所成角的大小为 3 D B.直线EA与平面ABD所成角的大小为 C.sin(2∠ABE)= 2W2 3 D.△BED的面积为√2 11.已知抛物线C:y=2x(p>0),准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点，过A,B 分别作1的垂线，垂足分别为A',B',则 A.FA'⊥FB B.若AF=3BF,则直线AB的斜率为√3 C.A,O,B'三点共线（其中O为坐标原点）D.AB=4AFBF 第1页共2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z满足z(1-2i)=3+41(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为 1.已知函数/儿)-1加4则不等式f四+f2x+小40的解实为 14.已知圆C:(x+1)2+y2=1,直线：y=k(x-1),若直线1与x轴交于点A,过直线1上一点P 作圆C的切线，切点为T,且PA=√3PT,则k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=bcos4+√3 asinB,且a=2 (1)求A; AB AC (2)若点D在线段BC上，且满足AD= 求△ABC的面积. AB Ac 16.(15分) 记Sn为数列{aw}的前n项和，已知4=2，a+1=Sn+n. (1)判断{a.+1}是否为等比数列，并求出{a}的通项公式： (2)设递增的等差数列6，}满足么=2，且4+么、4+b、4+九，成等比数列.设 1.1 b2·证明：T<一 17.(15分) 已知函数f()=e+a-1c-x (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 二诊模拟试题 18.(17分) 如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A,D分别是BF,CE上的点，且 AD/BC,ED=2AF=2,CD=t(0<t<3),BC+CD=3,将四边形ADEF沿AD向上折起， 连接BE,BF,CE,在折起的过程中，记二面角E-AD-C的大小为(0<C<π)，记几何体 EFABCD的体积为V. E D (1)求证：BF∥平面CDE: (2)当t=2时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值： (3)若平面EFB和平面EBC垂直，当a取得最大值时，求V的值. 19.(17分) 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的 反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也 被人们广泛应用.如图。已知双曲线C号茶-1a>0.6>0)的渐近线方程为)：2V2x0 为坐标原点，耳，F,分别为左、右焦点，A,A,分别为左、右顶点，由其光学性质知.由F,发 出的光线经双曲线C上一点(3,8)反射后，反射光线的反向延长线过点F,连接PF交双曲线 于P,P也是一个反射点，连接PF,交双曲线于P,则P也是一个反射点，再连接PF,交双 曲线于乃，则也是一个反射点，…，由各反射点连线得到折线-B-P-PP, 设第n个反射点为卫n(xm,yn)(n=0,1,2,3,）. (1)求双曲线C的标准方程： (2)求直线P2的斜率； P (3)证明：当为偶数时，直线OP与直线PPn2的斜率之积为定值. 第2页共2页绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（四) 数学参考答案 题号 2 4 5 > 8 10 11 答案 C O 0 W B ⊙ C ACD ACD ACD 1. 【答案】C【详解】要使函数y=log,(4-x2)有意义，须满足4-xX2>0,即x2-4<0, 即(x+2)(x-2)<0,解得-2<x<2,所以A={x-2<x<2}. 因为B={-1<x<3},所以A∩B={x-1<x<2},即AnB=(-1,2).故选：C 2D【详解】依题意由余弦定理得cosC-+b-c=V3bV ，又C∈(0，四，所以C=亚.故选：D 2ab 2ab 2 6 5D【解1了)的个周柴为2，所以召）-子习-周 --2.故选：D 1og24 4.B【详解】选项A,若a⊥B,⊥，⊥n,则n与B可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B,若a&⊥B,⊥&，n⊥B,则直线L,n的方向向量分别是平面a,B的法向量两平面垂直，即为它们的 法向量垂直，则m⊥n,B正确： 选项C,若n⊥B,且a⊥B,则n/la或nc&,C错； 选项D,若ncc,n/IB,cB,m/Ia,则可能有ax/1B,也可能&，B相交，D错故选：B. 5.B【详解】因为a+b=1,a-2b=2,所以a2+2a.6+6-1,a-4a-6+46=4, 两式相减得6a.石-6=-3，即-2a5+1,又2a+5列15，所以2a6+5=-0,所以-号，从而 闪9故：B 6A【详解】sina=sin(a+B-p月=sim(a+p)cosB-cos(a+月sinp 3, sin(a+2B)=sin(a+B+B)=sin(a+B)cos B+cos(a+B)sin B= 61 两式联立可得sne+)cosB-}枚选：A 7.B【详解】设正三棱柱ABC-AB,C的上，下底面的中心分别为O,O2,连接OO2,根据对称性可得， 线段OO,的中点O即为正三棱柱ABC-ABC的外接球的球心，线段OA为该外接球的半径，OA=1,设正 自校柱ABC-ABC的底面边长为x,设线段BC的中点为D,则4D=5x,4Q4D=名，Vx-Y3细 3”23 在t△100中，00=40-40--，所以0，-2-，0<x<5,又△1BC的面积 2 2 设t= 3,则-3-或，0t1前以-3-y,0e1,所以r-9g-)r=0 二诊模拟（四)参考答案第1页共7页 可得f=5或t-3,含去， 3 3 所以当0<1<号，r0,数=9g-y40） 上单调递增， 当5c11时，”<0，西数r90ry在91】 上单调递减， 所以当=9时，了-96-y取数大位.最大谊 3 所以当x=√2时，三棱柱ABC-ABC的体积最大，最大体积为1.故选：B. 8C【详解】根据愿意作图.已知福圆C:号+茶1ab0,所以c=后一F,则(<0，e0 由AF=2EB,得AF=2FB,由椭圆的定义可得AF+AE=2a,BF+E,B=2a, 设4A那=d,则Ag=2a-d,RB=号8职=2a-号，B=A迟+RB=多 2 由cos∠REB=-sim∠ARE,且∠REB=元-∠AER, 所以cos(π-∠AFF)=-cos∠AF耳=-sin∠AFE,即cos∠AF,F=sin∠AFE, 所以∠A迟+A5尽子即aRA为直角三角形，R4迟-受 则有8为直角三角形，所以2如-a-〔3到：解得a成-0《合去 2 又=(2a4+,代入da,整理得c2-,所以离心率e=￡=5数选：C 2 9.ACD【详解】f(x)=cos2x+V3sin2.x=2sin2x+ 6 对于A,了6)的最小正周期7-号=，故A正瑞： 对于B。了)-2n1上2，放直线晋不是曲线y=)的条对称轴，赦枚B销误： =-2cos2x,故D正确.故选：ACD. 10.ACD【详解】设球O的半径为"，因为球的表面积为12π，可得42=12π， 可得r=√5，因为O和E分别为BD,BC的中点，所以OEI1CD,所以OE⊥BC, 又因为OA⊥平面BCD,BCc平面BCD,所以BC⊥OA, 因为DAOOE=O,且OA,OEC平面AOE,所以BC⊥平面AOE, 又因为AEc平面AOE,所以BC⊥AE,所以∠AEO为二面角A-BC-D的平面角， 所以∠A0-号在直角△40驱中，可得B=m10 =20B=A0 =1, sin∠AEO tan∠AEO 对于A,由OE/1CD,可得异面直线AE和CD所成角，即为直线AE和OE所成角， 二诊模拟（四）参考答案第2页共7页 因为∠A0-子所以异面直线4迟和CD所成角的大小为分，所以A不正确： 对于B,过点E作EF⊥BD,垂足为F,因为OA⊥平面BCD,EFC平面BCD,所以EF⊥OA,又因为 OAOBD=O,且OA,BDC平面ABD,所以EF⊥平面ABD,所以∠EAF即为EA与面ABD所成角，在直 角△B0E中，OB=V5,0B=1,得BB=V5,则Bn=OB-BE2 OB ，则snMr.F-v6 ΓAE-6 故B不正确： 对于C,在直角△ABE中，AB=2,BB=V反，可得AB=√AB+B8=V6,则sim∠ABB=45-2 B后，则 ∠B股=看smZA防-号，则sm(2A8)=2nA85o∠AB-2x2返2 √6V63 ,故C不正确： 对于D,由D的面积为80歌2，会点，所以D正确枚陆：D 3 11.ACD【详解】连接A'F,B'F,根据抛物线定义可知AA=AF,所以∠AAF=∠AFA', 又由于AA'∥x轴，所以∠AAF=∠OFA,所以∠AFA=∠OFA,同理可证∠BFB'=∠OFB', 所以∠APB'=∠Om'+∠0A=(<0B+∠OA）=分，即M1s,故A正确： 过B作BC1A4于C,设BA=d,则Ar=3d,AC=2a,所以cos∠CAn=AC_24_1 AB 4d 2 所以∠CMR-于由对称性可知直线AB的斜率为士5，故B错误： 设A(6.B(5,小，则4号台 由于M-丽=（ ,由于A,F,B三点共线， 则$-号}-⅓-号)0， 又白于发=2片=2孤，别第+号0y)=0.由时发= 则4=p,所以k4-占=2卫，kg=当=2出 y 2 所以-2x个，是）-=1，即=，所以40，B三点共线，放c正确： kog y 2y2)yiyz 由于w=-p,则=p,即2Pr×2p两=p,所以xx,= 41 AB=(0y-y2)'=+片-2y%=2p匹+2匹，+2p =4+2m+2匹+i=号名号)所以4B-4A2叫，放D正确.放选：AcD. 二诊模拟（四）参考答案第3页共7页 122【详解1由：0-2)=3+4可得：：B+到-+车+列51+205+10i1, 1-2i(1-21(1+21)1-4 5 故复数z的虚部为2.故答案为：2 f(4-x)=-(4-)+n(4-x)-h[4-(4-x)]=-4+x+n(4-x)-lnx, 所以f(x)+f(4-x)=-4,故曲线y=f(x)为中心对称图形，函数f(x)的对称中心为(2，-2). 不等式f(x)+f(2x+1)+4>0可化为f(2x+1)>4-f(x),即f(2.x+1)>f(4-x), [0<x<4 3 由第一问可知a=-1时，f(x)在(0,4)上单调递增，所以0<2x+1<4,解得1<x< 21 2x+1>4-x 所以不等式的解集为 14.[1【详解】设P(%),则P4=V-1+听，PT=√x+1)+-1=+2x+, P4=V5PTV,-1+=5V+2x,+片，整理得，2+8，+2%-1=0， 即(6+2+坊-号点P在圆x+2少+2-号上，又点P在直线：=-上. 故直线y=kx-)与风c-2+-号有交点，即 +1V方，则s1 2k-3 则中分解得-1≤k≤1 故答案为：[-1，] 15.(1)根据题意2b=bcos4+√3sinB,则由正弦定理得，2sinB=cosAsinB+√3 sinAsinB, 因为sinB≠0，所以2=cos4+V5sm4,所以simA+1,A∈(0，)，则4+∈（工，7四 6 6(66 十62解得4=工 “A+π=π (2)令AE AB AF=AC ,则-=1又AD=正+A京，则四边形ABDF为菱形，4D为∠BAC 的角平分线西=（瓜+=正+丽+2证.F-11+2x11xcos智3，AD-5, 又e片号-0-d小ADn君即0-6+8，由余流定理可得：a=6+e-2冰ce号4， 3 即b+c-3c=(cP-3c=4,解得bc=4,所以cin写=5 3 16.(1)因为a1=2,且对任意的neN,a1=Sn+n,当n=1时，a2=S+1=3, 当n≥2时，由a1=S。+n可得a.=Sn-1+n-1, 上述两个等式作差得a1-a,=4+1,即a1=2a.+1,所以4+1+1=2(a+1), 又因为4，+1=4≠2(4+1)，故数列{a,+1}不是等比数列，且该数列是从第2项开始成公比为2的等比数列， 二诊模拟（四)参考答案第4页共7页 「2，n=1 当n≥2时，a,+1=4×2-2=2”,即4，=2”-1，综上所述，an= 2"-1,n≥2 (2)设等差数列bn}的公差为d,由题意可知d>0,且4，=22-1=3,4，=2-1=7， b2=b+d=d+2,b=b+2d=2d+2,所以a1+b=4,a2+b2=3+d+2=d+5, 4=7+2d+2到=d+8,因为4+4、4+4、8+号攻等比数列，所以a+5矿4日+到， 2 整理得d+6d-7=0,解得d=1或d=-7(舍去)， 11 1 1-111 所以6.=A+(n-1)d=2+n-1=n+1,所以家a+1+2n+1mm+22nn+2” 所京安安卓升好》+县 -高片号不证 17.(1)因为f)-=e+(a-le-x-号，所以f()=ae2+a-le-1=(ae-(e+, 当a≤0时，显然f'(x)<0,故f(x)在(-o,+∞)上单调递减， 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=-lna, 若x∈(-o,-lna),则f'(x)<0,故f(x)在(-o,-ha)上单调递减， 若x∈(-lna,+o),则f'(x)>0,故f(x)在(-lna,+oo)上单调递增， 综上所述，当a≤0时，f(x)在(-∞，+∞)上单调递减： 当a>0时，f(x)在(-o,-lna)上单调递减，在(-lna,+oo)上单调递增 (2)当a≤0时，f(x)在(-o,+o)上单调递减，此时f(x)不可能有两个零点， 当a>0时，由2》可知/=J(na创-号e+(a-e+ha-片 +Ina, 222a 当x→时，)→n,当)+e时，y→0，若f)有丙个要点，则一定有号云+ha<0, 令g@立ha,则ga江女0，所以&（回在Q-oj1单调造塔，因为g0)} 11 -+ln1=0, 所以若g(a)<0,则有0<a<1, 综上所述，若f(x)有两个零点，则a的取值范围是(0,1) 18.(1)在梯形BCEF中，因为BF/1CE,所以翻折后有AB/IDC,且AF/1ED, 因为ABd平面CDE,DCc平面CDE,故ABII平面CDE,同理可得AF/I平面CDE, 因为AB∩AF=A,AB,AFC平面ABF, 所以平面ABF/平面CDE,又因为BFC平面ABF,所以BF∥平面CDE, 二诊模拟（四）参考答案第5页共7页 (2)由题意，在梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，AD/IBC,即AD⊥CE, 且AD⊥FB,所以翻折后有AD⊥ED,AD⊥DC,且ED∩DC=D, E 所以AD⊥平面CDE,同理，AD⊥平面ABF, 由二面角E-AD-C的大小为a,得∠EDC=∠FAB=a, 过点E作CD的垂线，交直线CD于H,由ADI平面CDE,HEc平面CDE, 所以AD⊥EH,且AD∩DC=D,所以EH⊥平面ABCD, 即EH是四棱锥E-ABCD的高，由ED=2,CD=t=2,BC=3-CD=3-t=1, 所以am号Saco训-号x2x1x2sma-音na. 4 由ED/IAF,EDt平面ABF,AFC平面ABF,所以EDII平面ABF, 又因为4DL平面43，且4=1，所以w=w-数e4兮21knax1-na, 所以reet儿心n,ae(Q网，当a若时，P取同最大伯子 (3)过点D作DC的垂线，交直线CE于点G,分别以DA,DC,DG为x,y,z轴 正方向建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(3-t,0,0),C(0,t,0),B(3-t,t,0),E(0,2cosa,2sina), F(3-t,cosa,sin a),在平面EFB中，BF=(0,cosa-t,sina),EF=(3-t,-cosa,-sina), i.BF=y(cosa-1)+sina=0 设平面EFB的一个法向量为i=(x,y,),则 i.EF=(3-t)x-ycosa-sina=0 令y=sina,则：=t-cosx,x= a,所以n-（,mama1-cwa 3-t 在平面EBC中，CB=(3-t,0,0),CE=(0,2cosa-t,2sina),设平面EBC的一个法向量为i=(5,,), iC8=(3-t)x=0 则 m-C2=y(2c0sa-4)+52sia4=0'令1=2sia,则=t-2c0sa,5=0,所以 i=(0,2sina,t-2 cosa),因为平面EFB和平面EBC垂直，所以.m=0, 即2sin2+(t-cosa)(t-2cosz)=0,整理可得cosa= 1(2 因为u(0,),0<t<3,所以cosa≥2.2-25，当且仅当f=V5时，等号成立， 3Vt 3 故当a取得最大值时，即c0sa取得最小位子反， E 此时7=yw+wg-小na+g60ma=名6小ma. 6 新=，oa号5，ae动，所以na号则r-15v5 3 18 二诊模拟（四)参考答案第6页共7页 b=22 19.(1)因为P(3,8)在双曲线上，联立 a 964 ,解得 =1 b=2V2'则双曲线C的标准方程为x- a=1 1a2b2 y-88-0 9 x1-33+3 = (2)因为(3,8)，(，y),耳(-3,0)，联立 ,解得 或/53 =1 16 货=8去则号》 8 y= 己知E,3,0),则5=k5=-5 8 （3)证明：当n为偶数时，取连续3个反射点P(,yn),卫n+(x1,ynt),Pn2(xn2y2), 则直线R5的方程为x=X1+3 y-3,与双曲线交于点P(心，y), Vn+l x=+3 V-3 联立 yai x-y ,消去x得 48 m+3 yn+ya+1= n+1 8+1+3） -1 由韦达定理得 ynH ,两式相除得1+1 3×1+3 yn+, 64 y。ya+H =4 yan= 81+3） -1 V+1 3×+1+3 x+3-4 可得1-yH 1 3y y+1 3+5,故yn=5+3x: ya 4 y 4yi 4y#1 将ya= 代入直线2民的方程x=3-3,得- 5+3x+1 y-3,所以双曲线与直线的另一个 y+ y 交点为P -3-5型，4y 同理，双曲线与直线2￡的另一个交点为2+5-3x5-3死) 3-5x,4y 5+3x1'5+3x1 4yn 4y1 5+3xH5-3xH= 故k:=3-5xh_3=5x 24xy4=24xny出=32×=321 30(21-) 30x 5+3rH5-3xH 8 即点，。=一号，所以当n为偶数时，直线OP与直线PP的斜率之积为定值； 32 二诊模拟（四）参考答案第7页共7页 绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（四） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D D B B A B C ACD ACD ACD 1. 【答案】C 【详解】要使函数有意义，须满足，即， 即，解得，所以. 因为，所以，即.故选：C 2. D 【详解】依题意由余弦定理得，又，所以.故选：D 3.D【详解】的一个周期为2，所以.故选：D 4.B 【详解】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直，即为它们的法向量垂直，则，B正确； 选项C，若，且，则或，C错； 选项D，若，则可能有，也可能相交，D错.故选：B． 5.B 【详解】因为，所以， 两式相减得，即.又，所以，所以，从而.故选：B. 6. A 【详解】， ， 两式联立可得，故选：A 7. B 【详解】设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，连接，根据对称性可得，线段的中点即为正三棱柱的外接球的球心，线段为该外接球的半径，，设正三棱柱的底面边长为，设线段的中点为，则，，在中，，所以，，又的面积，所以正三棱柱的体积，设，则，，所以，，所以，令，可得或，舍去， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以当时，三棱柱的体积最大，最大体积为.故选：B. 8. C 【详解】根据题意作图，已知椭圆，所以，则，由，得，由椭圆的定义可得，， 设，则，，，. 由，且， 所以，即， 所以，即为直角三角形，， 则有为直角三角形，所以，解得或（舍去）， 又，代入，整理得，所以离心率.故选：C. 9. ACD 【详解】． 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，，故直线不是曲线的一条对称轴，故错误： 对于C，，故在上单调递增，故正确； 对于D，，故D正确．故选：ACD． 10. ACD 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，可得， 可得，因为和分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A不正确； 对于B，过点作，垂足为，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以即为与面所成角，在直角中，，得，则，则，故B不正确； 对于C，在直角中，，可得，则，则，则，故C不正确； 对于D，由的面积为，所以D正确.故选：D. 11.ACD 【详解】连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以，所以，同理可证， 所以，即，故正确； 过作于，设，则，，所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以，即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确．故选：ACD． 12. 2 【详解】由可得：， 故复数z的虚部为.故答案为：. 13. ， 所以，故曲线为中心对称图形，函数的对称中心为． 不等式可化为，即， 由第一问可知时，在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 14. 【详解】设，则 ，整理得，， 即点在圆上，又点在直线上， 故直线与圆有交点，即，则，解得. 故答案为：. 15．（1）根据题意，则由正弦定理得，， 因为，所以，所以，，则， ，解得； （2）令，，则.又，则四边形为菱形，为的角平分线.，， ，即，由余弦定理可得：， 即，解得，所以. 16．（1）因为，且对任意的，，当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即，所以， 又因为，故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列，当时，，即，综上所述，. （2）设等差数列的公差为，由题意可知，且，， ，，所以，，，因为、、成等比数列，所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以，所以， 所以 ，故原不等式得证. 17. （1）因为，所以， 当时，显然，故在上单调递减， 当时，令，解得， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，在上单调递减，此时不可能有两个零点， 当时，由（2）可知， ，若有两个零点，则一定有， 令，则，所以在上单调递增，因为，所以若，则有， 综上所述，若有两个零点，则的取值范围是. 18．（1）在梯形中，因为，所以翻折后有，且， 因为平面，平面，故平面，同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面，又因为平面，所以平面. （2）由题意，在梯形中，，，即， 且，所以翻折后有，，且， 所以平面，同理，平面， 由二面角的大小为，得， 过点作的垂线，交直线于，由平面，平面， 所以，且，所以平面， 即是四棱锥的高，由， 所以， 由，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且，所以， 所以，，当时，取得最大值. （3）过点作的垂线，交直线于点，分别以为轴 正方向建立空间直角坐标系，则，，在平面中，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以， 在平面中，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以，因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值， 此时， 由，，，所以，则. 19．（1）因为在双曲线上，联立，解得，则双曲线C的标准方程为； （2）因为，，联立，解得或（舍去），则，已知，则； （3）证明：当为偶数时，取连续3个反射点，，， 则直线的方程为，与双曲线交于点， 联立，消去得， 由韦达定理得，两式相除得， 可得，故， 将代入直线的方程，得，所以双曲线与直线的另一个交点为，同理，双曲线与直线的另一个交点为， 故， 即，所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； 二诊模拟（四） 参考答案 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（四） 数 学 命题：赵杰 审题：李果 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．，，则 A． B． C． D． 2． 记的内角的对边分别为，已知．则角 A． B． C． D． 3． 定义在上的函数满足，且当时，则 A． B． C．2 D． 4．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知向量满足，且，则 A． B． C． D． 6．已知，则 A． B． C． D． 7．已知一个正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，若球的半径为1，则该正三棱柱体积的最大值为 A． B．1 C．2 D．3 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点.直线与交于另一点，若，，则的离心率为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9．已知函数，则 A．的最小正周期为 B．直线是曲线的一条对称轴 C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 10．如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有 A．异面直线和所成角的大小为 B．直线与平面所成角的大小为 C． D．的面积为 11．已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作 的垂线，垂足分别为，则 A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_________． 13．已知函数．则不等式的解集为_________． 14. 已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1） 求； （2）若点在线段上，且满足，求的面积. 16. （15分） 记为数列的前项和，已知，． （1）判断是否为等比数列，并求出的通项公式； （2）设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 17.（15分） 已知函数． （1） 讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 18. （17分） 如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V． （1）求证：平面； （2）当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值； （3）若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值． 19．（17分） 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为． （1） 求双曲线C的标准方程； （2）求直线的斜率； （3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 二诊模拟试题 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $