北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

北京师大附中2025一2026学年（上)高二期末考试 数学试卷 班级： 姓名 学号： 考 1. 本试卷有三道大题，共6页。考试时长120分钟，满分150分。 生 2. 考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。 须 知 3. 考试结束后，考生应将答题纸交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)直线3x+√5y+1=0的倾斜角是 (A)30° (B)60 (C)120 (D)150 (2)己知空间向量a=(1,-2,-1),b=(2,-2,x),若a⊥b,则x= (A)6 (B)2 (C)-6 (D)-2 (3)己知等差数列{an}满足43+a,=32,a6-a4=6,则a1= (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (4)与直线2x+3y叶1=0平行且过点(0,1)的直线方程是 （A)2x+3y-3=0 (B)3x+2y-2=0 (C)2x+3yH3=0 (D)3x-2y叶2=0 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试数学试卷第1页（共6页） (5)已知直线x-V3y+6=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB上6，则r= (A)2 (B)25 (C)4 (D)3V2 (6)己知抛物线C:y2=-8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=4的距离为7， 则|MF= (A)7 (B)6 (C)5 (D)4 (7)已知点O为坐标原点， 椭圆二+二-1的左、右焦点分别为，几，点P在椭圆 05 上，设线段PF的中点为M,且|OF=OM,则△PFF,的面积为 (A)V5 (B) 15 (c)3V万 (D)4V15 (8)“0<m<2”是“￡+，广=1为椭圆方程”的 m 2-m (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)已知直线l:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l和 直线（的距离之和的最小值是 (A)2 (B)3 (c) (D) 37 16 北京师大附中2025-2026学年（上）高二期末考试数学试卷第2页（共6页） (10)已知数列{an}满足4，=8，a=1，a+2= -a,n为偶数 a,-2,n为奇数，S,为数列{a}的前n 项和，则 （A)a2026=-1 (B)2n=-n2+9n (C)Sn的最大值为20 (D)S9=-2049 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)双曲线x2-上=1的渐近线方程是 4 B (12)如图所示，在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC, AB=AC=AA·则异面直线AC,B,C所成角的大小是 (13)若圆G:(x-p)2+y2=4与圆C2:x2+y2=1无交点，则p的一个值可以是 (14)设数列{a,}是等比数列，前n项和为Sn·若S,=3a,则公比q等于 (15)已知曲线C: 州-州-1，P(o)为C上一点，给出下列四个结论： 4 ①的取值范围为[-2,2]： ②x+的取值范围为[儿，+∞)： ③不存在点P(,%),使得0-2%=-1： ④-2%+V5的取值范围为(W5,25+5]. 其中所有正确结论的序号是 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试数学试卷第3页（共6页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 已知数列{an}是等差数列，a=-2,a。=2.数列bn}是各项均为正数的等比数列， b=1,b3-b2=2. (I)求数列{an}，拓}的通项公式： (Ⅱ)求数列{an+bn}的前n项和Sn: (17)(本小题13分) 如图，在边长为2的正方体ABCD-AB,CD1中，E是棱AB上的点，平面C,AE交棱 BC于点F. (I)证明：EF∥AC; (I)若直线AB与平面C,AE所成角的正弦值为？，求线段AE的长度. B 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试数学试卷第4页（共6页） (18)(本小题14分) 已知椭圆c:+y 4+3 =1，右焦点和右顶点分别为F,A.倾斜角为”的直线1经过F 且与椭圆C交于M,N两点. (I)求椭圆C的离心率； (Ⅱ)求△AMN的面积. (19)(本小题15分) 如图，在四棱锥M-ABCD中，平面BCM⊥平面ABCD,∠ADC=∠BMC=90°， ABIICD,MB=MC,AB=2√2，AD=DC=√2，N为棱BC的中点. (I)求证：MN⊥AD: (）若点上在棱A上且S子求平面BCE与平面CW所成角的大小 M B 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试数学试卷第5页（共6页） (20)(本小题15分) 知椭圆C:二+之a>b>0的左、石焦点分别为，，上顶点为B,△BF正 边长为2的等边三角形， (I)求椭圆C的标准方程 (Ⅱ)过点A(4,0)的直线1与椭圆C交于P,Q两点，点T是线段PQ上一点，且满足 AP:2T=AgPT.求证：点T在一条定直线上. (21)(本小题15分) 已知数列{an}:a,a2,…,an是递增的整数数列，n≥4.定义数列{an}的“相邻数列” 为{bn}:b,b2,…,bn,其中b=a,bn=an,b=a=1+1或b=a+1-1,i=2,3,…,n-1. (I)若n=4,数列{an}:2,4,6,8,写出{an}的所有“相邻数列”： (IⅡ)若n=10,数列{an}满足a=1,ao=20,且{an}的所有“相邻数列”均为递增数列. 求满足条件的数列{an}的个数： (IⅢ)若n=20,数列{an}满足a1=0,42=2,且存在{an}的一个“相邻数列”{bn},使 得对任意i,j∈{2,3，…，19}，a+a;≠b,+b,求a2的最小值. 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试数学试卷第6页（共6页） 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试 数学试卷参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) C A B A D C A B A D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分) (11)y=±2x (12) (13)答案不唯一，满足p∈（←m,-3U(-1,1U(3,+∞）均可 w0g=月 (15)②③④ 三、解答题（共6小题，共85分) (16)(共13分) 解：(I){an}是等差数列，4，=-2，a=2故公差d=a。-4=4. .an=a5+(0n-5)d=4n-22,a,=-18 {b}是各项均为正数的等比数列，故公比q>0, b-b2=bg-b9=q2-q=2. 解得q=2(舍去q=-1) .bn=hq"-1=2n-1 (Ⅱ)Sn=a+凸2+…+an+b+b2+…+bn =4+a.n+60-42 2 1-9 =2n2-20n+2"-1 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试数学试卷参考答案第1页（共7页） (17)(共13分) 解：(I)正方体ABCD-AB,CD,中，平面ABCD/平面ABCD,A,C1,E,F共面 平面ACFE∩平面ABCD=EF,平面ACFE∩平面AB,CD,=AG ∴.AC/IEF 正方体ABCD-ABCD中，AA∥BB/∥CC1,AA=CC .四边形ACCA是平行四边形 .AC//AC .EF//AC (IⅡ)因为ABCD-AB,CD是正方体，所以以D为原点，DA,DC,DD所在的直线分 别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AE=(0<t<2), 则A(2,0,2),C(0,2,2),E(2,t,0),B(2,2,2), 所以AC1=(-2,2,0),AE=(0,t,-2), 设m=(x,y,z)为平面CAE的法向量， -2x+2y=0 由m·AC1=0,mAE=0,可得 y-2z=0 令x=2,得y=2,z=t,则m=(2,2,t), 因为AB,=(0,2,0),设直线AB与平面CAE所成的角为0， 所以m9-osmA氏 m·AB 4 m AB 2W22+22+12 3又1>0， 解得1=L,故当直线A8与平面CAE所成角的正弦值为时，AE=1. 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试数学试卷参考答案第2页（共7页） (18)(共14分) 解D。=46=3e2=d-8=le=层月 (Ⅱ)由己知设直线1：y=x-1,M(x,y),N(x2,y) x2.y2 联立 4+3=1,消去y得到7-8x-8=0,4=288>0 y=x-1 IMNA=x28824 lal 77 要w 4,-2-L=5 (19)(本小题15分) 解：(I)MB=MC,N为棱BC的中点，.MN⊥BC, 又因为平面BCM⊥平面ABCD,平面BCM∩平面ABCD=BC,MNC平面BCM, 所以MN⊥平面ABCD,·ADC平面ABCD,∴.MN⊥AD (IⅡ)在直角梯形ABCD中，取AB的中点为O, 2孙 易知AO=OB=AD=CD=√2，AB/1CD, M ∠ADC=90, 则四边形ADCO是正方形，故CO⊥AB 在Rt△COB中，BC=VC02+OB2=2. B 在△ACB中，AC=VAD2+CD2=2,AB=2N2, AC⊥BC 又因为平面BCM⊥平面ABCD,且平面BCM∩平面ABCD=BC, ACC平面ABCD,故AC⊥平面BCM, 北京师大附中2025一2026学年（上）高二期末考试数学试卷参考答案第3页（共7页） 连接AC,ON,则ON/1AC,故ON⊥平面BCM, 故可以点N为坐标原点，NO,NB,NM所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 因MB=MC,∠BMC=90°，则M(0,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0),A(2,-1,0), 于是AM=（2,1,1),BC=(0,-2,0),BA=(2,-2,0), 易知平面BCM的一个法向量为m=(1,0,0) 在棱AM上存在一点E,且AE=? AM 3 则E=A+A证=M-得引 设n=（x,y,z)为平面BCE的一个法向量， BC=-2y=0 则 BE= 2.4., 32s0 ,解得一个n=(2,0,-2) 3 y 3 2 从而cosm,n= mn mn ×|222 所以平面BCE与平面BCM所成角的大小为星 (20)(本小题15分) 解：(I)△BEE是边长为2的等边三角形，可知2c=2,b=√3 故02=2+c2=4,椭圆方程为+父-1 4+3 (Ⅱ)先由对称性，猜测点T所在的直线应垂直于x轴 直线1的斜率必定存在，否则直线1与椭圆无交点 设1：y=k(x-4),P(x,y),Q(x2y2)Tt,o) x2,y2 =1 联立 43 y=k(x-4) 北京师大附中2025一2026学年（上)高二期末考试数学试卷参考答案第4页（共7页）