精品解析：江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题

江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设，则集合中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知复数满足，则等于（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 3. 若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 4. 已知函数为奇函数，则的值为（ ）. A. 0 B. C. 2 D. 1 5. 已知第一组数据的平均数为，方差为，第二组数据的平均数为，方差为，则（ ）. A. B. C. D. 6. 函数在区间上的零点个数为（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线的左、右焦点为，为双曲线的右支上一点，直线与左支交于点，且，的平分线与轴交于点，，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（ ）. A. B. C. 与的夹角为 D. 存在，使得 10. （多选）已知直线与圆相交于两点，则下列结论正确的有（ ）. A. 直线过一定点 B. 直线与圆相切 C. 点到的最大距离为 D. 的面积恒小于8 11. 对于等式，如果将视为自变量x，b视为常数，记为，那么为幂函数；如果将视为常数，视为自变量x，c记为，那么为指数函数；如果将a、b视为自变量x，c记为，那么称为幂指函数.关于函数，下列结论中正确的有（ ）. A. 函数在上单调递增 B. 函数有最小值 C. 当时，方程无实根 D. 当时，函数有两个极值点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项和为，且.若，则___________. 13. 已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为___________.（答案不唯一，只需写出满足条件的一个值） 14. 圆柱的轴截面为，为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点，平面与上底面的交线为，若四边形为正方形，则四棱锥的体积为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求； （2）若，求AB边上的高. 16. 在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足,成等差数列，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于A，B两点. ①若点的坐标为，求线段AB的长； ②若的面积是面积的3倍，求直线的方程. 17. 如图，已知多面体中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面平面； （2）若，且平面与平面所成角的余弦值为. ①求线段的长； ②线段上是否存在点，使得平面平面，且满足平面.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在该景点共调查了200位游客，调查结果如下表. 满意 不满意 合计 晴天 80 阴雨天 40 合计 140 200 （1）完善上述表格，并判断能否有的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响； （2）从这200位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率； （3）当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴天，则第2天为晴天的概率为，为阴雨天的概率为；若第1天为阴雨天，则第2天为阴雨天的概率为，为晴天的概率为.已知第1天是晴天，求第天仍是晴天的概率，并求前天晴天的天数的期望. 附录：. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设，则集合中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，求得即可判断元素个数. 【详解】因为集合，所以，有6个元素. 故选：D 2. 已知复数满足，则等于（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法化简，再根据复数模的计算公式计算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A 3. 若为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为（ ）. A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先把点代入抛物线方程得出，结合抛物线定义及准线计算求解. 【详解】为抛物线上一点，则，即， 且抛物线的准线为， 则点到其焦点的距离为. 故选：B. 4. 已知函数为奇函数，则的值为（ ）. A. 0 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】因为函数为奇函数， 当时，，则，所以， 又，则，即. 故选：C 5. 已知第一组数据的平均数为，方差为，第二组数据的平均数为，方差为，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式计算即可. 【详解】由已知可得， ， 第二组数据， 所以， 当且仅当，即第一组数据中所有数据相等时取等号， 故选：A 6. 函数在区间上的零点个数为（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】将函数在区间上的零点问题，转化为函数在上的图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，即可得答案. 【详解】由题意可知函数在区间上的零点个数， 即为函数在上的图象的交点个数； 作出函数的图象如图： 其中，当时，, 由图象可知的图象在上有4个交点， 即函数在区间上的零点个数为4， 故选：B 7. 在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义和前项和公式，结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设正项等差数列的公差为， 若，则，解得， 所以， 所以， 所以数列是公差为的等差数列， 故“”是“数列是等差数列”的充分条件； 若数列是等差数列，设，（为常数）， 则， 又因为等差数列中， 所以，解得， 所以， “”是“数列是等差数列”的必要条件； 综上“”是“数列是等差数列”的充要条件， 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点为，为双曲线的右支上一点，直线与左支交于点，且，的平分线与轴交于点，，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用角平分线性质及双曲线定义，结合余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】由的平分线与轴交于点且可得， 因为双曲线中，解得，， 又因为，所以， 结合解得，， 所以，即是等边三角形，， 所以中由余弦定理可得， 即，解得， 所以双曲线的离心率， 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（ ）. A. B. C. 与的夹角为 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积，模长，求两向量的夹角公式计算即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，，，所以，故正确； 对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误； 对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确. 故选：. 10. （多选）已知直线与圆相交于两点，则下列结论正确的有（ ）. A. 直线过一定点 B. 直线与圆相切 C. 点到的最大距离为 D. 的面积恒小于8 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线系方程判断直线是否过定点判断A，利用圆与直线的位置关系结合点到直线的距离判断BC，利用弦长公式得到的面积，求出面积的最大值判断D即可. 【详解】对于选项A：将直线方程变形为 ， 假设直线  过定点 ，则  对任意  恒成立， 当  时，得 ，解得 ；当  时，得 ， 将  代入方程，得 ，即 ，此式不恒成立，故假设不成立，直线  不过定点，A说法错误； 当，时，直线为， 当，时，直线为， 因为没有交点，所以直线不过定点，A说法错误； 对于选项B：圆，即，圆心为，半径， 该圆圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，B说法正确； 对于选项C：圆的圆心为，半径， 圆到直线的距离， 所以，即点到的最大距离为，C说法正确； 对于选项D：因为， 的面积， 令，由C选项可得， 因为函数在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以的面积不恒小于，D说法错误； 故选：BC 11. 对于等式，如果将视为自变量x，b视为常数，记为，那么为幂函数；如果将视为常数，视为自变量x，c记为，那么为指数函数；如果将a、b视为自变量x，c记为，那么称为幂指函数.关于函数，下列结论中正确的有（ ）. A. 函数在上单调递增 B. 函数有最小值 C. 当时，方程无实根 D. 当时，函数有两个极值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，求出导数，判断函数的单调性，求出函数的最值，即可判断AB；由可得，即可推出，即，结合a的范围以及函数的最小值，即可判断C；求出的导数，判断该函数的变号零点的个数，即可判断D. 【详解】对于AB，令，则，由，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为可看作由复合而成，且在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，由此可知A错误，B正确； 对于C，由可得，则，所以，即， 而，故当时，无解，即方程无实根，C正确； 对于D，当时，，则， 令，则，在上单调递增， ，当时，， 即有且仅有一个零点，设为，则，且， 故时，；时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， 令，则， 则在上单调递增，而，故， ，而， 又当时，，故， 当时，，变化的幅度远大于变化的幅度，故， 则的图象如图示： 即有两个变号零点，则函数有两个极值点，D正确， 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项和为，且.若，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意列方程求出等比数列的公比，再根据前n项和求解，即得答案. 【详解】设等比数列的公比为q，由，得， 则，则， 由得，解得， 故答案为：4 13. 已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为___________.（答案不唯一，只需写出满足条件的一个值） 【答案】（答案不唯一，满足的一个整数即可） 【解析】 【分析】根据函数在上单调递减，所以对恒成立，再根据一元二次函数的根的分布规律求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以对恒成立， 所以解得， 所以整数的取值集合为. 故答案为：（答案不唯一，满足的一个整数即可）. 14. 圆柱的轴截面为，为下底面圆的直径，.点为下底面圆周上的一点，平面与上底面的交线为，若四边形为正方形，则四棱锥的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用垂直的坐标表示可得底面为矩形进而得到面积，利用点到平面的距离公式求出四棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即可得解. 【详解】因为为下底面圆的直径，点为下底面圆周上的一点，所以， 因为是圆柱的轴截面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，四边形为正方形，， 则由解得， 以分别为轴，过点垂直于平面为轴建立如图所示坐标系， 则，，，， 所以，，， 因为，所以，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以四棱锥的体积， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求； （2）若，求AB边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理及同角三角函数关系求得，由此求得，最后得出. （2）结合三角形的面积公式及两角和正弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得，所以， 所以 因为，所以， 又因为，所以，所以； 【小问2详解】 设AB边上的高， 由三角形面积公式得， 因为，所以， 因为为的内角，所以， 因为，由正弦定理得，所以. 16. 在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足,成等差数列，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于A，B两点. ①若点的坐标为，求线段AB的长； ②若的面积是面积的3倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）;直线： 【解析】 【分析】（1）利用等差数列条件推导轨迹方程. （2）①结合直线与椭圆联立求解几何量；②利用同底，点横坐标是点横坐标的三倍求解即可. 【小问1详解】 设动点，已知：，，且,,成等差数列， 由等差数列性质得：, 易得：,所以， 根据椭圆定义：，， 中心在原点，焦点在轴上， 故曲线方程为：. 【小问2详解】 ①直线过点,，故直线方程为：， 联立：，代入消元并通分得：， 解得：，，所以点, , 故线段. ②当斜率不存在时，即，此时四点共线，不构成三角形，不符合题意. 当斜率存在时，设直线为：，，. 联立：，展开通分得：， 三角形和三角形是同底的，要使三角形的面积是三角形的3倍， 即， ，， 观察发现：，即同号，不妨设：， 代入和与积： ， ， 代入得：， 化简得：， 故方程为：. 综上：（1）曲线方程：. （2）①线段.②直线方程：. 17. 如图，已知多面体中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面平面； （2）若，且平面与平面所成角的余弦值为. ①求线段的长； ②线段上是否存在点，使得平面平面，且满足平面.若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）先证明，，即可得到平面，进而求证即可； （2）①建立空间直角坐标系，设，利用空间向量建立方程求解即可； ②由题设可得平面，进而利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 在正方形中，， 因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 ①以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，解得，即； ②由题意，若存在点，使得平面平面，且满足平面， 而平面，平面，则， 因为平面，平面，所以平面，设， 由①可知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面，得，解得， 则存在点，使得平面平面，且满足平面，且. 18. 某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在该景点共调查了200位游客，调查结果如下表. 满意 不满意 合计 晴天 80 阴雨天 40 合计 140 200 （1）完善上述表格，并判断能否有的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响； （2）从这200位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率； （3）当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴天，则第2天为晴天的概率为，为阴雨天的概率为；若第1天为阴雨天，则第2天为阴雨天的概率为，为晴天的概率为.已知第1天是晴天，求第天仍是晴天的概率，并求前天晴天的天数的期望. 附录：. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，有99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响； （2）； （3）；. 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，再计算最后与临界值表比较即可得解； （2）根据条件概率公式计算求解； （3）根据题意得到的递推关系式，根据递推关系式得到是等比数列，求出的通项公式，结合等比数列求和及两点分布性质最后求出数学期望． 【小问1详解】 列联表如下： 满意 不满意 合计 晴天 80 20 100 阴雨天 60 40 100 合计 140 60 200 ， 故有99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响； 【小问2详解】 记事件A为两人调查当天的天气状况一致，事件B为他们对该景点均满意， 所以 【小问3详解】 由题意知， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 某一天要么是晴天，要么是阴雨天，符合两点分布，记第i天为， 所以 所以． 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 【答案】（1） （2） （3） 由已知可得， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又函数在上单调递增且恒为正， 所以在上单调递增且恒为正， 所以在单调递增， 令，，则， 因为，所以，在单调递增， 所以对任意有， 因为时， ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求解即可； （2）将原不等式转化为，利用导数求的单调区间进而求最小值即可； （3）构造，，利用导数可知在单调递增，利用单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于点处， 因为，所以①， 又因为②，①②联立解得，. 【小问2详解】 由（1）得， 对任意，存在，使得不等式成立， 等价于对任意，即可， 所以当时恒成立， 令，只需即可， 因为，令， 则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为，所以， 又 ，，所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，即的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $