精品解析：上海市晋元高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

晋元高中高二月考数学试卷 2025.12 一. 填空题 1. 已知直线与互相垂直，则实数值为___________. 2. 若椭圆 的离心率为，则___________. 3. 记双曲线斜率为正的渐近线为，则虚轴的上端点到的距离为________． 4. 已知正项等比数列中，，则__________. 5. 已知数列满足，若，则___________． 6. 已知等差数列的前项和分别为，且，则___________． 7. 设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 8. 已知抛物线是过其焦点一条弦，若，则直线的斜率为___________ 9. 已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 10. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 11. 是等差数列 的前 项和， ，则满足 的 的最小值为_____． 12. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为________． 二．单选题 13. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 15. 已知椭圆一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 16. 已知双曲线，椭圆上一点（不在的渐近线上），过点分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，分别交渐近线于，两点，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 三. 解答题 17. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前n项和为． 18. 已知数列的前项和为，且满足（，）． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前100项和． 19. 已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 20. 已知数列，其前项和分别为， （1）若，，求证：等比数列并求； （2）若数列满足，，，则称为斐波那契数列. ①求是数列中的第几项； ②证明： 21. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，点在上．过直线上一点作的两条切线，切点都在的右支上．直线与轴交于点． （参考结论：二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） （1）求双曲线的方程； （2）设在直线上的投影分别为．记，，的面积分别为，证明：成等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋元高中高二月考数学试卷 2025.12 一. 填空题 1. 已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可. 【详解】由题意得，解得或， 故答案为：或 2. 若椭圆 的离心率为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据确定，的值，利用椭圆中，，的关系及离心率公式求解即可. 【详解】，，， ， ， 解得. 故答案为：. 3. 记双曲线斜率为正的渐近线为，则虚轴的上端点到的距离为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据双曲线方程求得其虚轴的上端点和渐近线方程，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由：可得实半轴，虚半轴， 故：，即， 则双曲线虚轴的上端点到直线的距离为． 故答案为：． 4. 已知正项等比数列中，，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出数列公比，进而求出目标值. 【详解】由正项等比数列的公比为， 则，即，则有， 所以. 故答案为：16 5. 已知数列满足，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出，易得数列是周期为的周期数列，从而得解. 【详解】，， 所以数列是周期为的周期数列， 又. 故答案为： 6. 已知等差数列的前项和分别为，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合性质即可求解. 【详解】由可得， 又， 故， 故答案为： 7. 设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【答案】或 【解析】 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，代入点坐标，即可得答案. 【详解】当截距为0时，设l方程为，代入点，可得，解得， 所以方程为，即； 当截距不为0时，因为截距相等，所以设方程为， 代入点，可得，解得， 所以方程为，即， 综上，直线l的一般方程为或. 故答案为：或. 8. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线斜率为. 故答案： 9. 已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法列方程，整理求得直线的斜率. 【详解】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得. 因为线段的中点坐标为，所以. 故答案： 10. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而求和即可． 【详解】由，且，则，同理解得，， 由题意可得下表： 数列的最小正周期，由， 则． 故答案为： 11. 是等差数列 的前 项和， ，则满足 的 的最小值为_____． 【答案】100 【解析】 【分析】根据题意可得，即即可求解． 【详解】由题可得，， 即， ，又， 所以满足 的 的最小值为100． 故答案为：100． 12. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】按绝对值内表达式的符号分类，拆分原方程为椭圆和圆的方程；分析曲线所围成的封闭图形；分别计算圆的部分面积、椭圆的部分面积、三角形面积，求和得到总面积即可． 【详解】当时，，则曲线的方程为， 当时，，则曲线的方程为，即． 如图所示，为圆心角且， 故曲线所围成的封闭图形可分为三部分， 其面积为． 故答案为：． 二．单选题 13. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 14. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可. 方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可. 【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知： 在等差数列中，，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以， 解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为， 由等差数列前项和公式可知： ，， 联立解得，， 所以. 故选：B 15. 已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即得椭圆半焦距，进而求出长轴长. 【详解】将配方得，故圆心为， 即得椭圆的右焦点为， 而该椭圆的短轴长为8，则其长半轴长， 所以该椭圆的长轴长为10. 故选：B 16. 已知双曲线，椭圆上一点（不在的渐近线上），过点分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，分别交渐近线于，两点，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先把点的坐标设成参数形式，再由平行关系可得直线，的方程，与淅近线方程联立可得E，F点的坐标，再由四边形是平行四边形及可得. 【详解】由双曲线，得，，故双曲线的渐近线为， 设，，，如图： 故直线的方程为，直线的方程为. 由，解得，即； 由，解得，即. 再由四边形是平行四边形，且， ， 所以. 故选：B． 三. 解答题 17. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 18. 已知数列的前项和为，且满足（，）． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前100项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求得数列的通项公式； （2）分析，分和两组求和，合并计算可得数列的前100项和． 【小问1详解】 由，得. 所以当时，. 又，不满足. 所以. 【小问2详解】 令，则. 所以当时，，所以当时，数列是等差数列. 所以. 又 ， 所以数列的前100项和为. 19. 已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合两点间距离公式求出曲线的方程； （2）根据直线与圆的位置关系，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合两点间距离公式求出，进而求出为定值． 【小问1详解】 设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 【小问2详解】 曲线方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示： 设过的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 20. 已知数列，其前项和分别为， （1）若，，求证：是等比数列并求； （2）若数列满足，，，则称为斐波那契数列. ①求是数列中的第几项； ②证明： 【答案】（1）证明见解析， （2）①第项；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数列的递推式可得，结合等比数列的定义可得证明；再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和； （2）①由斐波那契数列和累加法，可得所求；②由斐波那契数列和累加法，可得证明． 【小问1详解】 证明：若，，可得， 又，则是首项和公比均为的等比数列； 由等比数列的通项公式可得，可得， 则； 【小问2详解】 ①的分子为 ， 则，即为数列中的第项； ②证明：∵， ∴， 又∵，∴. 21. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，点在上．过直线上一点作的两条切线，切点都在的右支上．直线与轴交于点． （参考结论：二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） （1）求双曲线的方程； （2）设在直线上的投影分别为．记，，的面积分别为，证明：成等比数列． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求双曲线方程； （2）利用切线方程可得切点弦方程，从而联立方程组，结合韦达定理来表示面积，最后证明即可. 【小问1详解】 由题意得，解得． 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 设， 由参考结论，切线的方程为， 将代入得，同理可得， 所以直线的方程为，令，解得，则． 联立直线：与双曲线的方程， 消去得：， 所以， 由题知， 所以， 同理， 又， 而， 又 ， 所以，即成等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $