2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末冲刺卷

2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末冲刺卷 一、单选题（每题3分.共计30分）》 1.在名3140号i6,320285,-121212(每两个2之间依次多一个1)中，无 理数有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列说法中，正确的个数是（) ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与 它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在 直角三角形中三边关系一定满足a2+b2=c2;⑥若V(a-3)2=3-a,则a>3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.小明在计算某小组的7名学生的月考成绩时，错将一个数据89写成了98，根据数据计 算的平均数和方差与实际的平均数与方差相比，下列说法正确的是() A.平均数变大，方差的变化不确定 B.平均数变大，方差变小 C.平均数不变，方差不变 D.平均数变小，方差变大 4.如图，在大长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形ABCD的 周长为34，小长方形的长比宽大4.设小长方形的长为x,宽为y,则下列方程组正确的是 () 2x+7y=34 2x-7y=34 A. B. x-y=4 x+y=4 「2x-7y=17 [2x+7y=17 C. x+y=4 D. x-y=4 5.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=10.将此长方形沿EF所在的直线折叠，使点 D与点B重合，则AE的长为() 试卷第1页，共3页 A.3 B C.21 5 D.5 6.某区域设置了一个无人机监控中心，以监控中心为原点，每隔1km画一个同心圆，并将 每个圆周平均分成12等份（对应12个方位）.若无人机在监控画面中发现两个目标A,B, 则A,B两目标之间的距离为() 北 B 34 南 A.3km B.4km C.5km D.6km 7.如图中的图象（折线ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发 地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下 列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少 个s(千米) D 120 BC 80 E 0 1.523 4.5t(小时) 其中正确的说法共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在平面直角坐标系中，A(1,1),B(-1,1,C(-1,-2),D(1,-2),把一条长为2025 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 试卷第1页，共3页 A-B-C-D-A的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是() A.A1,1 B.B(-1,1 C.C(-1,-2) D.D(1,-2 9.如图，Rt△ABC中，BD平分∠ABC,AC=6,BC=8,AB=I0,如果点M,N分别 为BD,BC上的动点，那么CM+MN的最小值是() D A.3 B.4 C.4.8 D.5 10.图1是著名的“杨辉三角”，它给出了(a+b)”(n=0,l,2,3,…)的展开式（按a的次数由大 到小的顺序)的系数规律，图2列举了(a+b)”的展开式规律.由此(a+b)的展开式中ab项 的系数是() (a+b) 展开式 各项系数 (a+b)"= 1 1 二 (a+b)= a+b 11 (a+b)2= a'tab+b 121 Q@®@三 ♂面西冠面白 (a+b)3= a+3a b+3ab'+b 1331 白因通①@因白 (a+b)=a+4ab+6ab2+4ab+b14641 … 图1 图2 A.1 B.7 C.21 D.35 二、填空题（每题3分共计18分） 11.若函数y=(m-3)x2-1是一次函数，则m的值为」 12.若a+2与Vb+4互为相反数，则a 13.为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：Cm) 试卷第1页，共3页 如下：8,8,9,9,10,11,12,12,13,14.则这组数据的下四分位数是一，中 位数是，上四分位数是 x+7=8对.甲同学正隆解得乙同学把c看错了。 ax+by =22 x=3 14.在解关于x、y的方程组 得到的解为 x=-2 y=6，那么a-6+e的值为 15.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴 岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方 形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直 的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B(如图).则芦苇长尺. 16.如图，一次函数y=-三x+3的图象与x轴交于点4，与y轴交于点B,C在x轴负半轴， 4 连接BC,将ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为】 0 三、解答题（每题9分.共计72分） 1.计算：+l-+314-- 18.计算： 19.如图，在平面直角坐标系x0y中，点A坐标为(-4,4)，点B坐标为-2,0)，点C坐标 为-1,2). 试卷第1页，共3页 543 B -5-4-3-2-1 2345 5 (I1)请画出ABC关于y轴的对称图形△A,B,C; (2)直接写出点CG的坐标为_： (3)点P在y轴上，且满足△PCC的面积为3，直接写出点P坐标为-· 20.已知：如图，四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB⊥BC.求四 边形ABCD的面积. D A 21.如图，一架梯子AB长5m,斜靠在一竖直的墙A0上，此时梯子顶端A到地面的距 离为4m. 0 BD (1)求梯子底端B到墙角O的距离； (②2)如果梯子的顶端A沿墙下滑1m,那么梯子底端B将向外移动多少米？ 22.小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5h后到达甲地，游玩一段时间后按 原速前往乙地.小明离家1h20min后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地.如图是他们离家的路 程ykm与小明离家时间x(h)的函数图象.己知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍. 试卷第1页，共3页 y/km 30 10 0.5 14 3 (1)本题图中的a=-· (2)求小明从甲地到乙地这段的函数关系式。 (3)直接写出从小明出发开始到小明到达乙地过程中，两人相距2千米时x的所有值， 23.茶叶促销活动前后，A,B两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情 况如下表.已知促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格 相同. A茶叶销量 B茶叶销量 销售额 打折 300 200 6900 前 打折 500 400 9360 后 (I)每两A,B茶叶的原价分别是多少？ (2)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为 正整数)，若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案 。如图，直线y三x+8与x轴，y轴分别交于点4，B,点C在y轴正半轴上， △BAC沿AC折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处.直线CD交直线AB于点M.点P 是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线AB上的一动点. 备用图 试卷第1页，共3页 (①)填空：点A,B,C坐标分别为A,B ，C (2)求△MBC的面积， (3)连接PQ.△MBC与BPQ全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐 标 试卷第1页，共3页 2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末冲刺卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，常见类型包括含的式子、开方开不尽的数、以及有规律但无限不循环的小数，据此逐一判断即可． 【详解】∵ 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是含的式子，是无理数； ，是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； （每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个． 故选：C． 2．下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，函数的定义，平方根，平行于x轴的点的特征，直角三角形性质以及二次根式的基本性质，直接利用基础知识点逐一判断即可． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应；故原说法正确，符合题意； ②根据函数的定义，若y是x的函数，则当x取一个值时，一定有唯一的y与它对应；故原说法错误，不符合题意； ③平方根是它本身的数是0；故原说法错误，不符合题意； ④平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；故原说法错误，不符合题意； ⑤在直角三角形中，当a，b为直角边，c为斜边时，则三边关系一定满足；故原说法错误，不符合题意； ⑥若，则，故；故原说法错误，不符合题意； 故正确的个数有1个； 故选：A． 3．小明在计算某小组的7名学生的月考成绩时，错将一个数据89写成了98，根据数据计算的平均数和方差与实际的平均数与方差相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数变大，方差的变化不确定 B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差变大 【答案】A 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 错将89写为98，使总和增加9，平均数增加；方差的变化取决于实际数据的分布，可能增大也可能减小，因此不确定． 【详解】解：设实际成绩为，错误成绩为， 错误成绩总和为， 实际成绩总和为， 错误成绩总和比实际成绩总和多， 错误成绩的平均数比实际成绩的平均数多，即平均数变大； 而方差为各数据与平均数之差的平方的平均值，由于平均数变化且一个数据改变，方差可能增大，可能减小，例如当其他数据均为89时方差增大，当其他数据均为100时方差减小， 方差的变化不确定． 故选A． 4．如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 5．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查长方形的折叠问题，利用勾股定理列方程求线段的长度；，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，， 设，则， 解得， 故选C． 6．某区域设置了一个无人机监控中心，以监控中心为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分成12等份（对应12个方位）．若无人机在监控画面中发现两个目标，，则，两目标之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角和勾股定理的应用，根据题意求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， 由题意可知：，，， ∴， 故选C． 7．如图中的图象（折线）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米／时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少. 其中正确的说法共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象的读图能力．解题的关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据图象分别判断即可，行驶的最远距离是千米，共行驶千米，共用时间是小时，然后分别对每个序号进行判断即可． 【详解】解：①行驶的最远距离是千米，共行驶千米，故说法①错误； ②根据图象从时到时，是停留时间，停留小时，故说法②正确； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为(千米时)，故说法③错误； ④汽车自出发后小时至小时之间路程与时间的比值没有发生改变，故速度不变，故说法④错误． 故正确的说法是：②，只有一个， 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离的计算及周期规律问题．先求出四边形的周长，再用细线的长度除以周长得到绕的圈数和余数，最后根据余数确定细线另一端所在的位置坐标． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线从点A出发，按的顺序缠绕，在绕了201圈后，细线回到起点A，剩余的长度为5，从A点开始继续缠绕， ∴从A到B的长度是2，从B到C的长度是3， ∵， ∴剩余的5个单位长度刚好是从A点经过B点到达C点， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是C点的坐标，即． 故选：C． 9．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在上截取，连接，可证明，得到，则当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 10．图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查杨辉三角的递推规律，能根据项的指数确定其位置是解题关键． 先确定对应杨辉三角第行，为从左向右第项，再根据递推规律，用第行第个数的系数与第个数的系数相加求出项的系数． 【详解】解：根据图可知，“杨辉三角”的规律为： 每行首尾都是，中间每个数等于它上方左右两个数的和， 第六行的数，从左到右的系数分别为： 根据图可知，第行第个数的系数为，第个数的系数为， 对应“杨辉三角”第行，展开式中对应第行的第项， 的系数等于第行第个数的系数与第个数的系数之和：． 故选：． 二、填空题(每题3分共计18分) 11．若函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为，可得答案． 【详解】解：由是一次函数，得，且， 解得， 故答案为：． 12．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为是解题的关键． 根据相反数的定义，两个非负的表达式互为相反数，只能同时为零，从而求出和的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数，且，， ∴且， ∴， 解得：； ， 解得：； ∴ 故答案为 ：． 13．为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了株苗，测得它们的高度（单位：）如下：，，，，，，，，，． 则这组数据的下四分位数是 ， 中位数是 ，上四分位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了四分位数、中位数和上四分位数，分别计算下四分位数、中位数和上四分位数即可，正确理解下四分位数、中位数和上四分位数概念是解题的关键． 【详解】解：由数据排序得：，，，，，，，，，， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即，下四分位数为前个数据的中位数，即第个数据；上四分位数为后个数据的中位数，即原数据中的第个数据， 故答案为：，，． 14．在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 15．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 16．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，轴对称的性质，点的坐标，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，得到，，求出， 当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为，求出，，根据勾股定理，得到，求出，则当点A落在y轴上时，点C的坐标为，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为， 将沿所在的直线折叠，点A落在y轴上时，如图 ∴， ， ∴， ∴ ∴当点A落在y轴上时，点C的坐标为 故答案为：． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简二次根式和绝对值，并计算零指数幂和负整数指数幂，然后合并即可． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键，根据二次根式的性质化简，分母有理化的计算得到结果，最后再计算和差． 【详解】解： ． 19．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． (1)请画出关于y轴的对称图形； (2)直接写出点的坐标为 ； (3)点P在y轴上，且满足的面积为3，直接写出点P坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称变换及三角形面积计算，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标特征，以及利用三角形面积公式列方程求解． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，求出A，B，C的对称点，再顺次连接； （2）利用关于y轴对称的点“纵坐标不变，横坐标互为相反数”直接得坐标； （3）设出点坐标，结合的长度，根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：分别作出点、、关于轴的对称点、、，顺次连接、、，得到． （2）解：∵点关于轴的对称点为， ∴的坐标为， 故答案为： （3）解：设， ∵，， ∴，且轴，的高为， 由面积为3得：， 即，解得或， 故点坐标为或， 故答案为：或． 20．已知：如图，四边形，，，，，且．求四边形的面积． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．本题先连接并求出，再得出是直角三角形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：连接． ∵．，， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 故四边形的面积为． 21．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． (1)求梯子底端B到墙角O的距离； (2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用． （1）在中，直接利用勾股定理求解即可． （2）在中，直接利用勾股定理可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∴梯子底端B到墙角O的距离为：． （2）解：∵，，， ∴， ∴． ∴梯子底端 B 将向外移动． 22．小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程与小明离家时间的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍． (1)本题图中的 ． (2)求小明从甲地到乙地这段的函数关系式． (3)直接写出从小明出发开始到小明到达乙地过程中，两人相距2千米时x的所有值． 【答案】(1)2 (2) (3)0.1或1.7或1.8 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据实际问题并结合函数的图象得到进一步解题的有关信息，并从实际问题中整理出一次函数模型． （1）先求出小明的速度，求出甲乙两地的距离，根据时间=路程÷速度求出小明从甲地到乙地的时间，从而可得的值； （2）设小明从甲地到乙地这段的函数关系式为，把，代入求出的值即可； （3）妈妈出发前，距离等于小明的路程，妈妈出发后求出妈妈驾车速度和行驶全程的时间，再运用待定系数法求出妈妈驾车行驶路程与时间关系式，根据两人相遇前相距2千米和相遇后相距2千米列方程求解即可． 【详解】（1）解：小明的速度为：， 甲乙两地之间的距离为 小明从甲地到乙地所用时间为：（小时）， ∴， 故答案为：2； （2）解：设小明从甲地到乙地这段的函数关系式为， 把，代入得， 解得 ∴小明从甲地到乙地这段的函数关系式为； （3）解：∵妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍， ∴妈妈驾车的速度是 ∴妈妈驾车行完全程的时间， 设妈妈驾车行驶路程与时间关系式为， 把，即分别代入得， 解得， ∴妈妈驾车行驶路程与时间关系式为， ①当妈妈还未出来出发时，； ①相遇前相距2千米，则：， 解得：； ②相遇后相距2千米，则：， 解得：； 综上，x的所有值为或1.7或1.8． 23．茶叶促销活动前后，，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与茶叶打折前的价格相同． 茶叶销量 茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两，茶叶的原价分别是多少？ (2)促销期间，王阿姨带了96元要买茶叶和打折后为8元的茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 【答案】(1)每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； (2)三种购买方案，方案一：购买2两A茶叶和9两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买6两A茶叶和3两C茶叶 【分析】（1）依据题意，设每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两，又设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数，则，故，进而可以计算得解． 本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程组是关键． 【详解】（1）解：由题意，每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元， ， 答：每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； （2）解：由题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两， 设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数， ， 需为正偶数， 为偶数，即a为偶数． ∵， ，4， 或或 共有3种方案． 24．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $