2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末常考点复习题

2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末常考点复习题 一．选择题 【★考点1】无理数的概念判断 1．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列实数中，是无理数的是（    ） A．0 B． C． D．0.1010010001 3．下列各数中属于无理数的是（   ） A．3 B． C． D． 【★考点2】判断点所在的象限 1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若一次函数的值随x增大而增大，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【★考点3】三角形三边关系的应用 1．已知∆ABC中，，则的长度可能为（   ） A． B． C． D． 2．下列长度的线段，能与长度为的两条线段，首尾相接组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组线段中能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【★考点4】求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1．化简后的值为（   ） A． B．4 C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 3．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【★考点5】根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．如图，图象上对应的一次函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图像不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示： 则这个函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【★考点6】等边对等角与三角形内角和定理的应用 1．等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，，，．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在∆ABC中，，将∆ABC绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【★考点7】三角形的外角的定义及性质 1．将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是∆ABC的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在∆ABC中，点D在边上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【★考点8】证明三角形全等的条件 1．仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 3．如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【★考点9】判断三边能否构成直角三角形 1．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，9 D．3，4，5 3．下列各组数据中，可以作为直角三角形三边长的有（    ） ①1，2，3；②，，（其中为正数）③12，22，32；④，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【★考点10】一次函数图象平移问题 1．将一次函数的图象向上平移2个单位，平移后，当时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．要从直线得到直线，就要把直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．函数的图像向左平移2个单位，相应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【★考点11】数轴上两点之间的距离、实数与数轴的关系 1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【★★考点12】三角形折叠问题（角度计算） 1．在综合实践课上，同学们进行折纸活动．折叠三角形纸片，，分别是点A，C的对称点，折痕与边交于点D，连接．下列折纸示意图中，一定是∆ABC的中线的是（   ） A．B．C． D． 2．如图，∆ABC中，，，点D为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（    ）度． A．100 B．118 C．108 D．128 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【★★考点13】以弦图为背景的计算题 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 2．公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（   ） A． B． C．2 D． 3．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 【★★考点14】根据一次函数增减性与参数关系 1．已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数（，为常数）的图象经过点，且函数值随增大而减小，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 3．对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 【★★考点15】从函数的图象获取信息 1．小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前进．他们的路程差与小明出发时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：①小宇先到达青少年宫；②小宇的速度是小明速度的倍；③；④其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图． 结合图象信息，小成给出如下说法： 小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫． 其中正确的说法是（ ） A． B． C． D． 3．如图1是扬州南部城市快速通道的一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出．其间两车到点的距离（）与时间（）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（    ）    A．甲车在立交桥上共行驶8 B．从F口出比从G口出多行驶40 C．甲车从F口出，乙车从G口出 D．立交桥总长为150 二．填空题 【★考点16】求一个数的近似数 1．下列说法错误的有 ． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 2．年月日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为人，用四舍五入法将人精确到人，所得的近似数为 ． 3．据南京市第七次全国人口普查结果显示全市常住人口约为9360000人，用四舍五入法将9360000取近似数，并用科学记数法表示为 ．（精确到十万位） 【★考点17】实数的大小比较 1．比较大小： （填“”或“”或“”）． 2．比较大小： ．（填“”“”或“”） 3． ，比较大小： ． 【★考点18】实数与数轴 1.已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ． 2．一个正方形的面积是，那么它的边长在数轴上（如图）所对应的点的位置可能在点 处． 3．已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为 【★考点19】坐标与图形变化 —— 轴对称 1．若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，关于直线l对称，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点Q的坐标是 ． 【★考点20】等边三角形的性质 1．如图，直线a//b，将等边三角形按如图方式放置，在直线上．若，则 °． 2．如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ． 3．如图，∆ABC是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将∆ADE沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 【★考点21】全等三角形的判定 1．如图，，若要证明，则还要添加条件 就可以了． 2．丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 3．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是 ． 【★★考点22】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 2．已知一次函数，若的增大而增大，且此函数图像与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 3．已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 【★★考点23】等腰三角形 “三线合一” 性质应用 1．如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么 ． 2．如图，∆ABC中，，延长到点，使得，延长到点，使得，则的值为 ． 3．如图，在∆ABC中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为 ． 【★★考点24】用勾股定理解三角形 1．如图，在∆ABC中，，，，，那么的值是 ． 2．如图，一根电线杆在离地面米处各用米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是 ． 3．如图，在∆ABC中，，，平分，若，则点D到的距离为 ． 【★★考点25】线段垂直平分线的性质 1．在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 2．如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为 ． 3．如图，在∆ABC中，于点D，且，，于点F，若，，则 ． 【★★考点26】根据两条直线的交点求不等式的解集 1．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 2．一次函数与的图像如图，则关于的不等式的解集为 ． 3．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【★★考点27】已知点所在的象限求参数 1．一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 2．若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 3．一次函数的图像不经过第四象限，则m的取值范围是 ． 【★★考点28】比较一次函数值的大小 1．若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为m n．（填“”“ ”或“=”） 2．已知点和点是函数的图象上的两点，则 （填“>”，“<”或“=”） 3．设点和点是直线上的两个点，则的大小关系是 ． 【★★考点29】利用算术平方根的非负性解题 1．已知，则的值为 ． 2．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ． 3．若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 【★★考点30】勾股树（数）问题 1．仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为 ． 2．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 3．满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 组这样的“完美勾股数”． 【★★★考点31】勾股定理与折叠问题 1．如图，∆ABC中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 2．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为 ． 3．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将△CDE沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ． 【★★★考点32】以直角三角形三边为边长的图形面积计算 1．如图，∆ABC中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积 分别为，，，则 的值为 ． 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，，则 ． 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ． 【★★★考点33】一次函数与几何综合 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 2．对每个确定的x的值，y是，，中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为 ． 3．如图直线与轴、轴分别交于点A和点B，点分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为 ． 【★★★考点34】轴对称综合题（几何变换）、最短路径问题 1．如图，在∆ABC中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 2．如图，在∆ABC中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为 ． 三.解答题 【★考点35】实数的混合运算 1．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，b是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的平方根． 2．计算、求值： (1)计算：； (2)求的值：． 3．计算： (1)； (2)． 【★考点36】画轴对称图形、格点图中画等腰三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，∆ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出∆ABC关于y轴的对称图形； (2)∆ABC的面积为________； (3)若x轴上有一点P，使的周长最小，请在图中画出点P，并写出点P的坐标． 2．图①、②、③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，只用直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，不需保留作图痕迹． (1)在图①中画出∆ABC中边上的中线． (2)在图②中，以为底边作等腰∆ABC． (3)在图③中，作∆ABC的边上的高，则∆ABC的面积为 ． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【★考点37】全等的性质与判定简单综合 1．如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：△ABE≌△CBD； (2)若，，求的长． 2．如图，在△ABC中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：△AEF≌△CDF； (2)若，，求的长． 3．已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G． (1)求证：DE＝AF； (2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长． 【★考点38】求一次函数解析式 1．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)此一次函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围． 2．已知直线经过点，与轴正半轴交于点，求直线的函数表达式． 3．在平面直角坐标系中，有，两点，已知点A关于y轴的对称点为点C． (1)写出点C的坐标； (2)写出过B、C两点的函数表达式． 【★★考点39】等边对等角与尺规作图综合 1．如图，∆ABC中，，． (1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 2．已知：如图，射线和线段有公共端点B． (1)①在射线上取一点P，使△BPC是以为底边的等腰三角形； ②过P作射线，使 （以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，连接，则_______． 3．如图，在∆ABC中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点，交边于点； ②作的平分线，交边于点． (2)连接，若，则______（用含的代数式表示）． 【★★考点40】角平分线的性质定理与角平分线性质综合 1．如图，在∆ABC中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： (1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若∆ABC的面积是24，，求的长； (2)在图2中，把∆ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F． ①请作出折痕； ②连接，若，，求的周长． 2．如图，在中，． (1)尺规作图，求作的平分线交于点E；（保留作图痕迹） (2)由（1）可知点E到的距离相等，依据是______； (3)取边的中点D，连接，画出边上的高； (4)若∆ABC的面积是20，，则_____．（直接写出结果） 3．如图，已知∆ABC是锐角三角形．    (1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点N 关于直线的对称点恰好落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【★★考点41】一次函数图象与形面积 1．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与△COE的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 3．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求△ABP的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【★★★考点42】全等三角形综合问题（多步证明、辅助线构造） 1．如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．如图，与相交于点，，． (1)求证：△OAB≌△ODC； (2)与△ODC是否成轴对称？若是，请用无刻度的直尺画出对称轴；若不是，请说明理由． 【★★★考点43】斜边的中线等于斜边的一半性质综合应用 1．如图，∆ABC中，是边上的高线，是边上的中线，． (1)已知，求的度数． (2)若，求证：． 2．已知线段，以为斜边作和Rt△ADC，连接，、分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和Rt△ADC在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含、的代数式表示） 3．如图，在∆ABC中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． (1)若是的中点，求证：； (2)若，求证：△BGC为等边三角形． 【★★★考点44】等腰三角形的性质和判定综合题 1．如图，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)【特例探究】如图1，若点为的中点，求证：； (2)【类比迁移】如图2，若点在边上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 2．在∆ABC中，，，点为直线上一个动点点不与，重合，以为直角边在右侧作等腰直角三角形()，连接． (1)如图，当点在线段上时，猜想与的位置关系，并说明理由 (2)如图，当点在线段的延长线上时，（）的结论是否仍然成立请说明理由． 3．如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，∆ABC的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【★★★考点45】三角形、四边形折叠问题 1．折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)． (1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹) (2)若，求折痕的长． 2．如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N． (1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 3．在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将△ABP沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【★★★考点46】一次函数的实际应用 1．某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/本，精装练习本的进价为元/本，设购买普通练习本本，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 2．某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池满电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． (1)与x的函数关系式为______； (2)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (3)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 3．A城有某种农机台，B城有该农机台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机台，D乡需要农机台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为元/台和元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为元/台和元/台． (1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来； (3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元作为优惠，其它费用不变，如何调运使总费用最少？ 【★★★考点47】一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴，轴交点A和B的坐标； (3)若点在该一次函数的图象上，当的面积为5时，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是∆ABC面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，使得为等腰直角三角形，请直接写出P点的坐标． 3．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，若△AOB的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与∆AOB全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【★★★考点48】一次函数与几何动点问题 1．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)B的坐标为_______，线段的长为_______． (2)求直线的解析式和点D的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连接． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连接，当△DMN面积最大时，求的长度和△DMN的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过点，与轴交于点，，点在直线上． (1)如图1，若平分，平分，试说明； (2)如图2，连接，，求∆ABC和△AMC的面积； (3)若动点在坐标轴上，且满足时，求点的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，过点作直线，交于点D，交y轴于点E，且． (1)求点A及点E的坐标； (2)求点D的坐标； (3)如图2，M是线段上一动点（不与点C，D重合），，交于点N，连接，求△DMN的面积的最大值． 参考答案 一．选择题 【★考点1】无理数的概念判断 1．C ∵ 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是含的式子，是无理数； ，是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； （每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个． 故选：C． 2．C 解：A. 0是有理数； B. 是有理数； C. 是无理数； D. 0.1010010001是有理数； 故选：C． 3．C 解：A. 不是无理数，不符合题意； B. 是分数，不是无理数，不符合题意； C. 是无理数，符合题意； D. 是循环小数，不是无理数，不符合题意； 故选：C． 【★考点2】判断点所在的象限 1．C 解：，， 点所在的象限是第三象限， 故选：C． 2．D 解：∵，， ∴P在第四象限． 故选：D． 3．D 解：一次函数的值随增大而增大， ， ， 点 在第四象限． 故选：D 【★考点3】三角形三边关系的应用 1．C 解：已知∆ABC中，， 设的长度为， 根据三角形三边关系得：的取值范围为． 故选C． 2．C 解：设第三边长为，根据三角形的三边关系得， ， 即， 故选：C． 3．A 解：A、，符合三角形三边关系，故可构成三角形； B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； C、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； 故选：A． 【★考点4】求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1．B 解：， 故选：B． 2．D 解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意； C、没有平方根，故该选项不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项符合题意； 故选：D． 3．C A、，原式子错误，不符合题意； B、，原式子错误，不符合题意； C、，原式子正确，符合题意； D、，原式子错误，不符合题意； 故选C． 【★考点5】根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．B 解：由图象可得，，， 观察选项，只有B选项中的解析式符合． 故选：B． 2．A 解：∵，， ∴直线经过二，三，四象限， 故选：A． 3．D 解：当时，，代入得． 取点代入解析式，得，解得． 因此，函数解析式为． ∵， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【★考点6】等边对等角与三角形内角和定理的应用 1．D ∵等腰三角形有两个角相等， ∴若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角也为，顶角为：； ∴顶角为或， 故选：D． 2．C 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 解：∵将∆ABC绕着点顺时针旋转后，得到， ∴，， ， ． 故选：C． 【★考点7】三角形的外角的定义及性质 1．B 解：如图所示，设分别与交于M、N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．C 解：∵是∆ABC的角平分线， ∴设， ∴，， ∴， ∴， 故选C 3．D 解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选D． 【★考点8】证明三角形全等的条件 1．A 解：由作图可知：，，， ∴， ∴，即， 故选：A． 2．A 解：，， ， ， ， 故选A． 3．A 解：∵， ∴， ∵， ∴要根据“”判定，则需要添加斜边， 故选：． 【★考点9】判断三边能否构成直角三角形 1．D 解：A．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； B．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； C．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； D．∵， ∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形． 故选：D． 2．D 解：勾股数的定义：三个正整数，且满足“两小边的平方和等于最大边的平方”． A、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故A不符合； B、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故B不符合； C、是正整数，但计算平方和：，而，不满足“两小边平方和等于最大边平方”，故C不符合； D、3、4、5是正整数，且，同时满足勾股数的两个条件，故D符合． 故选：D． 3．B 解：，故1，2，3不可以作为直角三角形的三边长； ，故，，（其中为正数）可以作为直角三角形的三边长； ，故12，22，32不可以作为直角三角形的三边长； ，故，，可以作为直角三角形的三边长； ∴可以作为直角三角形三边长的有2组． 故选：B． 【★考点10】一次函数图象平移问题 1．D 解：∵ 将 向上平移2个单位后，得到新函数解析式为， 由， ∴, ∴. 故选：D. 2．D 解：∵将一次函数的解析式整理，得， 将一次函数向下平移个单位，平移后的一次函数的解析式为； 将一次函数向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式为， 故一次函数向下平移个单位或向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式均为． 故选：D． 3．A 解：将函数向左平移2个单位得到， 故选：A． 【★考点11】数轴上两点之间的距离、实数与数轴的关系 1．B 解： ∵， ∴ ， ∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 2．D 解：∵，即， ∴， 由数轴上各点所表示的数可得， 故选：D． 3．A 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示点数为． 故选A． 【★★考点12】三角形折叠问题（角度计算） 1．A 解：A、由折叠的性质得到，因此一定是∆ABC的中线，故选项A符合题意； B、由折叠的性质得到，因此不是∆ABC的中线，故选项B不符合题意； C、由折叠的性质得到是的角平分线，不一定是∆ABC的中线，故选项C不符合题意； D、如图，由折叠的性质得到，但和不一定相等，因此不一定是∆ABC的中线，故选项D不符合题意． 故选：A． 2．C 解：如图，连接、， ∵，为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 3．D 解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 【★★考点13】以弦图为背景的计算题 1．A 解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 2．B 解：由题意，，，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形边长为． 故选：B． 3．B 解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 【★★考点14】根据一次函数增减性与参数关系 1．C 解：∵ 点和在函数上， ∴，， ∵， ∴，化简得， ∴， ∴， 对于点，有， ∵， ∴， ∴，故 一定正确，选项正确； 选项：错误，应该是； 选项：错误，由且可知； 选项：，不一定成立，如时，． 故选：． 2．B 解：∵一次函数（，为常数）的函数值随增大而减小， ∴， A、当时，，而，故点的坐标不可能为； B、当时，，，故点的坐标可能为； C、当时，，而，故点的坐标不可能为； D、当时，，而，故点的坐标不可能为； 故选：B． 3．D 解：A、当时，， ， 当时，，图象经过一、三象限， 当时，，图象经过一、二、三象限， 当时，，图象经过一、三、四象限，故A不符合题意； B、当时，，函数随的增大而增大，故B不符合题意； C、将代入函数，得，即函数图象经过点，故C不符合题意； D、当时，，即图象与轴交于正半轴，故D符合题意； 故选：D． 【★★考点15】从函数的图象获取信息 1．B 解：由图象得出小明步行800米，需要8分钟，所以小明的运动速度为：（米/分）， 当第12分钟时，小宇运动（分钟），运动距离为：（米）， ∴小宇的运动速度为：（米/分）， ∴，故②小宇的速度是小明速度的3倍，正确； 当第15分钟以后两人之间距离越来越近，说明小宇已经到达终点，故①小宇先到达青少年宫正确； 此时小宇运动（分钟）， 运动总距离为（m）， ∴小明运动时间为：（分钟），故a的值为21，故③错误； ∵小明15分钟运动距离为：（m）， ∴，故④正确． 故正确的有：①②④． 故选：B． 2．A 解：由图象得出小强步行米，需要分钟， 所以小强的运动速度为：分， 当第分钟时，小林运动分钟， 运动距离为：， 小林的运动速度为：分， 故正确； 当第分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故正确； 此时小林运动分钟， 运动总距离为：， 小强运动时间为：分钟， 小强出发分钟时到达少年宫，故错误； 由知小林先到达少年宫，故错误； 综上，正确的结论有， 故选：A． 3．C 解：由图象可知，两车通过弧时每段所用时间均为通过直行道时，每段用时为 因此，甲车所用时间为故A正确； 根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走弧长之和，用时为则走故B正确； 根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C错误； 根据题意立交桥总长为D正确； 故选：C． 二．填空题 【★考点16】求一个数的近似数 1．③ 解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确； ②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确； ③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误； ④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确． 故说法错误的有③． 故答案为：③ 2． 解：24986精确到1000人，即精确到千位．百位上的数字是9，，因此向千位进1，千位4变为5，后面各位变为0，故近似数为25000． ； 故答案为：． 3． 解：9360000精确到十万位，十万位为3，万位为6，，向十万位进位，3变为4，故近似数为9400000，科学记数法表示为， 故答案为：． 【★考点17】实数的大小比较 1． 解：因为， 所以． 故答案为：． 2． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3． 解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：；． 【★考点18】实数与数轴 1．3 解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为：3． 2． 解：因为正方形的面积是， 所以正方形的边长为， 因为， 所以． 则边长在数轴上所对应的点的位置可能在点处． 故答案为：． 3． 解：设点M表示的实数为a，则点M到原点的距离为，根据题意， ， 解得． ∴点M表示的实数为． 故答案为：． 【★考点19】坐标与图形变化 —— 轴对称 1．2 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：2． 2． 解：由题意得B、C关于直线l对称， ∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点，， ∴线段的中点的坐标为， 则点C的横坐标为，点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 3． 解：点关于x轴对称的点Q的坐标是． 故答案为：． 【★考点20】等边三角形的性质 1． 解：∵，， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 2． 解：∵∆ABC是等边三角形，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3． 解：∵等边∆ABC的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将∆ADE沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 【★考点21】全等三角形的判定 1． 解：依题意，还要添加条件， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 2．第2块 解：只有第2块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合． ∴应带去的一块是第2块， 故答案为：第2块． 3． 解：由作图可知：， ∴； 故答案为： 【★★考点22】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．或 解：当时，随的增大而增大，在处取得最大值， 代入得，解得； 当时，随的增大而减小，在处取得最大值， 代入得，解得． 故答案为：或． 2． 解：根据性质，得，解得； 根据函数图像与轴的交点在轴下方，得， 解得， 故m的取值范围为， 故答案为：． 3．5或 解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为5或． 故答案为：5或． 【★★考点23】等腰三角形 “三线合一” 性质应用 1． 解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．2 解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为2． 3．2 解：连接，如图： 以为圆心，为半径画弧，交于点． ， ∴是等腰三角形， 是的中点， ， ∵N是的中点，， ． 故答案为：． 【★★考点24】用勾股定理解三角形 1． 解：设，由，可知， 在中，， 在中，， 故， 解得，即． 故答案为：． 2．米 解：电线杆、铁丝与地面构成直角三角形， 直角边（电线杆高度）：米， 斜边（铁丝长度）：米， 设单侧固定点到电线杆的距离米，则： ， ， 解得（米）， 故两个固定点之间的距离为：（米）． 故答案为：米． 3．24 如图所示，过点A作于点E， 过点D作于点F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴点D到的距离为24． 故答案为：24． 【★★考点25】线段垂直平分线的性质 1． 解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 2．14 解：由作图痕迹可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 3．9 解：连接，过点E作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为9． 【★★考点26】根据两条直线的交点求不等式的解集 1． 解：由图象得，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 2． 解：由图像可得，当时，的图像在的图像的下方， 关于的不等式的解集为． 故答案为：． 3．6（答案不唯一，大于5均可） 解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 【★★考点27】已知点所在的象限求参数 1． 解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得； 故答案为：． 2． ∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， 且此函数的图象不经过第二象限， ，且， 解得． 故答案为：． 3． 解：∵一次函数的图像不经过第四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 【★★考点28】比较一次函数值的大小 1． 解：∵一次函数中，， ∴函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 2．< 解：∵一次函数中， ∴函数值y随x增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 3． 解：∵，   ∴， ∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小. ∵, ∴. 故答案为：. 【★★考点29】利用算术平方根的非负性解题 1．6 解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：6． 2．0 解：∵被开方数，且， ∴， ∴，即， 代入原式得， ∴， ∵的平方根等于它本身， ∴， 则， 故答案为：． 3．15 解：∵，，且， ∴，， 解得，． 当腰长为6，底边长为3时，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为； 当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6，但，不满足三角形三边关系，故不成立． 因此，等腰三角形的周长为15． 故答案为：15． 【★★考点30】勾股树（数）问题 1．37 解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 2． 解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 3． 解：∵， ∴， ∴为奇数，且为完全平方数， ∵， ∴， ∴为以内的数，有：，共7个； ∴共有组这样的“完美勾股数”； 故答案为：． 【★★★考点31】勾股定理与折叠问题 1． 解：如图，延长交于点， 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2． 解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 3．7或 解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 【★★★考点32】以直角三角形三边为边长的图形面积计算 1． 解：在 中，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 2． 解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： 3．5 解：设中间正方形为E， 由勾股定理可知：，， ∴， 正方形、、的面积依次为、、， ∴， 故答案为：5． 【★★★考点33】一次函数与几何综合 1．或 解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴， ∴． 分两种情形， ①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴()． ∴． ∴． ∴． 又∵， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴此时直线解析式为； ②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E， 同理可得． 又∵， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴此时直线BC为． 综上，直线为或． 故答案为：或． 2． 解：作出图象，如图： 图中实线部分为函数y的图象． 与的交点A： 解方程，得，对应． 与的交点： 解方程，得，对应． 当时，是三个函数中的最大值； 当时，是三个函数中的最大值； 当时，是三个函数中的最大值． 则当时，函数y的最小值为． 故答案为：． 3． 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为． 故答案为：． 【★★★考点34】轴对称综合题（几何变换）、最短路径问题 1． 解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是∆ABC的高时， 故答案为：． 2． 解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3． 解：如图，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接， ∵点A的坐标为， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题 【★考点35】实数的混合运算 1．（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵b是的整数部分， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根为． 2．（1）解： （2）解： 解得． 3．（1）解： ； （2）解： ． 【★考点36】画轴对称图形、格点图中画等腰三角形 1．（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于P，点P即为所求； 由网格的特点和图形可得点P的坐标为． 2．（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，∆ABC即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求，则． 3．（1）解：如图所示，∆ABC即为所求（画出其中一个即可）； （2）解：如图所示，即为所求； 【★考点37】全等的性质与判定简单综合 1．（1）解：如图所示： ， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， 又， ． 2．（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）解：由（）得：， ∴， ∵，， ∴． 3．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，点是中点， ∴， 在中，， ∵DE=AF， ∴， ∵， ∴， ∴． 【★考点38】求一次函数解析式 1．（1）解：设一次函数解析式为， 把，；，分别代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 即自变量x的取值范围为． 2．解：设直线的函数表达式为． 因为直线经过点，所以． 因为直线与轴正半轴交于点， 所以，解得， 所以直线的函数表达式为． 3．（1）解：∵，点A关于y轴的对称点为点C， ∴ （2）解：设B、C两点的函数表达式为， 则， 解得， ∴过B、C两点的函数表达式为． 【★★考点39】等边对等角与尺规作图综合 1．（1）解：如图所示，直线就是所求． （2）解：连接， 因为，且， 所以， 因为是线段的垂直平分线，， 所以， 所以， 则， 在中，， 所以． 2．（1）如图所示： （2）， ， ， ． 故答案为：． 3．（1）解：图形如图所示： （2）∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【★★考点40】角平分线的性质定理与角平分线性质综合 1．（1）解：如图，即为所求． 过作交于， 平分，且， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又 ， 解得， 所以； （2）解：①如图，折痕即为所求； ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 所以的周长为10． 2．（1）解：如图，射线即为所求． （2）由（1）可知点E到的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． （3）如图，即为所求． （4）点D为边的中点，∆ABC的面积是20， ， ， ， 故答案为： 3．（1）解：如图，直线，点O即为所求；    （2）解：过点O作于点H． ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【★★考点41】一次函数图象与形面积 1．（1）解：设此一次函数解析式为， ∵一次函数的图象经过点， ， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：当时，， 解得； 与x轴的交点坐标， 当时，． 与y轴的交点坐标． 一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是． 2．（1）把代入得，， 解得， 点的坐标为 把，点坐标代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）在中，； 当时，， ， ， ， ， ， 点在轴上， ， ， ， 或； （3）直线经过点， 把点的坐标代入得，， 解得， 若直线与的三边有两个公共点，则，即 3．（1）解：将点代入，得， 解得， ， 将点代入，得， 解得， ； （2）在中，令，得， 解得， ， 在中，令，得， 解得， ； （3）由函数图象可知：当时，，当时，， 所以当时，． 【★★★考点42】全等三角形综合问题（多步证明、辅助线构造） 1．（1）解：∵， ， 在与∆ADE中，， ∴ ； （2）解：连接, ， ， 在∆ABC与中， ∴， ， ∵， ， ∴， ． 2．（1）证明：在和中， ， ； （2）解：与成轴对称． 如图，分别延长相交于点，作直线， 则直线即为所求． 【★★★考点43】斜边的中线等于斜边的一半性质综合应用 1．（1）解：∵是边上的高线， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2）证明：连结，如图所示： ∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴．（等腰三角形三线合一） 2．（1）①证明：连接， 是线段的中点， ，， ， ∵N是的中点， ； ②解：由条件可知， ，， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接， 由条件可知， ，， ，， ， ，是的中点， ． 3．（1）证明：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴为等边三角形． 【★★★考点44】等腰三角形的性质和判定综合题 1．（1）证明：∵等边三角形， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∆ABC为等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． （2）成立理由如下： ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． ∵∆ABC是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 3．（1）解：点O是线段的中点， ， ， ， 在∆AOB与中， ， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）证明：是等边三角形，∆ABC是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，作交于点E，则，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形； ，， ， 在和中， ， ， ， 的度数是． 【★★★考点45】三角形、四边形折叠问题 1．（1）解：如图：即为所求． （2）解：在中，， ∴， ∵∆AC/D是由沿翻折得到的， ∴， ∴． 设，则 在中，， ∴，即，解得：，即． 在中，． 2．（1）解：如图所示，点N和点M即为所求； 以点C为圆心，长为半径画弧交于M，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求； （2）解：如上图所示，连接， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 3．（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 【★★★考点46】一次函数的实际应用 1．（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元， 根据题意，得，解得． 答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元； （2）①设购买普通练习本本，则购买精装练习本本． 根据题意，得； ∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍． ∴，解得． 综上，关于的函数关系式为，自变量x的取值范围为； ②∵中，， ∴随的增大而减小． ∴当时，取最大值， （本），（元）． 答：当购买本普通练习本，本精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元． 2．（1）解：该新能源汽车的行驶速度为， 与x的函数关系式为， 故答案为：； （2）该新能源汽车的功率为， 与x的函数关系式为 由题意，电量，即， ， ； （3）当时，即， 解得， 当时，． 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为． 3．（1）解： =； （2）解：根据题意得，， ， ∵， ∴， ∴有3种不同的调运方案， 第一种方案：从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台； 第二种方案：从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台； 第三种方案：从A城调往C城台，调往D城0台，从B城调往C城4台，调往D城台； （3）解： =， ①当时，， 当时，元， 此时，从A城调往C城台，调往D城台，从B城调往C城台，调往D城台； ②当时，元， ∴各种方案费用一样多， ③当时，，， ∴ 当时，（元），利润最小， 此时从A城调往C城台，调往D城0台，从B城调往C城4台，调往D城台． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质． 【★★★考点47】一次函数与几何综合 1．（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， 一次函数为， 一次函数经过点， ， ， 一次函数为； （2）解：由题意得 在一次函数中， 当时，， 当时，， ， 图象与轴、轴的交点的坐标分别为，； （3）解：设， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ，或． 2．（1）解：将点、代入， 得， 解得， 直线的表达式． （2）令，则， ， ，且点在轴正半轴上， ， ， ， 设点的坐标为， 如图①，过点作轴的垂线交轴于点， 则， ， 即， 解得：， 点的坐标为． （3）由在、在，且轴， 设直线的表达式为， 将点、代入， 得， 解得， 直线的表达式． 设，， ∵轴，且N在上， ∴将代入，得， 解得， ∴点N的坐标是， ∴ ①如图，当点M为直角顶点时，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标是； ②当点N为直角顶点时，如图，且， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标是； ③当点N为直角顶点时，如图，且， 作于点Q，则为的中点，且， ∴， 解得：， ∴点P的横坐标为， 点坐标为：； 综上，点P的坐标是或或． 3．（1）解：将点代入： 代入得：； 代入得：，解得． 故直线AB的解析式为：； （2）解：∆AOB的面积为：． 直线OC将其分为两部分，即两部分面积分别为2和4． 设，分两种情况： 情况1： 解得，对应，即． 情况2： ，同理解得，对应，即． 故点C坐标：或； （3）解：∆AOB是直角三角形（直角在O），边长为， 中，D在y轴上，故是y轴上的线段，需使为直角三角形（与∆AOB全等），分两种直角位置讨论： 情况1：直角在点（轴） 此时， 则， ∴，， ∵，符合题意， 故； 情况2：直角在点 此时，， 则， 则或． 设，则，解得， 当时，，即，此时应该为， 则，符合题意； 同理，当时，，， 则，符合题意； ∴C为或； 综上所述，满足条件的C点有，，． 【★★★考点48】一次函数与几何动点问题 1．（1）解：当时，直线， 当时，直线，解得：， ， ， 故答案为：；． （2）解：过点作交于点，交轴于点，且， ，， ， 设过点，，直线的解析式为：， 则：解得：， 直线的解析式为：， 、交于点， 解得：， ， 故答案为：；． （3）解：①， ，， ，， ， ， ， ， ，即线段与线段数量关系，保持不变， ②， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，，， ，， ， ∴为定值， ， ∴要使最大，求最小即可， ， ∴当取最小值时，最小， ，，， ∴CE===5， 当时，取最小值， ，即：，解得：， 面积最小为， ， 故答案为：①相等，不变，见解析；②，． 2．（1）解：∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2），，，          （3）设动点在轴上时： ①∵      ∴ ∴ ∴ ②∵       ∴ ∴          ∴ 设动点在轴上时： ③∵      ∴ ∴ ∴ ④∵       ∴ ∴ ∴          ∴           综上所述：点的坐标 3．（1）解：把代入直线得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∵OA=8，，，， ，， ， 四边形面积为定值， ， 要使面积最大，求面积最小即可， ， 当取最小值时，面积最小， ，，， ， 当时，取最小值， ， 即，面积最小为， 则面积， 即面积最大为． 学科网（北京）股份有限公司 $