相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点目录 相似三角形性质的应用 相似三角形的判定与性质综合 考点一 相似三角形性质的应用 例1.(25-26九年级上广东佛山期末)在ABC中，D、E分别在AB、AC且DE∥BC，,若AD=2,BD=3, 则E的值为() BC A司 C. 3 D. 3 2 【答案】B 【详解】解：如图， D E AD=2,BD=3, AB=AD+BD=2+3=5 .DE l BC, △ADE∽△ABC, DE AD 2 BC=AB=5' 故选B. 例2.(24-25九年级上·湖南衡阳·期末)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于 点H,若AB=9,CE=3,则DH的长为() D H G F B E A.2 B.3 C. 5 D. 9 2 【答案】D 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 【详解】解：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上， AB=BC=CD=9,CE=CG=GF=3,AD∥BC,GF∥CE, :DG=CD-CG=9-3=6,AD//GF, △ADHn△FGH, DH AD 9 GH GF-3-3. DH=3, 6-DH 故选：D 例3.(25-26九年级上·上海徐汇月考)如图，若在ABC中，AB=AC=3,D是边AC上一点，且BD=BC=2, 则线段AD的长为 【答】 【详解】解：AB=AC=3,BD=BC=2, ∠ABC=∠ACB,∠BDC=∠ACB, .∠ABC=∠BDC, 又~∠C=∠C(公共角)， AABC∽△BDC, AC BC BC DC 即32 2DC 解得DC=4」 Γ3 “AD=AC-DC=3-3=3, 例4.(2026上海长宁.一模)如果两个相似三角形的面积比为0.25，那么它们的周长之比为 【答案】1：2 【详解】解：“两个相似三角形的面积比为025，即子： 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 相似比为子2 11 周长比为)，即12. 故答案为：12 变式1.25-26九年级上北京平谷期未)如图，ABC中，DE∥BC,AD=3,BD=1,则氵匹的值是() S。ABC B.3 c D. 6 【答案】D 【详解】解：AD=3,BD=1, ·AB=AD+BD=4, DE∥BC, ·∠ADE=∠B,∠AED=∠C AADE∽△ABC, 0- 9 SABC 故选：D. 变式2.(25-26九年级上·浙江嘉兴·月考)如图，G是ABC的重心，D是边AC的中点，过点G作GE∥AC交 BC于点E,过点D作DF∥BC交EG的延长线于点F,若四边形CDFE的面积为12，则ABC的面积为() D B E A.28 B.32 C.36 D.40 【答案】C 【详解】解：连接BD, 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 B ~点G是ABC的重心，点D是边AC的中点， 点G在线段0上，船子， GE∥AC, .△BGE∽△BDC, Q△BGE与△BDC的相似比为？ 设△BGE的高为h, :80C的高为，年BC的高为h, 四边形CDFE底边CD的高为三h, ~四边形CDFE的面积为12， CD=24 3, 124.3 aBDC的面积为2×CDx之h= ×2h=18, 2 2h2 点D是边AC的中点， ·.ABC的面积为36， 故选：C. 变式3.(25-26九年级上·上海青浦·期末)如图，正方形DEFG的顶点均在ABC的边上，BC=6,DE=2,BC 边上的高的长为 【答案】3 【详解】解：设BC边上的高为h ~正方形DEFG的边DG∥BC, ∴.△ADG∽△ABC. DG=DE=2,BC=6,△ADG的高为h-2, 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 -8股-名解将=3 经检验，h=3是原分式方程的解. 故答案为：3 变式4.(25-26九年级上四川成都月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E是 BA延长线上的一点，连接OE交AD于点F.已知AE=3,AF=2,AB=4,则BC的长为一 【答案】20 【详解】解：如图，延长EO交BC于点G, F D 0 G ~四边形ABCD是平行四边形，AE=3,AF=2,AB=4, ∴0A=OC,AD∥BC, ∠EAF=∠EBG,∠EFA=∠EGB, ∴△EAFn△EBG, EA AF 即EA·BG=AF·EB, EB BG ÷BG=4F.EB=2×3+414 EA 3 3 AD∥BC, LGC0=∠FA0,∠CG0=∠AF0, △CG0m△AF0, CG CO A0 =1, AF A0A0 ∴CG=AF=2, 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 :BC=BG+CG=14+2=20 3 3 即BC的长为3 0 20 故答案为： 3 6 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点二 相似三角形的判定与性质综合 例1.(2526九年级上浙江杭州月考)如图，在ABC中，AC=2,BC=3,∠C=60°，D为AB边上一点，过 点D作BC的平行线交AC于点E,过点E作AB的平行线交BC于点F. D (I)求证：△ADEn△EFC; (2)若DE:CF=2:3,求ADE与ABC的面积比 【答案】(1)证明见解析； (2)ADE与ABC的面积比为4：25. 【详解】(1)解：~DE∥BC, ∠ADE=∠ABC. 在ADE和ABC中， ∠A=∠A ∠ADE=∠ABC' AADE∽AABC. 同理： AB∥EF, ∠EFC=∠ABC. 在△EFC和ABC中， ∠C=∠C ∠EFC=∠ABC' AEFC∽△ABC. △ADE∽△EFC. (2)DE∥BC,AB∥EF, 四边形BDEF为平行四边形， :.DE BF. DE:CF=2:3, ∴设DE=2x,CF=3x, 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 ∴BC=BF+CF=DE+CF=5x. 由(1)得△ADE∽△ABC, SABC ADE与ABC的面积比为4：25. 例2.(25-26九年级上甘肃兰州期末)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE,DE,F是 DE延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB于点G. E G (1)判断△FBG的形状，并说明理由； (②)若正方形ABCD的边长为4，G为AB的中点，求AF的长. 【答案】(I)△FBG为等腰三角形，理由见解析 (2)√13 【详解】(1)解：△FBG为等腰三角形，理由如下： ~四边形ABCD是正方形，E为对角线AC上一点， AB=AD,∠BAE=∠DAE,∠BAD=90°， AE=AE, ∴△ABE≌△ADE(SAS), ∠ABE=∠ADE, FB⊥BE, ∠EBF=90°， ∠FBG+∠ABE=90°， ∠BAD=90°， ∠AGD+∠ADE=90°， ∠FBG=∠AGD, 又∠FGB=∠AGD, ∴.∠FBG=∠FGB, 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 2.FB=FG, ∴△FBG为等腰三角形： (2)解：过点F作FH⊥AB于H,则∠FHG=∠DAG=90°， D ~FB=FG,G为AB中点，正方形的边长为4， *BH=GH=IBG=1AB-1x4=1,AG=1AB=2, 2 4 4 2 AH=AB-BH=4-1=3, ~∠FHG=∠DAG=90°，LFGH=∠DGA, aFHG∽△DAG, .FH HG DA AG' 即H、1 4=2' 解得FH=2, 六AF=VFH2+AH2=V22+32=√3. 例3.(2026上海长宁.一模)己知，如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=m,BC=n, AC=√mn.其中n>m. A (I)求证：△ACD∽△CBA. (2)如果S题边形4BcD:S4c=3:2,求证：BC=2AD. 【答案】()见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：AD=m,BC=n,AC=√mn, 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 :.AD mm Ac mn m AC mnn BC nn AD AC “ACBC 又∠ADC=LBAC=90°， △ACD∽△CBA; (2)证明：~S四边形BcD:S。4Bc=3:2, S.ACD.=1 “S.c2' △ACD∽△CBA, .AD AC AC BC' 2.AD2 1 AC2=2' AD=m,BC=n,AC=√mn, m21 mn2’ .n=2m, :.BC=2AD 例4.(25-26九年级上·上海青浦·期末)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，BE、CD的延长线交于点F,连接 CE,已知CE2=DE·BC. (I)求证：△ABE∽△EFC: (2)求证：CE·CF=EF·AD. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ..ABI CD,ADI BC, LDEC=∠BCE, .CE2=DEBC, 10相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点目录 相似三角形性质的应用 相似三角形的判定与性质综合 考点一 相似三角形性质的应用 例1.(25-26九年级上广东佛山期末)在ABC中，D、E分别在AB、AC且DE∥BC，,若AD=2,BD=3, 则E的值为() BC B. 5 C. D. 3 例2.(24-25九年级上·湖南衡阳期末)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于 点H,若AB=9,CE=3,则DH的长为() A D H G F B A.2 B.3 C. 2 D 9-2 例3.(25-26九年级上上海徐汇月考)如图，若在ABC中，AB=AC=3,D是边AC上一点，且BD=BC=2, 则线段AD的长为一 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 例4.(2026上海长宁.一模)如果两个相似三角形的面积比为0.25，那么它们的周长之比为 变式1.(25-26九年级上北京平谷期末)如图，ABC中，DE∥BC,4D=3,BD=1,则令匹的值是（) S ABC E 3 A. B.3 c D.6 变式2.(25-26九年级上·浙江嘉兴·月考)如图，G是ABC的重心，D是边AC的中点，过点G作GE∥AC交 BC于点E,过点D作DF∥BC交EG的延长线于点F,若四边形CDFE的面积为12，则ABC的面积为() D G B E A.28 B.32 C.36 D.40 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 变式3.(25-26九年级上·上海青浦·期末)如图，正方形DEFG的顶点均在ABC的边上，BC=6,DE=2,BC 边上的高的长为 变式4.(25-26九年级上·四川成都月考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，点E是 BA延长线上的一点，连接OE交AD于点F,已知AE=3,AF=2,AB=4,则BC的长为一 0 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 考点二 相似三角形的判定与性质综合 例1.(2526九年级上浙江杭州月考)如图，在ABC中，AC=2,BC=3,∠C=60°，D为AB边上一点，过 点D作BC的平行线交AC于点E,过点E作AB的平行线交BC于点F, D F (I)求证：△ADE∽△EFC; (2)若DE:CF=2:3,求ADE与ABC的面积比. 例2.(25-26九年级上甘肃兰州期末)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE,DE,F是 DE延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB于点G. E G (1)判断△FBG的形状，并说明理由： (2)若正方形ABCD的边长为4，G为AB的中点，求AF的长. 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 例3.(2026上海长宁.一模)已知，如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=m,BC=n, AC=√mn.其中n>m. A (I)求证：△ACD∽△CBA. (2)如果S四边形4BcD:S。4Bc=3:2,求证：BC=2AD. 例4.(25-26九年级上·上海青浦期末)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，BE、CD的延长线交于点F,连接 CE,已知CE2=DE·BC. B (I)求证：△ABE∽△EFC; (②)求证：CE·CF=EF·AD. 5 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 变式1.(25-26九年级上·浙江台州期末)如图，ABC中，∠ACB=1209,边AB上有两点D,E,满足△CDE是等 边三角形. D E B (I)求证：△ACD∽△CBE; (2)如果AD=3,BE=4,求DE的长. 变式2.(25-26九年级上·浙江嘉兴月考)己知在四边形ABCD中，AD∥BC,E是对角线BD上一点，且 ∠AEB+∠C=180°. 刀 E B C (I)求证：△ADE∽△DBC; (2)若E是BD的中点，AD=5,BD=6,求BC的长. 6 相似三角形性质的应用、相似三角形的判定与性质综合专项训练 变式3.(25-26九年级上宁夏银川期末)如图，正方形ABCD中，AB=9,E是BC上一点，过E作EF⊥AE交 CD于点F,连接AF. D E (I)证明：△ABE∽△ECF; (2)当BE=5时，求CF的长. 变式4.(25-26九年级上·贵州铜仁月考)如图，矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻 折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G,PG交BC于H. A------- D B G (I)求证：△EDP~△PCH: (2)若P为CD中点，且AB=6,BC=9,求PH长.