圆锥曲线：面积问题、定点问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：面积问题、定点问题专项训练 圆锥曲线：面积问题、定点问题专项训练 考点目录 面积问题 定点问题 考点一 面积问题 例1．（2026·河北沧州·模拟预测）将抛物线向左平移1个单位得到曲线，过原点作直线与交于不同的两点，设中点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设圆与轴分别交于点，（在的左侧），与在第一象限的交点为，若直线与分别交于点，直线与直线相交于点． ①求证：； ②求面积的最小值． 例2．（25-26高三上·河南·期末）已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. (1)求该动圆圆心的轨迹方程； (2)设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 例3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 例4．（25-26高二上·湖南·月考）已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点. （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线过定点. 变式1．（25-26高二上·福建三明·期中）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 变式2．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆的一个焦点为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为． (1)求椭圆方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（点A在点B左侧），点A关于轴的对称点为C，求面积的取值范围． 变式3．（25-26高二上·青海海东·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，其实轴长为，焦距为8. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与的右支交于，两点，与的两条渐近线交于，两点，，均在第一象限. （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）求面积的取值范围. 变式4．（25-26高三上·广西柳州·月考）如图，已知椭圆：的右焦点为，过P的动直线与交于P，Q两点，且当轴时，.      (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)若P在x轴上方，直线与圆E：交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为4:9?若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由. 考点二 定点问题 例1．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知双曲线C过点，且渐近线方程为，抛物线（）的焦点F与双曲线C的顶点重合，动直线l与抛物线D交于点M，N，与x轴交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，若，试探究点Q是否为定点，如果是，求出点Q的坐标；如果不是，请说明理由. 例2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，过点的直线交的轨迹于点，点关于轴的对称点为，其中直线与轴不垂直． (1)求点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 例3．（2026·重庆·一模）已知抛物线，与直线交于，两点（O为坐标原点），且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，为抛物线上任意两点，且满足，证明:直线经过一个定点，并求出该定点坐标. 例4．（25-26高二上·吉林·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离. (1)求椭圆的方程和面积； (2)若直线交椭圆于，两点（、均不与点重合），且以，为直径的圆过点，证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 变式1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点在的右支上，且，直线不过点，与交于两点. (1)求的方程； (2)①若，求直线的方程； ②经过三点的动圆是否过异于的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知直线与抛物线C：交于A，B两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若M，N为C上不同的两点，且，判断直线是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 变式3．（25-26高二上·山东烟台·期末）过抛物线的顶点O，作两条直线交抛物线于异于点O的两点A，B (1)当，互相垂直时，求证：直线过定点． (2)当斜率之积为定值s时，求证：直线过定点． (3)当斜率之和为定值时，求证：直线过定点． 变式4．（25-26高二上·山东日照·月考）已知，点是动点，直线AP与直线BP的斜率之积为， (1)求点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于M、N两点. ①求面积的最大值； ②直线分别与直线AM、AN交于点E、G，以EG为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：面积问题、定点问题专项训练 圆锥曲线：面积问题、定点问题专项训练 考点目录 面积问题 定点问题 考点一 面积问题 例1．（2026·河北沧州·模拟预测）将抛物线向左平移1个单位得到曲线，过原点作直线与交于不同的两点，设中点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设圆与轴分别交于点，（在的左侧），与在第一象限的交点为，若直线与分别交于点，直线与直线相交于点． ①求证：； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②16 【详解】（1）由已知得，的方程为， 由题得直线的斜率不为零，设的方程为， 由，消去得，， 设，，中点的坐标为，所以， 则，， 消去得，所以的方程为． （2）①由已知得，的焦点为，准线方程为， 设，则， 所以圆的方程为，所以，， 设直线的方程为， 由，可得，， 则，又因为，所以， 又直线的方程为， 由，可得，所以， 又，所以， 过点作，垂足为，则． 则直线的方程为， 又直线的方程为，联立可得点， 所以，， 所以， 由相似三角形性质可得． ②由①得， 因为，， 所以，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为16． 例2．（25-26高三上·河南·期末）已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. (1)求该动圆圆心的轨迹方程； (2)设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设动圆的半径为. 由题意，圆与圆的标准方程分别为和， 故，半径，，半径， 由题意得，， 故， 由椭圆的定义，得圆心的轨迹是焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆. ，，故， 故圆心的轨迹方程为. （2）    由（1）知，曲线即椭圆. 由题意，点，是椭圆的左、右顶点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，且， 直线的方程为，则 设， 由消去，整理得. 由题意得，故， 故， 又点到直线的距离， 故 又， 由题意，化简得， 解得或 当时，，则； 当时，，则. 综上，的值为或. 例3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题可知，点P到点的距离与到的距离相等， 所以曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为． （2）①设， 由题意可知的斜率不为0，设直线的方程为， 联立得，消去，得， 显然，所以， 直线的方程为，联立得， 消去，得，整理得， 则是方程的两根，， 所以，所以，同理可得， ， 因为，所以 ②由①知的方程为：，所以， 所以， 令，则， 所以过定点． 所以 ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 例4．（25-26高二上·湖南·月考）已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点. （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线过定点. 【答案】(1). (2)（i）2；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为. 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）如图，由（1）可知. 由题可知直线的斜率存在，设直线， 联立直线与椭圆的方程，即，消去，可得， 则，由，可得，异号， 所以 ， 当且仅当，即时“”成立. 又的面积， 所以的面积， 即面积的最大值为2. （ii）由上知直线， 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，可得. 因为，所以， 设，则， 又，所以， 即. 同理可得. 直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，可得， 所以，则. 直线的方程为， 由对称性可知：若直线过定点，则定点必在轴上. 令，得 ，（将代入即可） 所以直线过定点. 变式1．（25-26高二上·福建三明·期中）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）如图，连接，作出符合题意的图形， 由题意得为等边三角形，可知，， 则，可得，得到， 于是， 故椭圆的离心率为. （2）设满足条件的点到的距离， 而，则， ，， ， 整理得，即，记为①式， 又，，记为②式， 联立①②得，，而，， 由于，即，， 当时，， 当时，， 要使方程在上有解，则方程，解得， 所以的取值范围. 变式2．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆的一个焦点为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为． (1)求椭圆方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（点A在点B左侧），点A关于轴的对称点为C，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，得， 则，而此椭圆一个焦点为，则， 所以椭圆方程为. （2）直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，， ， 而，， 因此， 函数在上单调递增，则， 因此，即， 所以面积的取值范围是.    变式3．（25-26高二上·青海海东·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，其实轴长为，焦距为8. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与的右支交于，两点，与的两条渐近线交于，两点，，均在第一象限. （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【详解】（1）由于双曲线：的实轴长为，焦距为8. 所以，所以， 那么. 所以的标准方程为. （2）（i）当直线的斜率不存在时，其方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，联立直线与渐近线方程得. 所以，因为双曲线的焦点坐标为， 所以，此时不满足题意，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，与双曲线的渐近线方程联立得和， 解得和，所以. 因为，所以即，解得. 所以直线的方程为，即. （ii）当直线的斜率不存在时，其方程为，代入双曲线方程中得. 所以，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线方程联立得. 判别式，. 设，则. 由于，所以或. 所以令，由于，所以. 所以， 所以. 综上，所以面积的取值范围为.    变式4．（25-26高三上·广西柳州·月考）如图，已知椭圆：的右焦点为，过P的动直线与交于P，Q两点，且当轴时，.      (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)若P在x轴上方，直线与圆E：交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为4:9?若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，理由见解析. 【详解】（1）因为当轴时，， 所以点在椭圆上，则，又， 联立解得，所以椭圆的方程是. （2）当的斜率为零时，为椭圆长轴端点，， 则. 当的斜率不为零时，设的方程为， 由消去得， ， 所以， 而，则， 因此，而共线，即， 由. （3）依题意，，而， 因为圆E：的圆心为，恰好为该椭圆的左焦点， 该圆的半径为，所以， ， 同理， 而，同理可得， 由（2）知，， 则 ， 于是，， 因此， 整理得，解得，或不符合题意， 因为点P在x轴上方，所以， 所以 ， 所以存在满足题意.    考点二 定点问题 例1．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知双曲线C过点，且渐近线方程为，抛物线（）的焦点F与双曲线C的顶点重合，动直线l与抛物线D交于点M，N，与x轴交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，若，试探究点Q是否为定点，如果是，求出点Q的坐标；如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）渐近线方程为， 设双曲线的方程为， 将点代入得：，解得， 故双曲线C的方程为，即. （2） 双曲线的顶点为，抛物线的焦点为， 由题意得，解得，故抛物线的方程为. 设点坐标为，动直线的直线方程为， 代入抛物线方程得， 整理得到， 设，由韦达定理得， 由，，知直线与的斜率互为相反数， 即：，将代入 得到，整理得到， 即， 即，代入， 得到，解得， 因为为任意实数，所以，解得， 即点为定点. 例2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等，过点的直线交的轨迹于点，点关于轴的对称点为，其中直线与轴不垂直． (1)求点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【详解】（1）由已知条件知，点到点的距离与到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知点的轨迹为以点为焦点，为准线的抛物线． 设抛物线的方程为，则，得， 所以点的轨迹方程． （2）设直线的方程为，则． 由消去得，由韦达定理得． 直线的方程为， 化简、整理得． 又，所以直线的方程为． 所以直线经过定点． 例3．（2026·重庆·一模）已知抛物线，与直线交于，两点（O为坐标原点），且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，为抛物线上任意两点，且满足，证明:直线经过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明详见解析； 【详解】（1）抛物线 与直线 交于 和 两点， 联立方程：，得 ，即 ，解得 或 ， 因此 点坐标为 ， 由两点间距离公式： 解得 ， 故抛物线 的标准方程为：. （2）由 (1) 知抛物线方程为 ，点 坐标为 ， 设直线 的方程为 ， 代入 得： 设 ， ，则 由 ，得 将 ， 与代入，整理得 ， 因式分解得：， 解得 或 ， 当 时，直线 方程为 ，即 ， 过定点 （即点 ），此时 或 与 重合，不符合题意； 当 时，直线 方程为 ， 即 ，过定点 . 因此，直线 恒过定点 .    例4．（25-26高二上·吉林·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离. (1)求椭圆的方程和面积； (2)若直线交椭圆于，两点（、均不与点重合），且以，为直径的圆过点，证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)， (2)，证明见解析. 【详解】（1）已知离心率，故； 由椭圆关系，得，即； 右顶点、上顶点的距离， 代入，得，解得，则. 因此，椭圆方程为； 面积：. （2）设直线（斜率不存在时单独验证），、、， 将代入椭圆方程， 整理得：， 由韦达定理：，； 以为直径的圆过，故， 又，， 所以， 展开并代入、得， ， 将、代入整理得，， 因式分解得，即或. 若，直线为，过（此时P或Q与A重合，舍去）； 若，直线为，恒过点.    当斜率不存在时，设直线，代入椭圆得， 由，、 得解得或（P、Q、A三点重合，舍去）， 所以直线过点.    综上，直线l过定点. 变式1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点在的右支上，且，直线不过点，与交于两点. (1)求的方程； (2)①若，求直线的方程； ②经过三点的动圆是否过异于的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在，. 【详解】（1）设，双曲线左顶点，所以， 右焦点，因为，所以，代入双曲线方程，则，所以， 又因为，所以， 又因为，解得， 所以双曲线的方程为； （2）设，将代入双曲线方程， 化简得则恒成立. 且 ①由，得，即， 则. 将（*）式代入得，， 化简得，所以或（舍）， 所以直线的方程为； ②设的中点为，由直线方程和，则， 则的中垂线方程为（i） 因为的中点为，所以的中垂线方程为， 因为，所以（ii）， 同理的中垂线方程为（iii）. 联立（ii）（iii）得，， 把（*）代入，代入（i），， 所以圆心，则圆心在定直线上， 由题可知关于直线的对称点一定在圆上. ， 所以经过三点的动圆过异于的定点. 变式2．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知直线与抛物线C：交于A，B两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若M，N为C上不同的两点，且，判断直线是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线过定点，定点坐标为. 【详解】（1）将直线变形得，与抛物线联立化简得 ，因为直线与抛物线C：交于A，B两点， 设，则根据韦达定理有. 因为，所以. 将代入化简得. 继续化简得，解得（舍去）或， 所以抛物线方程为. （2）直线过定点，理由如下： 当直线的斜率不存在时，则设直线的方程为， 那么，因为， 所以，解得，此时直线的方程为； 当直线的斜率存在时，则设直线的方程为， 联立该直线与抛物线方程得，化简得. 设，则根据韦达定理得. 因为，所以. 代入韦达定理得，化简得，可得，即. 此时直线的方程为，过定点. 综上，直线过定点，定点坐标为.    变式3．（25-26高二上·山东烟台·期末）过抛物线的顶点O，作两条直线交抛物线于异于点O的两点A，B (1)当，互相垂直时，求证：直线过定点． (2)当斜率之积为定值s时，求证：直线过定点． (3)当斜率之和为定值时，求证：直线过定点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，抛物线方程为：，设， ①直线斜率不存在时，设直线的方程为：，， 解得，，由，即，得， 此时直线恒过点； ②直线斜率存在时，设直线的方程为：， 与抛物线方程联立得，需满足， 则，，，， 由互相垂直得，，即，解得： 直线的方程为：，直线恒过点， 综上，直线恒过点； （2）①直线斜率不存在时，设直线的方程为：，， 将与抛物线联立，得：， 由，即，得，则直线恒过点 ②直线斜率存在时，设，，直线的方程为：， 与抛物线方程联立得，需满足， 则，，，， 由得，，，即，解得： 直线的方程为：，直线恒过点 综上，直线恒过点； （3）由题意知，，结合（2）可知直线斜率存在， 否则直线斜率不存在时，关于x轴对称，则，不符合题意； 设，，直线AB的方程为：， 与抛物线方程联立得， 且，，， 由得，即， 即，， 即，整理得：，即直线AB的方程为：， 直线AB恒过点. 变式4．（25-26高二上·山东日照·月考）已知，点是动点，直线AP与直线BP的斜率之积为， (1)求点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于M、N两点. ①求面积的最大值； ②直线分别与直线AM、AN交于点E、G，以EG为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是，定点为和. 【详解】（1）设，则，且 所以，整理可得， 即点的轨迹方程. （2）如下图所示：设直线方程为，    设， 联立可得可得， 则，所以. ①弦长， 点到直线的距离， 则， 令，函数在上单调递增，则， 即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，面积有最大值； ②直线AM的方程为，令，可得，即； 直线AN的方程为，令，可得，即； 所以 . 假设以EG为直径的圆过轴上的定点，则， 即，即可得，解得， 所以定点为和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $