圆的切线问题、弦长问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程：切线问题、弦长问题专项训练 圆的方程：切线问题、弦长问题专项训练 考点目录 切线问题 弦长问题 考点一 切线问题 例1．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 例2．（25-26高二上·重庆荣昌·月考）在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆相切的直线方程是或. 故选：D. 例3．（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为 ． 【答案】3 【详解】圆，即的圆心，半径， 点，， 所以所求切线长为. 故答案为：3 例4．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 【答案】 【详解】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 例5．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知圆M的圆心为，且圆M经过点. (1)求圆M的标准方程； (2)若过点的直线l与圆M相切，求l的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由条件得圆的半径为 故圆M的标准方程为 （2）如图： 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，故直线与圆M相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离等于， 即，解得， 故直线的方程为，即. 综上所述，直线l的方程为或. 例6．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii）或 【详解】（1）的标准方程为，故圆心为， ，故， 故 （2）（i）直线方程可化为， 故， ∴直线过定点. （ii）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得， 故方程为， 综上所述切线方程为：或. 变式1．（25-26高二上·山东·月考）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 变式2．（25-26高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】化为标准型为，圆心为，半径为； 由题意可知与圆相切，所以， 故选：D 变式3．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，，所以，在圆心为，半径为的圆上， 其方程为，所以与两边分别作差， 得，即直线的方程为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·江苏·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【详解】如图所示，根据题意，设的坐标为， 圆的圆心为，则，为圆的切线， 则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是， 故答案为：. 变式5．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2) (3)和 【详解】（1）因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为. （2）设圆心到的距离为，则， 所以. （3）当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 变式6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 考点二 弦长问题 例1．（25-26高三上·四川泸州·月考）若圆与直线交于、两点，则（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【详解】圆，半径，圆心为 ， 则圆心为到直线的距离为 ， 所以. 故选：C 例2．（25-26高三上·云南·月考）已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】在直线中，令，得，故，令，得，故， 所以， 圆心到直线的距离，所以， 由，得，化简得，解得. 故选：C. 例3．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将的方程转化为， 令解得，即过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值，. 所以的最小值为. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·北京·月考）直线与圆相交于两点，则 . 【答案】4 【详解】由圆，可知圆心，半径， 则：， 所以. 故答案为：4. 例5．（25-26高二上·四川凉山·期末）已知斜率为，经过点的直线l，交圆于两点． (1)求直线l的方程； (2)求AB的长度． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题可设直线的点斜式， 整理得直线. （2）由题可知，圆的圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 故弦长. 例6．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知点，圆的圆心在直线上，且与轴切于点， (1)求圆的方程； (2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，设圆心坐标为，则解得 所以圆心，半径. 故圆的方程为. （2）因为直线过点，当斜率存在时，设直线的斜率为， 则其方程为，即. 又圆的圆心为，半径，弦长为，故弦心距. 故，解得. 所以直线的方程为，即. 当的斜率不存在时，的方程为. 经验证，也满足条件. 故的方程为或.    变式1．（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的半径，由已知得，故， 所以，所以. 故选：D. 变式2．（25-26高二上·湖北孝感·月考）圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心， 半径，圆的圆心，半径， ，因此圆与圆相交，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：， 圆心到直线的距离， 因此所求弦长为. 故选：A 变式3．（24-25高二上·河北唐山·月考）已知O为原点，直线x+2y-3=0与圆C：交于P、Q两点．若求m的值 ． 【答案】1 【详解】 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以解得， 即的值为1， 故答案为：1 变式4．（25-26高二上·黑龙江·期末）直线：与圆：相交于点，，则 .过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【详解】圆的方程为：， 圆心，半径， 圆心，到直线：的距离为：， . 由切线性质,， 要使最小，需要最小， 点在轴上，设， ， 当时，取最小值3， . 故答案为：， 变式5．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知点P是椭圆上的动点，过点P作轴，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为C，O为坐标原点． (1)求C的方程； (2)已知直线与C交于A，B两点，若的面积为，求k的值． 【答案】(1) (2)或0或 【详解】（1）设点，，则． 由，，，得，． 将代入中，整理得； （2）设圆心到直线的距离为d． 则，所以． 的面积．解得或． 当时，，解得． 当时，，解得或． 综上所述，k的取值为或0或． 变式6．（25-26高二上·贵州黔东南·月考）已知圆，点. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求该直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 点到直线的距离为3，则直线可为过点与圆相切的直线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，得，即， 解得，切线方程为，所以切线方程为或. （2）由过点的直线与圆相交于两点，且，得点到直线的距离， 由（1）知，直线的斜率存在，设其方程为，即， 于是，即，整理得，解得或， 所以所求直线的方程为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆的方程：切线问题、弦长问题专项训练 圆的方程：切线问题、弦长问题专项训练 考点目录 切线问题 弦长问题 考点一 切线问题 例1．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·重庆荣昌·月考）在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 例3．（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为 ． 例4．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 例5．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知圆M的圆心为，且圆M经过点. (1)求圆M的标准方程； (2)若过点的直线l与圆M相切，求l的方程. 例6．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 变式1．（25-26高二上·山东·月考）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 变式3．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 . 变式4．（25-26高二上·江苏·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 变式5．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知圆经过坐标原点，且圆心为. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程. 变式6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程. 考点二 弦长问题 例1．（25-26高三上·四川泸州·月考）若圆与直线交于、两点，则（   ） A．1 B． C． D．4 例2．（25-26高三上·云南·月考）已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 例3．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 例4．（25-26高二上·北京·月考）直线与圆相交于两点，则 . 例5．（25-26高二上·四川凉山·期末）已知斜率为，经过点的直线l，交圆于两点． (1)求直线l的方程； (2)求AB的长度． 例6．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知点，圆的圆心在直线上，且与轴切于点， (1)求圆的方程； (2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 变式1．（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，为圆心，若的面积等于8，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·湖北孝感·月考）圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 变式3．（24-25高二上·河北唐山·月考）已知O为原点，直线x+2y-3=0与圆C：交于P、Q两点．若求m的值 ． 变式4．（25-26高二上·黑龙江·期末）直线：与圆：相交于点，，则 .过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 变式5．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知点P是椭圆上的动点，过点P作轴，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为C，O为坐标原点． (1)求C的方程； (2)已知直线与C交于A，B两点，若的面积为，求k的值． 变式6．（25-26高二上·贵州黔东南·月考）已知圆，点. (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求该直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $