数列求和（裂项相消法、错位相减法、分组法与并项法）期末复习 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学期末培优复习讲义通过考点目录表格与知识框架系统构建数列求和知识体系，按裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和三大考点梳理原理、模型及公式，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，精选不同地区模拟题与月考题作为例题及变式，如错位相减法中差比数列求和步骤指导，裂项相消法中通项拆分训练，培养学生数学思维与表达能力，助力基础薄弱学生掌握方法、优秀学生深化理解，为教师提供精准教学支持。

数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 【知识点解析】 1. 裂项相消法的基本原理 对于数列，若能将其通项公式拆分为（或）的性质， 则前项和. 2. 裂项的基本模型 （1）等差型：，其中. （2）无理型：，其中. （3）指数型： 3. 常见的裂项公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【例题分析】 例1．（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 例2．（2026·吉林白山·一模）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）知，则， 所以， 得. 例3．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知数列中，，. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可得，即， 则， 得到 例4．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数. (1)求的解析式； (2)设，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）解：令，则， 得， 所以. （2）证明：由（1）可得， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 因为， 所以. 变式1．（24-25高二上·河北唐山·月考）已知数列的前n项和为，且 (1)求证：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：数列的前项和为，且． 可得， 可得，解得， 整理可得，又 所以是等比数列，首项为，公比为2， 所以：， 所以． （2）证明： 所以， 因为，所以，所以． 即． 变式2．（25-26高二上·上海·期末）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 变式3．（25-26高二上·河南周口·月考）已知数列满足；数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)已知，记的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 所以当时， 因为，所以对也成立， 综上，所以. （2）因为①， 所以当时，②， ①-②得：，即， 因为，且，所以，即， 所以数列奇数项与偶数项分别为等差数列，且公差为4， 当时，，因为，所以，则， 所以数列为等差数列， 且首项，公差，所以； （或者：当为奇数时，；当为偶数时，，所以） （3）， 所以， 令，则， 当时，， 所以，即， 所以数列从第2项起是单调递增数列， 所以当时，， 又因为，所以，即，所以， 综上，. 变式4．（25-26高二上·河南·月考）已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)设，求数列中的最小项． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)． 【详解】（1）由题可知，则，即． 所以是公差为的等差数列． 所以，故． （2）， 则． 故 （3）由题意知， 则， 易知关于单调递增，当时，，当时，， 所以， 故数列中的最小项为． 考点二 错位相减法 【知识点解析】 1.错位相减法 错位相减法是数列求和的核心方法之一，专门用于解决「等差数列 × 等比数列」形式的数列求和问题（即 “差比数列” 求和）.其核心逻辑是通过 “乘以公比、错位对齐、相减消项”，将复杂的求和转化为等比数列求和，最终简化计算. 2.错位相减法的处理步骤 若数列且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为，.. （1）① （2）② （3）①-②得 （4）求和得 （5）化简得最终答案. （6）若已知,则，其中，.（不建议直接用） 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， ， 由成等比数列得，， 整理得，解得或， 因为是单调递增的等差数列，所以，即， 所以． （2）由题可知，，由（1）得，， 所以， 则， ， 两式相减得，， 整理得． 例2．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）在公差的等差数列中，，，数列的前n项和为． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）因为是等差数列，且，， 所以，联立，解得，， 由，得，解得，，故， 数列的前项和，， 当时，， 当时，上式成立，故； （2）由（1）知， ， ， ①②，得， 其中， 所以，得. 例3．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式及数列的前n项和. (2)求数列的通项公式，并证明其前n项和 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【详解】（1）根据题意，数列的前n项和为，且， 即，也就是， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则， 则， 所以， 可得， 两式相减得， 所以； （2）由（1）可得数列的前n项和， 则， 当时，， 所以数列的前n项和， 当时， ， 所以. 例4．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 变式1．（25-26高二上·湖南永州·月考）已知数列满足，且. (1)求，： (2)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）由，可知当时，， 因为，所以， 当时，. （2）由，可得，即， 因为，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，解得. （3）由（2）可知， 所以， 则， 作差得 ， 即. 变式2．（24-25高二上·江苏·期末）设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，当时，，∴， 当时，， ∴，即， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列， 故． （2）解法一：， 故， 所以， 错位相减得 ， 故． 解法二：∵， ∴． 变式3．（25-26高三上·江西·月考）已知等比数列满足，且是与的等差中项． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为q（)， 因为是与的等差中项， 所以，所以，因为，所以， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 则，① ，② ①②得 ． 则． 变式4．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求证: ，并求数列 的通项公式: (2)求数列 的前 项和 : (3)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以数列 为等差数列， 故， （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上， （3）， 所以①， 则②。 ①②得， ， 考点三 分组与并项求和 【知识点解析】 1. 分组求和法： （1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为. （2）分别求与. （3）. 2. 并项求和法：对于数列，若其项满足相邻几项的和具有规律性（如和为常数、成等差或等比数列），则可将这些项两两（或三三）合并为一组，转化为对新数列的求和. （1）观察项的规律：分析数列项的符号、数值或周期特征，判断是否可合并（如正负交替、周期重复）。 （2）确定并项方式：根据规律选择两两并项、三三并项或按周期并项（如每 2 项、每 3 项一组）。 （3）处理奇偶项差异：若数列项数的奇偶性影响并项结果（如正负交替型），需分情况讨论。 （4）转化为新数列求和：将合并后的项视为新数列，利用等差、等比数列求和公式或其他方法计算。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·辽宁·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设.求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由， 由 ， 故. （2）由（1）可知 ，所以 例2．（25-26高二上·湖北·月考）已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）在等差数列中，由，得，则， 解得，而，因此数列的公差， 所以数列的通项公式为. （2）依题意，， 则， 所以 . 例3．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知数列满足，设数列的前项和为， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前100项和； (3)求数列的前20项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）数列的前项和 . （3）由（1）可知 ， 则前项和为. 例4．（25-26高三上·北京·月考）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)时，取最小值为 (3) 【详解】（1）因为为等差数列的前n项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为． （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为． （3） . 变式1．（25-26高二上·河南周口·月考）已知数列满足，． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是等比数列； （2）因为，由（1）知，数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以 . 变式2．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为，所以（）. 相减得，即. 所以. 因为是正项数列，所以， 所以，即. 故是等差数列. 令，得，解得， 所以. （2）（2）因为，则， 即. 所以， 所以. 变式3．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列中，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 变式4．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前20项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减得， 则， 由可得， 所以当，依然成立， 的通项公式为. （2）由（1）得 则 ， 所以数列的前20项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 【知识点解析】 1.裂项相消法的基本原理 对于数列a,,若能将其通项公式an拆分为a,=b1-b。(或am=b,-b+1)的性质， 则前n项和Sn=a+a,+a+.+a,=(b2-b)+(b,-b)+(b:-b)+…+(bn+1-bn)=bn1-b 2.裂项的基本棋型 m =m1-1) (1)等差型： =(m+a+四)入-ukn+4k1+元'，其中元>". m m_(+元-Vkm+u (2)无理型： a,=+元+Vm+H元-h ,其中九>4 m…a” =m1 1 (3)指数型： a.=(a+a'+万a-ad+元a+元 3.常见的裂项公式 111 (1)n(n+1)nn+1 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 1 =Vn+l-√n (3)Vn+1+√n w2mi+2mv2i-vn- 1 2” 11 (5)(2”+10(2+1)2”+12+1 3” 1(11 (6)(3”+10(3+1)23”+13+i 【例题分析】 例1.(2025云南昭通模拟预测)在正项数列a,中，a=4,a1-a,=4Va.+4 )证明：数列Va,是等差数列： @记。可，设数别以的前n项和为，证明：三<分。 例2.(2026吉林白山一模)已知等差数列0的前n项和为5,2a,+4,=21,S=51 (求a,的通项公式： 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 (2)若”a,an+1,求数列{bn的前n项和Tn. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 3.(25-26高二上山东济宁：月考)已知数列0中，4=201=2Q 0n+2. 1 (1)证明：a,是等差数列： an 2)求数列4(n+1的前n项和T,· 例4。.(2025山东聊城模拟预测)已知函数f0g,= (x) (1)求的解析式： 1 (2)设an=f(n)n∈N),证明数列{an}为等比数列，并求数列(n+)log2anJ的前n项和Sn· 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 变式1.(2425高二上河北唐山月考)已知数列a的前n项和为S,且S=2,+m ①求证：a,-是等比数列，并求出a的通项公式 1 ②i设么-og,l-a)-1og,l1-a'’求证：么+h,+么++h,<L 变式2。(25-26高二上上海期未)设数列的前”项积为7，满足2a,+7,=1m≥Ln∈N 。=1+- (1)设 Tn,求证：数列{b是等比数列： 2)设数列c满足，=277，求数列c的前10项和。 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 变式3。(25-26高=上河南用口月考)已知数列a满足4=山a=a,+2:数列b的前”项和为5，且满 足9=14s,=6,A+1 ()求数列a 的通项公式： ②)求数列6 的通项公式： bn+2 8)已知22a,+,记c的前n项和为7，求证：14n2n+2<7< 式4，(25-26高二上河南·月考)已知数列a}满足120 1an+2,a1=2」 1 (1)证明数列an 是等差数列，并求{an}的通项公式： 11,1,1 1 (2)若数列{b}满足b。a42aan,求{b}的前n项和I: 3设，=2a,求数列0中的最小项。 6 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 考点二 错位相减法 【知识点解析】 1.错位相减法 错位相减法是数列求和的核心方法之一，专门用于解决「等差数列×等比数列」形式的数列求和问题（即 “差比数列”求和)·其核心逻辑是通过“乘以公比、错位对齐、相减消项”，将复杂的求和转化为等比数列求 和，最终简化计算， 2.错位相减法的处理步骤 若数列m=a,b且a为等差数列，公差为d,bn为等比数列，公比为9q≠1」 (1)S=ab+a+a++a+ab (2)9S,=ab+a+aban-b+abm (3)①-②得l-q)S,=ab-a,b1+db,+db+db,++db, db2(1-g") (1-g)s,=ab-a,b+ (4)求和得 1-q (5)化简得最终答案. A=a.B=b-A (6)若已知9，=(am+bg,则S,=(4n+Bg-B,其中4g-1, q-1.(不建议直接用) 【例题分析】 例1.(25-26高三上河南南阳期末)已知单调递增的等差数列a,的前n项和为S,且4=3,55，+山，3-3成 等比数列. (①)求数列a的通项公式： 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 b (2)令a是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列bn}的前n项和T· 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 例2.(25-26高二上甘肃嘉峪关期末)在公差d>0的等差数列a中，a4,=77,a+a,=18,数列b,的前 3m-3 S,= n项和为 2· （求a和b,的通项公式 2若，=a,·b,求数列c的前n项和7， 例3.(25-26高三上广东珠海月考)已知数列a的前n项和为S,，且满足4=1，S1=0,+5,+2,b,=2”0, 数列{b,}的前n项和为I, C=1 ①求数列a,的通项公式及数列b,的前n项和了. 7 (2)求数列{Cn}的通项公式，并证明其前n项和P< 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和期末培优复习讲义 例4.(2425高二上广东清远期未)已知数列口的前”项和为S,数列b,是公比为3的等比数列，且 S=n',b=a 求数列a、的通项公式： 2令5，=(a,+16,求数列c的前”项和 变式1.(25-26高二上湖南永州月考)已知数列a满足4=1，且4，=20，+2（≥2）， (①求,4 an (2)证明：数列2”是等差数列，并求数列a的通项公式a: (3)求数列。的前”项和5，。 10