求数列通项的方法（利用an与Sn的关系、构造法和累加法）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项 构造法求数列通项 累加法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项 例1.(25-26高二上河南许昌月考)数列an}的前n项和Sn=33n-n2, (I)求{a}的通项公式： (2)设b。=an,求数列{bn}的前n项和n. 例2.(25-26高三上：安微月考)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,Sn+1=3Sn+2n-1. (1)证明：{Sn+n为等比数列； ②设么-号，求数列6，的前n项和工。 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 例3.(25-26高二上·青海海东·期末)己知数列{an}的前n项和为Sn,a,=3,且2S。=(n+1)a, (I)求{an}的通项公式 ②设6=号子，记数列®的前项和为8 (i)求Bn； (ii)若4-9B。≤9b,对任意n∈N恒成立，求t的取值范围. 例4.(2026福建漳州模拟预测)已知数列{an}的前项和为Sn,且S,=2a。-1. (I)求{an}的通项公式： 1 (2设b。-10g,an1-log2a 一，数列b.的前顾和为T,求证：T,<2 2 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 变式1.(25-26高二上黑龙江大庆期末)已知在正项数列an}中，a,=1且Sn+VSn-1=an(n≥2，n∈N),其中Sn 为数列an}的前n项和 (I)求数列{an}的通项公式： 2)设c,=(-1)a（V2°"，求数列{c,的前项和T: ③)若4入≥9T+10对于n∈N恒成立，求元的取值范围 变式2.(2026四川攀枝花一模)已知数列an}的前n项和为Sn,an>0n∈N),且4，a+1,Sn成等比数列， (I)求数列{an}的通项公式： ②若么=（仁。机，记数列6，的前2n项和为，正羽：不<1， anant 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 变式3.25-26高三上四川绵阳月考)记S,为数列{a,的前n项和已知2S+n=2a,+1 (1)证明：{an}是等差数列： 1 ②若a,a,%成等比数列，令60，+14a,+16,且(6}的前n项和为7，若7，<22-1恒成立，求实数1的 取值范围 变式4.(25-26高二上江苏期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,a,a=28,，S,=126 (1)求数列{an}的通项公式 回若数列6！满足+宁++…+宁4-eN门求数列孩份通项公式 ,.1 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 考点二 构造法求数列通项 例1.(25-26高二上：广东清远月考)已知数列0，中，a=La1+3a (1)求a2,a的值： (2)求证：数列 是等差数列，并求数列{a}的通项公式 a 例2.(2025江苏宿迁·模拟预测)在数列an}中，a,=2,a,+an1=3.2”(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式： (2)已知数列{b}满足4-4141=a,; ①求证：数列(b}是等差数列； ②若么=3，设数列c,-2的前n项和为，求证：T,<4, 5 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 例3.(2025·吉林模拟预测)已知数列a,},a=1,a=2a,-cos匹+2sin(n∈N） 2 (1)求a2,a3 (2)求{an}的通项公式 (3)设{na。-2"）}的前项和为Tn,若Tm=2024(meN）,求m 3an 例4,2526高二上甘肃庆阳期中)已知数列a满足4，=号，0二2 2an+1 0)证明：存在等比数列b,},使a,十2： b. 111 1 (2)若一+。+。+…+一<2023，求满足条件的最大整数n a az a3 an 6 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 变式1.(25-26高三上·江苏宿迁·期中)己知数列满足an+2=4an1-4 a ne N'),且a,=4,a2=12 (1)证明：{a1-2an}是等比数列，并求{an}的通项公式； (②已知数列么，满足。，=g:,求b}的前项和7 变式2.(24-25高二下河南周口月考)己知数列{an}满足：a1=3,an1=3a。-4n+2,n∈N (1)证明：{an-2n是等比数列， (2)求数列{an}的前n项和Sn: 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 变式3.(24-25高二下·云南玉溪·期中)己知数列{an}满足a,=1,an=2a-+1n≥2) (I)证明：数列{an+1}为等比数列，并求{an}的通项公式； (②)设bn=nan,求数列bn}的前项和Tn. 变式4.2425商二下江西期中)已知数列a,的首项a=方满是a=0,+ueN) (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=2”an,将数列{bn}分组：(b,),(b2,b),(b4,b,b6),(b,bs,b,bo,，记第组的和为Cn (i)求数列{c}的通项公式； (证明上+2+3++”< C1 C2 C3 Cn 4 d 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 考点三 累加法求数列通项 例1.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨期末)数列an},若a1=1,an=a-1+n+1(n≥2)，则a=() A.34 B.43 C.53 D.64 2、2425尚水期)数列@中，a0=a+月m本则4等于（刀 A.1 B.2n-1 C.3n-1 D.2n 1 n 2n 例3.(25-26高三上·甘肃白银月考)在数列{an}中，41=3，a1=an+g1+二 则a10= 1 例4.(25-26高三上甘肃月考)在数列{a,}中，a,=26,a1=a+2m,则8的最小值为 变式1.(2526高二上山东福博月考)已知数列a,}满足4=1，若-=4rmeN,则44=《) antl an A.45-1 4 3 3 B.3-1 C.49-1 D.35-1 4 变式2.(2526商二上吉林期未)已知数列a,满足4=3，a=0,+则g,=（) n(n+1) A.4+ B.4-1 D.2-1 n n C.2+1 n n 9 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 变式3.(25-26高二上江苏苏州月考)己知在数列{an}中，a1=2,an-a=2”ana1,则数列an}的通项公式 为一 变式4.(202s河北张家口一模)已知数列a,满足4=2,4，>0且-d=+1,则-n= o利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项 构造法求数列通项 累加法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项 例1.(25-26高二上河南许昌月考)数列an}的前n项和Sn=33n-n2, (I)求{an}的通项公式： (2)设bn=an,求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】(1)an=34-2n 33n-n2(n≤17）， (2)Tn= n2-33n+544n≥18). 【详解】(1)当n≥2时，a,=S。-S=33n-m2-[33(n-1-(n-12]=34-2n, 又当n=1时，a1=S1=32=34-2×1满足an=34-2n, 故{an}的通项公式为an=34-2n; (2)由(1)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0; 所以当n≤17时，Tn=b+b2++bn=a+a2+…+an=a+a++an=Sn=33n-n2; 当n218时，Tn=a+a2++a7+48+…+an=a+a2+…+a7-(a8+ag++an) =S7-(Sn-S,）=2S,-Sn=n2-33n+544; 故T.= 33n-n2(n≤17）， n2-33n+544n≥18. 例2.(25-26高三上·安微月考)记数列{an}的前n项和为Sn,己知a1=2,Sn1=3Sn+2n-1. (1)证明：{Sn+n为等比数列； ②设6-号，求数列6，的前n项和工. 【答案】（①）证明见解析 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 2)7,=2n-11 3623” 【详解】(1)将Sn=3Sn+2n-1两边同时加(n+1), 得S+1+n+1=3S。+3n=3Sn+n), 因为S,+1=4,+1=3, 所以{S,+n是以3为首项，3为公比的等比数列； (2)由(1)知S。+n=3”,即S,=3”-n, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×3--1, 当n=1时，a=S,=3-1=2不符合上式， 「 [2,n=1 3ns1 故an= 2×3-1-1,n≥2' 所以b,= 21 33n≥2 当≥2时，-6+6+6++b小-小传…+到 1 2n11- 3--2-1-1）-201+1 39 1=363=36+2.3” 1- 3 由于当n=1时也满足该式， 因此T=号。23 2n1,1 例3.(25-26高二上青海海东·期末)己知数列a,}的前n项和为Sn,a,=3,且2S。=(n+1)an· (1)求{an}的通项公式 ②设6=”，记数列6，的前顺和为公 (i)求Bn: (i)若4-9Bn≤9bn对任意n∈N恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)an=3n: ea-号5层 【详解】1)由25，=a+a,可得，au=53-8.-+2au_+2a1=n+2a4-a+a 2 2 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 →(n+l)a,=n01→a= n+l n 所以数列 是常数列，又因为a,=3,所以8=-9=3→a,=3n, n 1 即{an}的通项公式为an=3n; (2)(i)由b=,8=”, 3.4040, 123 则B。=4+++ 4 两边乘以4可得：4B,=1+2+3 n 442+…+ 40, 1n14广m441n4443 3Bn=1+ 1,1 +…+ 442 4-1 4n 143344=33×4 1- 4 44+3n 即B,=99×40 （i)由4-9B≤9b,可得：4-944+3n n ≤9t× (99×4" 4n →4+3n≤9t→t≥4+3n 9n 4+3n 由4-9Bn≤9bn对任意n∈N恒成立，则t≥ 9n /max 令y=4+3m-14 ,则函数y=。+ 9n39n +4在，+0)上单调递减， 39n 1,47 7 即当A=1时，m-3+gg,所以12g 「7， 即1的取值范围是)+o) 例4.(2026福建漳州模拟预测)己知数列{an}的前项和为Sn,且S,=2(an-1. (1)求{an}的通项公式： (Qi设b.-1og2a4-1og:a 一， 数列的前吸和为，求证：工<分 【答案】(1)an=2”; (2)证明见解析， 【详解】(1)因为Sn=2an-1),所以Sn1=2a1-1, 两式相减得an1=2an+1-2an,即an+1=2an, 当n=1时，S,=a1=2a1-1,解得a,=2, 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 所以{a}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以an=2”. (2)由上可知a1=220-,a241=221， .l0g2a2m-1=2n-1,l0g242m+1=2n+1, 1 1 1(1 1 则61og4s1og:42n-l02n+122n-12n+1/” 所以Tn=b,+b2+…+bn 0--g》】小- 由neN可得2n+i >0.1- 1 <1,则7，<2，证毕. 2n+1 变式1.(25-26高二上黑龙江大庆期末)已知在正项数列{an}中，a,=1且VSn+VSn-1=an（n≥2，n∈N),其中Sn 为数列{an}的前项和 (1)求数列{an}的通项公式： 2设c,=-a（2”,求数列c的前项和工； ③)若42≥9Z,+10对于n∈N恒成立，求元的取值范围， n 【答案】(1)a,=2n-1 a1=9g的2 (3) 【详解】(1)在数列{an}中，Sn-Sn1=an（n≥2，neN)①， 又因为VS,+VS=a(n≥2，neN,)②，a>0, 所以①÷②，得VS,-VSn=1n≥2，neN) 又因为5，=√a,=1,所以数列{√S}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以Sn=1+(n-1)=n,所以S,=n2 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时，a=1,也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2n-1 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 (2)由(1)知an=2n-1, 所以c.=(-1°a（2)”=(-1(2m+12=(2n+1-2 所以T.=3×-2)+5x(-2)2+7×-2)°+…+2n+1(-2③ -2I。=3x(-2}2+5×(-2°+7×-2)++(2n+1(-2).④ ③-④，得37。=3×(-2)+2×-2)2+2×(-2)3+…+2×-2”-(2n+1)(-2)1 =-2+2×-2)+2×(-2)2+2×(-2)3++2×(-2)”-(2n+10(-2) =-2+ 4-21-2n+-2m-9-a-2 1-(-2) 33 所以7=9g52 （3)由42≥97+10得42≥6+5列2， n n 原式可化为≥6m+5恒成立，令gm=6m+5n 2+ 则gm-gn+l=6m+50_6n+1+5n+1-6n2-7m-1 21 2"+2 2n+2 当n=1或2时，gn-gn+1<0,即gn<gn+1), 当n≥3时，gn-gn+1>0,即gn>gn+1), 可知g(1)<g2)<g(3)>g(4)>g5)>… 故入之83)-8。审2的取花发 6 ,+0 16 变式2.(2026四川攀枝花一模)已知数列{a,}的前n项和为S,a,>0(n∈N),且4，a,+1,Sn成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式： ②若b,=(-1)机，记数列6的前2项和为，明：专≤工，<1. anant 【答案】(1)an=2n-1 (2)证明见解析 【详解】(1)由题意4Sn=(an+1)=a+2an+1. 当n=1时，4a,=a2+2a,+1→(a-1)2=0→a,=1 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 当n22时，4Sn=a+2an+1,4Sn1=a-1+2am-1+1, 两式相减，得4a。=a+2a。-a-,-2am- 所以2(an+an-)=(an+an)(an-an-), 又因为an>0,所以an-an-1=2. 所以数列{an}是以a,=1为首项，以d=2为公差的等差数列 所以an=1+n-1×2=2n-1」 (2)因为4=(-.”=-1 “a-2-(g】 4n anan+ =1 4n+1' 因为{Tn}为单调递增数列，且T=1- 14 551 所以.<1 变式3.(2526高三上·四川绵阳月考)记S为数列a,的前n项和已知2S+n=2a,+1 n (1)证明：{an}是等差数列； ②若a,a,a成等比数列，令么口，+14a.+16,且b,的前n项和为7，若7<2以-1恒成立，求实数1的 取值范围 【答案】(1)证明见解析 ②≥ 24 【详解】（1)由2+n=2a,+1可得25.=2.-2+n, n 当n22时，2S=2(n-1)a1-(n-1)2+n-1, 故2a,=2na.-n2+n-「2(n-1）a1-(n-12+n-1, 化简可得n-1)(a。-a-1-1)=0, 由于n-1>0,故an-an1-1=0,即an-an1=1为常数， 因此{an}为等差数列， 6 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 (2)由(1)知{an}为等差数列，且公差为d=1, 又a4,4,a成等比数列，故a=a,a,→(a,+62=(a,+3)(a,+8),解得a=-12, 故an=-12+n-1=n-13, 1 1 1-1) 故6，a+14a,+16n+ln+习2n+1n+3” -0g目…4】-治时2品*》 23单用途诚，黄又-启引+中)单调道婚，因货无合 了<2以-1相度立，故2以-上合解得入≥ 17 24’ 变式4.(25-26高二上江苏期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,a,a,=28,S,=126. (1)求数列{an}的通项公式. 回者数列孩战足+空+宁+…宁女=品)求数列扬的医预公式 1 。1 【答案】(1)an=3n-1 (2)bn=2" aa5=aa1+4d)=28 【详解】①由题意可网91aa-a=94+材=126解得4=21=3， 2 所以an=a+(n-1)d=3n-1. 2)由0)可符 1 24 1 +26++26.=, 则5b,=1→b=2, 1, 1 1 1 当n22时，8+2京6 21 26+… 2b1=n-1, 所以6，=1→6=2， 当n=1时也符合，故bn=2" 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 考点二 构造法求数列通项 例1.2526高二上广东清远月考)已知数列a中，a=1,Q1十3a (1)求a2,a的值； (2)求证：数列 是等差数列，并求数列{an}的通项公式 1 1 【答案】0)4=4'4=7 (2)证明见解析，a.=3n-2 1 【详解】(1)因为a,=1,a1=,a 1+30, a1_ 11 所以a,=1+3a1+34' 1 43= 4=4-1 1+3a21+3× 1=7 an (2)因为a=la1+30,所以a -1+3, antl an 即11=3， ant an 又因为上=1， a 所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列. a 所以1=1+m-)x3=3n-2, a 所以a= 3n-2 例2.(2025江苏宿迁·模拟预测)在数列an}中，a-2,a,+an1=3.2(neN*. (1)求数列{an}的通项公式： (2)已知数列bn}满足4-4-…41=a: ①求证：数列{b}是等差数列； ②若=3，设数列c,b的前n项和为工，求证：工，<14. a 【答案】(1)a,=2 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】(1)因为an+an1=3.2(neN), 所以a1=-an+32”, 所以器 所以1- 因为4=2，所以1时，-1=0， 所以数列受-是各项为0的常数列，即号-1=0， 所以an=2”. （2)①由4-41.…41=a得4%+6++6-=(2")4=2m6 所以2b+b,+…+b)-2n=nbn① 所以2(6，+b+…+bi)-2(n+1)=(n+)-b1② ②-①得：(n-)b1=nb,-2③ 所以n…b2=(n+1)b1-2④ ④-③得n…b2+nb.=2nb1,所以bn+2+b。=2b+1 即bn+2-b1=bn1-b 所以数列bn}是等差数列. ②当n=1时，由44-1…41=a得4-1=a4=29,所以b=2, 又b=3,故{bn}的公差为1，所以b,=n+1, 所以c,=b,bL=a+1n+2)_2+5n+8_a+l少2+5a+)+8 a。 2" 2-1 2” 14222232 即虹=G+G++c3222+…++0+8.a++咖++8 2-1 2" =14-a+P+5n+)+8<14. 20 例3.(2025吉林-模拟预测)已知数列{a,a=1,a1=2a,-cos+2sin(neN) 2 (1)求a2,a3 (2)求{an}的通项公式； (3)设{n(a,-2"}的前项和为工，若Tm=2024(m∈N),求m. 0 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项、累加法求数列通项专项训练 【答案】(1)a2=4,a3=9 ②a,=2r-sn贤 (3)4048或4047. 【详解1）当=1时行4=24-o受+2s子4： 当m=2时，得a=2a,-c0s27+2sin20=9. 2 e设as-m cos n=2 a+a sin2+B cos nπ 2 整理得a1=2a,+(2B-a)cos"+(2a+B)sin" 2 2 又a,1=2a,-cos+2sin 2 2 2β-a=-1, 0=1, 解得 2a+β=2， B=0, .an++sin- 11))r=2a,+sinnπh 又a+2 :a,+sim是以2为首项2为公比的等比数列， 2 ∴a,+sin=2x2=2,a,=2°-sin 2 2 故a,}的通项公式为a,=2”-sim 2 (3)设b,=n(a.-2）=-n-sin 2 设keN,则当n=4k+1时，sin”=上当n=4k+2时，sin=0, 当m=4+3时sn受-5当=4秋+4时，m受-0 2 .bh1+bk+2+bk+3+bk+4=-(4k+1)-(4+3)×-)=2,且b4o48=0, 若乙.=2024meN),则m-2024×4=4048或m=4047 2 例4.(2526高二上甘肃庆阳-期中)已知数列a,满足a=?, 3a 2an+1 )证明：存在等比数列b},使a,=+2 ②)若+上++…+<2023，求满足条件的最大整数 111 an 【答案】（①）证明见解析 (2)2022 10