1.1.3幂的乘除 (第3课时积的乘方)讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦“积的乘方”核心知识点，前承同底数幂的乘法、幂的乘方，通过地球体积计算的实际问题引入，借助乘方意义与乘法运算律推导法则，构建“实际问题—概念引入—法则推导—应用拓展”的学习支架。 该资料以真实情境培养数学眼光，通过推导过程发展推理意识，用符号表达法则强化数学语言。课中助力教师引导学生探究，课后练习覆盖基础与提升，帮助学生巩固法则、查漏补缺。

1.1.3幂的乘除 (第3课时积的乘方) 情景1. 地球可以近似地看成球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米? 根据球的体积公式，地球的体积：Ⅴ＝πr3＝π×(6×103)3(km3) 那么，(6×103)3等于多少呢? →观察(6×103)3这个数，它有什么特点？它又怎样计算？ 如果把(6×103)3看成一个整体，那么这个数的底数是由两个数的积构成的. · 对(6×103)3进行计算，我们称为“积的乘方” 计算：(6×103)3. 解：(6×103)3＝(6×103)×(6×103)×(6×103) (乘方的意义) ＝6×103×6×103×6×103 (乘法的交换律和结合律) ＝(6×6×6)×(103×103×103) ＝63×(103)3 (同底数幂的乘法法则) 所以(6×103)3＝63×(103)3 · 尝试·思考 1. 完成下列各式，并说明理由. (1)(3×5)4＝3( )×5( ) (2)(3×5)m＝3( )×5( ) 解：(1)(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)＝34×54 (2)(3×5)m＝＝3m×5m 2. 如果n是正整数，那么(ab)n等于什么?为什么? (ab)n＝＝×＝an·bn 观察：计算前后，底数和指数有何变化? 两个数的积的乘方，与这两个数各自的乘方的积相等 · 积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n为正整数)，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 三个或三个以上的积的乘方：(abc)n＝anbncn (n为正整数). 积的乘方的运算性质可以逆用，即anbn＝(ab)n(n为正整数). · 易错警示： 运用积的乘方的运算性质时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式，尤其是字母的系数不要漏乘方； 系数应连同它的符号一起乘方，系数是－1时不可忽略． 例1：计算 (1)(3x)2； (2)(－2b)5； (3)(－2xy)4； (4)(3a2)n. 解：(1)9x2；(2)－32b5；(3)16x4y4；(4)3na2n 随堂练习： 1. 计算 (1)(－3n)3； (2)(5xy)3； (3)－a3＋(－4a)2a. 解：(1)－27n3；(2)125x3y3；(3)15a3 2. 地球可以近似地看成球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米？(π≈3.14) 解：根据球的体积公式，地球的体积Ⅴ＝πr3＝π×(6×103)3≈×3.14×63×109≈9.0432×1011(km3) 练习1. 1. 下列计算：①(ab)2＝ab2；②(4ab)3＝12a3b3；③(－2x 3)4＝－16x12. 其中正确的有( A ). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2. 下列运算正确的是( D ). A.3x＋3y＝6xy B.(xy2)3＝xy6 C.3(x＋8)＝3x＋8 D. x2·x3＝x5 3. 如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝___ab ___. 4. 若(2am)3＝na15 成立，则m＝__5__，n＝__8__． 5. 若n为正整数，且x2n＝3，则(3x3n)2 的值为___243___． 6. 小明在积木盒里拿出了一个棱长为1.5cm的小正方体，后来又拿来了一些积木，想拼成更大的正方体，拼了2次，第一次拼成的是棱长扩大为原来的2倍的大正方体，第二次又在第一次的基础上扩大22倍，则最终拼得的正方体体积为___1728___cm3. 7. 若an＝6，b2n＝8，求(ab)2n－(a2b4)n的值. 解：由题意知：(ab)2n－(a2b4)n＝a2nb2n－a2nb4n＝(an)2b2n－(an)2(b2n)2 把an＝6，b2n＝8代入得＝62×8－62×82＝－2016 8. 先化简，再求值：[－2(a－b)]3·(a＋b)·[－(a＋b)(a－b)]2，其中a＝2，b＝1. 解：化简得原式＝－8(a－b)5(a＋b)3 将a＝2，b＝1代入，得原式＝－8×(2－1)5×(2＋1)3＝－216. 情景2. 计算：(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3. 解：(1)原式＝－4xy2·x2y4·(－8x6)＝32x9y6；(2)原式＝a6b12＋(－a6b12)＝0 · 涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 练习2. 计算： (1)2(x3)2·x3－(3x3)3＋(5x)2·x7； (2)(－2xy2)6＋(－3x2y4)3； (3)(－4ab3)2－8a2b6＋2(ab3)2； (4) a·a2·a3＋(a3)2－(－2a2)3. 解：(1)0；(2)37x6y12；(3)10a2b6；(4)10a6 情景3. 用简便方法计算：0.125200×(－23)201 解：0.125200×(－23)201 ＝0.125200×(－8)200 ＝0.125200×(－8)200×(－8) ＝[0.125×(－8)]200×(－8) ＝(－1)200×(－8) ＝－8 · 底数互为倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂的乘法法则化为幂指数相同的幂，然后逆用积的乘方法则计算，从而简化运算． 练习3. 1. 式子2217·(－)216的结果是( C ). A. B.－2 C.2 D.－ 2. 用简便方法计算： (1)(－1)6×0.254×()6×(－4)4； (2)(－9)3×(－)3×()3； (3)(0.04)204×[(－5)204]2 解：(1)1；(2)8；(3)1 · 回顾·反思 回顾同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的学习，你经历了怎样的探究过程?这些运算与数的运算有什么联系?你还想探究幂的什么运算? 经历了“从真实情境中发现与提出问题、探究数的乘方、利用乘方的意义探究幂的运算、总结幂的运算性质”这样的过程. 幂的运算与数的运算的运算依据都是乘方的意义，运算性质和类型是相同的. 还想研究幂的除法运算. 巩固练习： 1. 计算(2x2)3的结果是( A ). A．8x6 B．6x6 C．2x6 D．2x5 2. 下列运算不正确的是( D ). A．a2·a3＝a5 B．(－2ab)2＝4a2b2 C．(a2)3＝a6 D．a3·a3＝a9 3. 如果xn＝2，yn＝5，那么(xy)3n的值是( B ). A．100 B．1000 C．150 D．40 4. 计算(a3)5·a2＝ a17 ． 5. 若a2n＝25, b2n＝16, 则(ab)n＝ ±20 ． 6. 已知多项式4a3－2a＋3的值是7，则多项式2(－a)3－(－a)＋205的值是 203 ． 7. 计算： (1)(－5ab)3；(2)－(3x2y)2；(3)(－1ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2． 解：(1)－125a3b3；(2)－9x4y2；(3)－a3b6c9；(4) x2my6m 8. 计算： (1)(1)4×(－)5；(2)2100×8101×()200． 解：(1)－；(2)8． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3幂的乘除 (第3课时积的乘方) 情景1. 地球可以近似地看成球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米? 根据球的体积公式，地球的体积：Ⅴ＝πr3＝π×(6×103)3(km3) 那么，(6×103)3等于多少呢? →观察(6×103)3这个数，它有什么特点？它又怎样计算？ 如果把(6×103)3看成一个整体，那么这个数的底数是由两个数的积构成的. · 对(6×103)3进行计算，我们称为“积的乘方” 计算：(6×103)3. 解：(6×103)3＝(6×103)×(6×103)×(6×103) (乘方的意义) ＝6×103×6×103×6×103 (乘法的交换律和结合律) ＝(6×6×6)×(103×103×103) ＝63×(103)3 (同底数幂的乘法法则) 所以(6×103)3＝63×(103)3 · 尝试·思考 1. 完成下列各式，并说明理由. (1)(3×5)4＝3( )×5( ) (2)(3×5)m＝3( )×5( ) 2. 如果n是正整数，那么(ab)n等于什么?为什么? 观察：计算前后，底数和指数有何变化? · 积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n为正整数)，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 三个或三个以上的积的乘方：(abc)n＝anbncn (n为正整数). 积的乘方的运算性质可以逆用，即anbn＝(ab)n(n为正整数). · 易错警示： 运用积的乘方的运算性质时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式，尤其是字母的系数不要漏乘方； 系数应连同它的符号一起乘方，系数是－1时不可忽略． 例1：计算 (1)(3x)2； (2)(－2b)5； (3)(－2xy)4； (4)(3a2)n. 随堂练习： 1. 计算 (1)(－3n)3； (2)(5xy)3； (3)－a3＋(－4a)2a. 2. 地球可以近似地看成球体，地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米？(π≈3.14) 练习1. 1. 下列计算：①(ab)2＝ab2；②(4ab)3＝12a3b3；③(－2x 3)4＝－16x12. 其中正确的有( ). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2. 下列运算正确的是( ). A.3x＋3y＝6xy B.(xy2)3＝xy6 C.3(x＋8)＝3x＋8 D. x2·x3＝x5 3. 如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝_________. 4. 若(2am)3＝na15 成立，则m＝_______，n＝_______． 5. 若n为正整数，且x2n＝3，则(3x3n)2 的值为_______． 6. 小明在积木盒里拿出了一个棱长为1.5cm的小正方体，后来又拿来了一些积木，想拼成更大的正方体，拼了2次，第一次拼成的是棱长扩大为原来的2倍的大正方体，第二次又在第一次的基础上扩大22倍，则最终拼得的正方体体积为_______________cm3. 7. 若an＝6，b2n＝8，求(ab)2n－(a2b4)n的值. 8. 先化简，再求值：[－2(a－b)]3·(a＋b)·[－(a＋b)(a－b)]2，其中a＝2，b＝1. 情景2. 计算：(1)－4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3. · 涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 练习2. 计算： (1)2(x3)2·x3－(3x3)3＋(5x)2·x7； (2)(－2xy2)6＋(－3x2y4)3； (3)(－4ab3)2－8a2b6＋2(ab3)2； (4) a·a2·a3＋(a3)2－(－2a2)3. 情景3. 用简便方法计算：0.125200×(－23)201 · 底数互为倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂的乘法法则化为幂指数相同的幂，然后逆用积的乘方法则计算，从而简化运算． 练习3. 1. 式子2217·(－)216的结果是( ). A. B.－2 C.2 D.－ 2. 用简便方法计算： (1)(－1)6×0.254×()6×(－4)4； (2)(－9)3×(－)3×()3； (3)(0.04)204×[(－5)204]2 · 回顾·反思 回顾同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的学习，你经历了怎样的探究过程?这些运算与数的运算有什么联系?你还想探究幂的什么运算? 经历了“从真实情境中发现与提出问题、探究数的乘方、利用乘方的意义探究幂的运算、总结幂的运算性质”这样的过程. 幂的运算与数的运算的运算依据都是乘方的意义，运算性质和类型是相同的. 还想研究幂的除法运算. 巩固练习： 1. 计算(2x2)3的结果是( ). A．8x6 B．6x6 C．2x6 D．2x5 2. 下列运算不正确的是( ). A．a2·a3＝a5 B．(－2ab)2＝4a2b2 C．(a2)3＝a6 D．a3·a3＝a9 3. 如果xn＝2，yn＝5，那么(xy)3n的值是( ). A．100 B．1000 C．150 D．40 4. 计算(a3)5·a2＝ _______ ． 5. 若a2n＝25, b2n＝16, 则(ab)n＝ _______ ． 6. 已知多项式4a3－2a＋3的值是7，则多项式2(－a)3－(－a)＋205的值是_______ ． 7. 计算： (1)(－5ab)3；(2)－(3x2y)2；(3)(－1ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2． 8. 计算： (1)(1)4×(－)5；(2)2100×8101×()200． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $