指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 考点目录 指数型复合函数的性质综合 对数型复合函数的性质综合 考点一 指数型复合函数的性质综合 例1.2526高一上北京延庆期末)已知函数f(x=2,2 3 (1)判断∫(x)的奇偶性并证明； (②)判断f(x)的单调性并说明理由； (3)若f(ax-1)+f(2-x)>0对任意a∈-o0,2]恒成立，求x的取值范围. 例2.(25-26高一上·重庆月考)已知函数fx)=4-(m+1)·2-1. (1)若m=0,求f(x在区间-2,1的值域： (2)若方程∫x)+2=0有两个不等实根，求实数m的取值范围： -2x2+4x-1 3)设函数gx)= ,若对任意的x∈[1,2]，总存在x2∈[0,3引，使得f(x)≥gx,),求实数m的范围. 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 例3.(25-26高一上·青海海东期末)己知函数f(x+1=2+2+2- (I)求∫(x)的解析式： (2)若∫(x)>4"恒成立，求m的取值范围； (6)证明：八在}松上单调递塔 例4.(2526高一上广西南宁月考)已知函数=。(a>0且a*刂满足f八)=号 (1)求a的值； (2)求函数∫(x)的单调区间； (3)求函数f(x)的值域 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 526高-上宁沈期末)已知函数，aeR图象送 (1)求a的值： ②诺在x[局引上不等式P到 ,k+工恒成立，求满足条件的最小整数k (3)若存在区间[m,n,使得f(x)在该区间上的值域为2"t,2”t,求实数t的取值范围 变式2.(25：26高-上：辽宁大连·期)已知函数f,+3是定义在R上的奇函数，且指数函数y=口的图像 过点(2,9) (1)求f(x)的解析式： ②若对任意e,不等式+小近+行 ≤0恒成立，求实数t的最小值 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 变式3.(25-26高一上·黑龙江绥化期末)已知f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且 f(x)+g(x)=e,，其中e≈2.71828…是自然对数的底数 (1)求[gx-[fx的值； ②)已知fog。+,<0,求实数m的取值范围； 2 变式4.(25-26高一上浙江台州月考)对于函数f)=a-2a∈R. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ ⊙若a=1,且f2+k-++日+小0对在意的：eR恒成立，求实数k的取值范围. 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 考点二 对数型复合函数的性质综合 例1.(25-26高一上山东月考)己知函数f(x)=(10g2x-2)(10g2x-1. 当e[日时，求函数的值城。 (2)若fx)≥mlog2x对于x∈[4,16恒成立，求实数n的取值范围， 例2.(25-26高一上陕西渭南·月考)已知函数y=1og4(2x+3-x2) (1)求函数的定义域： (2)求函数的单调区间，并求最大值 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 例3.(25-26高一上，北京延庆期末)设函数f(x)=l1og24+m. (1)当m=4时，求∫(x的值域： (②)当x∈0，+∞)时，f(x)的最小值为3，求m的值； (3)当m=-8时，函数f(x)的图象恒在直线y=4x+b的下方，求b的取值范围. 例4.(2526商-一上山东聊坡月考)已知正数f)=log,2+a-u∈R (I)若函数f(x)的图象经过点P 3_3+log23 24 ①求实数a的值； ②设g(x)=log42+x+m)(m∈R),若关于x的方程f(x)=g(x)在[-2,2]上有解，求实数m的取值范围； (②)是否存在实数a,使得f(x)存在最小值，且最小值小于-1？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理 由. 6 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 变式1.(25-26高一上·北京房山期末)已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x) (I)求f(x)的定义域： (②)判断∫x)的奇偶性，并证明你的结论； (3)若∫(a≥1，求实数a的取值范围. 变式2.2526商上予期已知函数因=g4t,。>0 (1)当b=3a时； )求f(x)的单调区间； (i)正数m,n满足m+2n=4,mn>1,证明：flog 3-mn <lg(3a) mn+l 11 06-7>4. (2)若f(x)有2个零点，证明：二+ 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 变式3.(25-26高一上陕西月考)已知函数f(x)=(1og2x)2-mlog2x2+1. (1)设m=1, (i)求f(x)的最小值； (i)当x∈[1,16]时，求函数f(x的值域 (2)对任意x,x2∈[1,8]，f(x)-f(x2川≤5恒成立，求实数m的取值范围。 变式4.(25-26高一上北京月考)已知函数f八=1og2m-1-m(a>0,a+1是奇函数 x+1 (I)求实数m的值，并求函数y=f(x)的定义域D； ②若底数a>1,试判断函数y=八)的单调性，并解不等式f儿2-列<引： (3)当xe[a,b)时，函数值组成的集合为[1，+o),求实数a,b的值. d指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 指数型复合函数的性质综合、对数型复合函数的性质综合专项训练 考点目录 指数型复合函数的性质综合 对数型复合函数的性质综合 考点一 指数型复合函数的性质综合 例1．（25-26高一上·北京延庆·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并说明理由； (3)若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)增函数，理由见解析； (3). 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 因为定义域为，且，所以为奇函数； （2）在是增函数，理由如下： 因为在是增函数，所以在是减函数， 所以在是增函数，故在是增函数， 所以在是增函数； （3）由（1）（2）可知为奇函数且在是增函数， 又，所以， 所以对任意恒成立， 令，，只需，解得， 所以，则x的取值范围为. 例2．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数． (1)若，求在区间的值域； (2)若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，开口向上，对称轴为， 又，所以时，有最小值， 而离对称轴更远，所以时，有最大值， 所以，所以时，在区间上的值域为． （2）由（1）知当令，，， 则，即， 又指数函数单调递增，所以有两个不等实根，且此时实根大于零， 所以可得，解得，实数m的取值范围为． （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由函数可得当时单调递减，当时单调递增， 函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即，则实数m的取值范围为． 例3．（25-26高一上·青海海东·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求m的取值范围； (3)证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2) (3)详见解析. 【详解】（1）令，则 ， 因为 ，代入得： ，则 ； （2）因为恒成立，所以， 由（1）知：， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以，即， 因为在R上是增函数，所以，即； （3）任取，且， 则， ， ， ， 因为为上的增函数，且， 所以，即， 又因为，所以，则， 所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增. 例4．（25-26高一上·广西南宁·月考）已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)单调递减区间为 ，无增区间. (3) 【详解】（1）由题可得，因为且，所以； （2）函数为复合函数， 令，在上单调递增， ，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为 ，无增区间. （3）因为，则，所以，所以函数的值域为. 变式1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，的图象关于原点对称. (1)求的值； (2)若在上不等式恒成立，求满足条件的最小整数. (3)若存在区间，使得在该区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题意是定义域为的奇函数，，则，经检验，满足题意，故； （2）设，则，得，， 即的反函数， 现证在上恒成立，有 所以，由是增函数，得， 整理得，在上恒成立， 令，， 由在单调递减，则， 且，故最小整数； （3）在上单调递增，则，， 即方程有两个不相等的实数解、， 设，则方程变为，整理得， 所以有两个不相等的正实数根，，则， 解得，故. 变式2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点. (1)求的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得. 因为指数函数的图像过点，所以， 因为，所以. 所以. （2）因为，当时， 由于，所以，. 所以，所以在上单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减. 将变形得， 根据函数的单调性可得恒成立， 因为，所以，所以不等式化简得. 令，则. 因为，所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当时，即时等号成立. 令，所以，设， 则， 所以在上单调递减， 所以当时，取最大值为，即的最大值为. 所以要使得不等式恒成立，则，此时的最小值为. 变式3．（25-26高一上·黑龙江绥化·期末）已知，分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且，其中是自然对数的底数. (1)求的值； (2)已知，求实数的取值范围； 【答案】(1)1； (2)或. 【详解】（1）由，分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且， 得，即，解得， 所以. （2）函数在R上单调递增，在R上单调递减，则函数在R上单调递增， 而，则不等式， 当时，得，则；当时，得，则， 所以的取值范围是或. 变式4．（25-26高一上·浙江台州·月考）对于函数． (1)判断函数的单调性，并证明； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ (3)若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为上的增函数，证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）为上的增函数，证明如下： 定义域为，设， ， 由，可得，即有，故， 则为上的增函数，. （2）若为奇函数，即有，即，解得， ，，则为奇函数， 故存在，使函数为奇函数. （3）由（2）为上的奇函数，也为增函数， 不等式，即为， 即有，即对任意的恒成立， 当时，不等式对任意的恒成立，符合题意； 当时，要使对任意的恒成立， 则，解得； 综上，即实数的取值范围是. 考点二 对数型复合函数的性质综合 例1．（25-26高一上·山东·月考）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 例2．（25-26高一上·陕西渭南·月考）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间，并求最大值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 【详解】（1）由. 故所求函数的定义域为. （2）因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，取得最大值4. 又在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的单调性的判断方法可知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为，当时取等号. 因此该函数的单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 例3．（25-26高一上·北京延庆·期末）设函数． (1)当时，求的值域； (2)当时，的最小值为3，求m的值； (3)当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为当时，， 因为．所以， 所以， 所以的值域为. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，的最小值为，所以只需，即， 所以在区间上的最小值为， 又因为当时，的最小值为3， 所以．故. （3）当时，函数，的定义域为， 因为函数的图象恒在直线的下方， 所以在恒成立， 即在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 则，即，， 令，， 由二次函数性质可知，当时，， 即，解得， 所以的取值范围为. 例4．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知函数. (1)若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【详解】（1）①因为函数的图象经过点， 所以， 所以， 则，解得. ②， 因为，所以， 即，整理得. 因为当时，函数单调递减， 所以， 所以使方程在上有解的实数的取值范围是. （2）由题意得， 当时，令，解得，所以的定义域为， 令，则为增函数，所以函数是增函数， 所以在上单调递增，无最小值； 当时，在上单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为， 又因为函数是增函数， 所以， 解得. 综上，存在实数使得存在最小值，且最小值小于-1，此时实数的取值范围为 变式1．（25-26高一上·北京房山·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)为奇函数；证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意知函数需满足：, 解得，即的定义域为； （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域为， ， 故为奇函数； （3）由题意，即，则， 且，即得，而，故， 解得，结合，可得， 即实数的取值范围为. 变式2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数，. (1)当时； （i）求的单调区间； （ii）正数m，n满足，，证明：. (2)若有2个零点，证明：. 【答案】(1)（i）的单调递增区间为，的单调递减区间为；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）（i）此时，        显然其单调性与相同，而，令，则且， 所以对应的函数为，       当时，取，， 故在上单调递减，在上单调递减，即的单调递减区间为，        当时，取，， 故在上单调递增，在上单调递增，即的单调递增区间为.        （ii）注意到，        于是，可知，       由知，        而，得，当且仅当，时取等号.        于是结合单调性有. （2）设，原题等价于有两正解，即有两正解，        注意到，由韦达定理知，即，        而，可得，        而，当且仅当时取等号， 故，可得 变式3．（25-26高一上·陕西·月考）已知函数. (1)设， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当时，求函数的值域. (2)对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）0；（ⅱ） (2). 【详解】（1）当时，， 易知函数的定义域为， （ⅰ）令，，则， 当，即时，取得最小值，最小值为0. （ⅱ）当时，， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，函数的值域为. （2）当时，易知， 可化为， 记函数在上的最大值为，最小值为， 则对任意，，恒成立，等价于， 函数的图象开口向上且对称轴为直线， 当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 结合二次函数图象的对称性易知，当时，， 由，可得，即， 解得，此时，符合题意； 当时，， 由，可得， 解得，此时，符合题意； 当时，在上单调递减， 可得，， 由，可得，解得，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 变式4．（25-26高一上·北京·月考）已知函数是奇函数. (1)求实数的值，并求函数的定义域； (2)若底数，试判断函数的单调性，并解不等式； (3)当时，函数值组成的集合为，求实数，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由是奇函数，得， 即，化简可得， 对比系数得且，解得. 此时，要使函数有意义，则， 解得，故函数的定义域； （2）化简，令，则在区间上单调递减， 因为，在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 由，则， 解得，即， 所以不等式的解集为； （3）由上述分析可知，， 当时，函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 则，得， 解得（舍去负根）. 因为时，， 由于函数在区间上单调递增，且值域为，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $