三角函数图像与性质综合、三角函数新定义问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数图像与性质综合、三角函数新定义问题专项训练 三角函数图像与性质综合、三角函数新定义问题专项训练 考点目录 三角函数图像与性质综合 三角函数新定义问题 考点一 三角函数图像与性质综合 例1．（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)求在区间的值域． 【答案】(1)最小正周期；在单调递减，无单调递增区间 (2) 【分析】（1）由正切函数的周期公式和单调性可解； （2）由正切函数的单调性可得值域. 【详解】（1）的最小正周期， ，解得， 在单调递减，无单调递增区间． （2）由（1）得在区间单调递减． ， 所以的值域为 例2．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)设，将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为偶函数，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题可知，的值域为，故易知. 设函数的最小正周期为，则，且， 解得，因而解得， 故. 又因为图像过点，因此有， 得，， 又因为，故取，得， 即. （2）设向左平移个单位长度后，得到的函数为， 若为偶函数，则有， 得， 因为，故取， 此时即为的最小值，此时. 例3．（25-26高一上·山东·月考）已知函数的部分图象如图所示. (1)若，求的值； (2)求函数，的单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由图象可知， 所以， 又由已知得，，解得， 又，所以， 所以 因为，所以， 所以 （2）因为 令 解得，结合， 所以所求单调递增区间为 ,. 例4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数. (1)若不等式，对任意成立，求整数m的最大值； (2)若函数，将函数g(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象.若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）因为，所以，， 所以； 因为对任意成立，所以， 即，解得，所以整数m的最大值为. （2）， 将函数g(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得， 再向右平移个单位，得到函数的图象，所以. 因为关于x的方程在上有解，所以在上有解， 设，则， 因为，所以，所以. 原方程可化为在内有解，即，， 因为，在时，均为增函数，所以在时为增函数， 所以，即实数k的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期及对称轴、对称中心； (2)求函数在区间上的值域； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【详解】（1）函数的最小正周期为， 由可得，故函数的对称轴为直线， 由可得，故函数的对称中心为. （2）当时，，所以， 故函数在区间上的值域为. （3）由可得， 解得， 所以的取值范围是. 变式2．（25-26高一上·河南·月考）已知函数 的最小正周期为 (1)求在区间上的值域； (2)若在区间上单调递减，求正数的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，所以， 当时， ，， 所以在上的值域为. （2）令，得， 所以的单调递减区间为， 由题意知， 因为在该区间中，所以， 即，所以，解得， 即正数的最大值为. 变式3．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数的部分图象如图所示 (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为偶函数，求a的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可知：， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，可得，即，则， 又因为函数的图象过点， 则，即， 且，则，可得，即， 所以函数的解析式为. （2）因为， 若为偶函数，则，解得， 且，解得，， 所以当，a取到最小值. 变式4．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知函数，其中. (1)若函数的周期为，求函数对称中心坐标； (2)若在区间上为增函数，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由周期为且，得， 解得，即， 令，解得， 所以的对称中心的坐标为； （2）因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增. 由题知，存在使得成立，则必有， 因为给定区间包含正数和负数，而当时，单调递增区间为正， 当时，单调递增区间为负，故只能取， 则，解得，故. 所以的最大值为. 考点二 三角函数新定义问题 例1．（25-26高一上·上海·月考）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1），则， 故， 所以是正弦周期函数. （2）存在，使得，故， 因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以， 又，， 所以， 又， 则， 故，， 因为，所以，且严格增， 由于，， 故，解得， 则整数， 下证. 若不然，，则，由的值域为R知， 存在，，使得，， 则， ， 由严格单调递增可知， 又， 故，这与矛盾. 故，综上所述，； （3）法1：若，则由可知为周期函数. 若，则对任意，存在正整数，使得且. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 所以， 故，所以， 若，则同理可证（取为负整数即可）. 综上，得证. 法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立. 显然. 因为不恒成立，所以存在，使得， 因为，所以存在，使得且， 其中若，取为负整数；若，取为正整数. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 由正弦周期性得， 即， 所以，矛盾，假设不成立， 综上，是周期函数. 例2．（25-26高一上·河南商丘·月考）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【详解】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 例3．（25-26高一上·辽宁大连·月考）若函数满足且，则称函数为“函数”. (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求. 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)，； (3) 【详解】（1）不是为“函数”，理由如下： 因为 所以， 因此，函数不是“函数”. （2）函数满足，令得 ， 即，所以函数为周期函数，且最小正周期为， 因为，则的一个对称轴为. ①当时，， 则； ②当，则， 则， 所以，. 综上所述，， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）由（2）可得函数在上的图象如下图所示， 下面考虑方程在区间的根之和. ①当或时，方程有两个实数解，其和为； ②当时，方程有三个实数解，其和为； ③当时，方程有四个实数解，其和为. 当时，关于的方程（为常数）有解， 记该方程所有解的和为， 所以，当时，； 当或时，； 当时，； 当时，. 因此，. 例4．（25-26高一上·四川成都·月考）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）因为 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）①因为 ， 又，所以当时，当时， 所以， 当时，且在上单调递增，在上单调递减， 当时，则，则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 且，，，，的图象如下所示： 因为有三个实数根，即与有三个交点，所以； ②由①可知，，则， 所以，， 所以 ， 令，则， 所以， 因为在上单调递增，当时， 当时， 即，所以， 所以，所以， 即. 变式1．（25-26高一上·江西萍乡·月考）定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质 (2)存在，， (3) 【详解】（1），， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； （3）由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 变式2．（25-26高一上·河北唐山·月考）定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的最小值; (2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围; (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或 (3)，证明见解析 【详解】（1）依题意有， 令， 则， 因为函数在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 因为，所以， 所以当，即，即时， 函数有最小值； （2）因为， 所以原不等式可化为， 即，为满足题意，必有， 即或①， 令， 由于，结合①可得， 所以的一个零点在区间上，另一个零点在区间上， 从而，即，② 由①②可得或； （3）， 依题意， ， 当时，， 即，于是， 而， 因此， 当时，，则， 所以，即， 而， 因此， 于是， 所以． 变式3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30°，45°，120°角都是可解角. (1)判断，，是否为可解数（无需说明理由）； (2)证明：角是可解角； 【答案】(1)，是可解数；不是可解数. (2)证明见解析 【详解】（1），是可解数；不是可解数. （2）设，则，所以， 又 因为，所以， ， 得，所以是可解数， 又也是可解数， 所以角是可解角，证毕. 变式4．（24-25高一下·河南驻马店·期中）设函数． (1)当时，求解下列问题． （ⅰ）若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点，讨论在上最大值点的个数； （ⅱ）小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每下一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． (2)若，的最小正周期，且曲线与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（i），则， 当时，在上有两个最大值点，， 故在上有2个最大值点；同理当时，在上有1个最大值点； （ii），棋子移动的周期为3， 若棋子停在棋盘最上边的边界线，则，中至少有两个大于或等于， 因为，， 由正弦函数的单调性得， 故， 则或， 故的取值范围是； （2）曲线与直线在上有且仅有1个交点， 即方程在上有且仅有1个根， 由，可知， 又因为，即， 所以， 故， 则只需令， 解得， 即的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数图像与性质综合、三角函数新定义问题专项训练 三角函数图像与性质综合、三角函数新定义问题专项训练 考点目录 三角函数图像与性质综合 三角函数新定义问题 考点一 三角函数图像与性质综合 例1．（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)求在区间的值域． 例2．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)设，将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为偶函数，求的最小值． 例3．（25-26高一上·山东·月考）已知函数的部分图象如图所示. (1)若，求的值； (2)求函数，的单调递增区间. 例4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数. (1)若不等式，对任意成立，求整数m的最大值； (2)若函数，将函数g(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象.若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 变式1．（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期及对称轴、对称中心； (2)求函数在区间上的值域； (3)已知，求的取值范围． 变式2．（25-26高一上·河南·月考）已知函数 的最小正周期为 (1)求在区间上的值域； (2)若在区间上单调递减，求正数的最大值. 变式3．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数的部分图象如图所示 (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为偶函数，求a的最小值. 变式4．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知函数，其中. (1)若函数的周期为，求函数对称中心坐标； (2)若在区间上为增函数，求的最大值. 考点二 三角函数新定义问题 例1．（25-26高一上·上海·月考）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 例2．（25-26高一上·河南商丘·月考）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 例3．（25-26高一上·辽宁大连·月考）若函数满足且，则称函数为“函数”. (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求. 例4．（25-26高一上·四川成都·月考）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 变式1．（25-26高一上·江西萍乡·月考）定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 变式2．（25-26高一上·河北唐山·月考）定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的最小值; (2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围; (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论． 变式3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30°，45°，120°角都是可解角. (1)判断，，是否为可解数（无需说明理由）； (2)证明：角是可解角； 变式4．（24-25高一下·河南驻马店·期中）设函数． (1)当时，求解下列问题． （ⅰ）若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点，讨论在上最大值点的个数； （ⅱ）小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每下一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． (2)若，的最小正周期，且曲线与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $