期末培优：函数的奇偶性6种高频考点专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期末培优：函数的奇偶性6种高频考点专项训练 期末培优：函数的奇偶性6种高频考点专项训练 考点目录 函数奇偶性的定义与证明 利用奇偶性求函数解析式 利用奇偶性求值 利用奇偶性判断函数图像 利用单调性与奇偶性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义与证明 例1．（25-26高一上·上海奉贤·月考）已知函数 (1)讨论的奇偶性，并说明理由； (2)若是在的严格增函数，求的取值范围． 例2．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并给予证明； (2)求不等式的解集． 例3．（25-26高一上·宁夏固原·期中）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明． 变式1．（25-26高一上·四川·月考）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 变式2．（25-26高一上·海南儋州·期中）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 变式3．（25-26高一上·云南曲靖·月考）已知函数的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性． 考点二 利用奇偶性求函数解析式 例1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·四川遂宁·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为 例4．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知为偶函数，为奇函数，且满足，则的值为 . 变式1．（25-26高一上·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 变式2．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当， ． 变式4．（25-26高一上·江苏·月考）设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为 考点三 利用奇偶性求值 例1．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数为偶函数，则（　　） A． B．0 C． D．1 例2．（2025·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象关于轴对称，且，则（　　） A． B．2 C．3 D．4 例3．（2026·四川绵阳·二模）已知函数为奇函数，则实数 . 例4．（25-26高三上·江西·月考）已知，且，若函数是偶函数，则 ． 变式1．（2026·四川宜宾·一模）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-4 B．-3 C．3 D．4 变式2．（2026·吉林·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式3．（25-26高一上·上海·月考）若函数是奇函数，则 . 变式4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 考点四 利用奇偶性判断函数图像 例1．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A．B．C． D． 例2．（25-26高一上·广西贵港·月考）函数的大致图像可能是（   ） A．B．C． D． 变式1．（24-25高一下·山东淄博·月考）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·四川攀枝花·月考）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 考点五 利用单调性与奇偶性解不等式 例1．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·辽宁·期末）若定义在上的奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·河南·月考）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为 ． 例4．（25-26高一上·江苏镇江·月考）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 例5．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围. 例6．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式． 例7．（25-26高一上·四川成都·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 变式1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期末）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·天津·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为 . 变式4．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为 . 变式5．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上为增函数； (2)若，求实数的取值范围. 变式6．（25-26高一上·上海浦东·月考）已知函数. (1)根据定义法证明在区间上单调递增； (2)设，求解关于的不等式. 变式7．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，． (1)求的值和的解析式； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 考点六 抽象函数的奇偶性 例1．（25-26高一上·辽宁大连·期末·多选）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论中错误的有（    ） A． B．为偶函数 C． D．为增函数 例2．（25-26高一上·浙江温州·月考·多选）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上单调递增 例3．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 例4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 变式1．（25-26高一上·江苏镇江·月考·多选）已知定义在实数集上的函数满足，且对任意实数都有，当时，，则下列说法中正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．函数在上单调递增 D．若不等式的解集为 变式2．（25-26高一上·广东东莞·期中·多选）已知f（x）是定义在R上的函数；对于任意实数a，b满足，当x＞1时，f（x）＞0，则（   ） A．f（1）＝0 B．f（|x|）＝f（x） C．f（x）在上单调递增 D．方程f（x）＝0有3个实数根 变式3．（25-26高一上·广东肇庆·月考）定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 变式4．（25-26高一上·天津滨海·月考）已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证： (1)是偶函数； (2)是的周期； (3)当在上是减函数时，的最小正周期是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：函数的奇偶性6种高频考点专项训练 期末培优：函数的奇偶性6种高频考点专项训练 考点目录 函数奇偶性的定义与证明 利用奇偶性求函数解析式 利用奇偶性求值 利用奇偶性判断函数图像 利用单调性与奇偶性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义与证明 例1．（25-26高一上·上海奉贤·月考）已知函数 (1)讨论的奇偶性，并说明理由； (2)若是在的严格增函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，非奇非偶函数；当时，偶函数；当时，奇函数；理由见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 当时,，，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，，所以是偶函数； 当时，，，所以是奇函数； 当且时，，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数； 因此,当时，既不是奇函数也不是偶函数； 当时，是偶函数；当时，是奇函数； （2）设且， ， 因为在上是增函数,且,所以， 又因为在上是严格增函数,所以， 即,所以,即， 因为,所以,则， 所以,所以， 因此,的取值范围是． 例2．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并给予证明； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【详解】（1）由，解得，则函数的定义域为，关于远点对称， 因为，所以函数是奇函数； （2）函数在上单调递增，而， 因此不等式，则，解得， 所以不等式的解集. 例3．（25-26高一上·宁夏固原·期中）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明． 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 【详解】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为. （2）为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数. 变式1．（25-26高一上·四川·月考）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 【答案】(1)， (2)为奇函数，证明详见解析. 【详解】（1）由得，；由得，； 联立解得，，. （2）为奇函数. 证明：由（1）知，，定义域为， 则，所以， 所以为奇函数. 变式2．（25-26高一上·海南儋州·期中）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【详解】（1）由题意，解得， 所以的定义域为； （2）为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数. 变式3．（25-26高一上·云南曲靖·月考）已知函数的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性． 【答案】(1) (2)函数为偶函数 【详解】（1）因为函数的图象经过点，， 则，解得， 所以的解析式为. （2）因为函数的定义域为， 且， 所以函数为偶函数. 考点二 利用奇偶性求函数解析式 例1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数为上的奇函数，且当时，， 当时，，可得，所以， 又因为为上的奇函数，则， 则可转化为或，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 例2．（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，， 设时，则，可得. 故选：C 例3．（25-26高一上·四川遂宁·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为 【答案】 【详解】设，则， 所以， 根据奇函数性质得：， 所以当时，的解析式为：. 故答案为： 例4．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知为偶函数，为奇函数，且满足，则的值为 . 【答案】 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 因为， 所以，与联立，解得， . 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以，得， 则当时,， 故， 所以. 故选：C. 变式2．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 当时，， 所以当时，. 故选：B 变式3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当， ． 【答案】 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 变式4．（25-26高一上·江苏·月考）设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为 【答案】 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 则，， 两式相减得， 则， 则. 故答案为： 考点三 利用奇偶性求值 例1．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数为偶函数，则（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， 又因为， 可得，即 所以，解得. 故选：B. 例2．（2025·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象关于轴对称，且，则（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为函数的图象关于轴对称， 所以函数为偶函数，所以，即， 即，即，即， 所以，又，解得． 故选：B 例3．（2026·四川绵阳·二模）已知函数为奇函数，则实数 . 【答案】2 【详解】由题可得的定义域为, 由于函数为奇函数，所以， 即, 则，解得：， 故答案为： 例4．（25-26高三上·江西·月考）已知，且，若函数是偶函数，则 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为. 因为是偶函数，所以，即. ，即， 因为，所以，即， 因为对任意均成立，所以，即， 又，所以. 故答案为：． 变式1．（2026·四川宜宾·一模）若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-4 B．-3 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由函数为上的奇函数，且当时，，得， 解得，，所以. 故选：B 变式2．（2026·吉林·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】若，则，函数无意义，故， 由，解得，所以函数的定义域为 因为函数是奇函数，所以对均成立， 即对均成立， 所以对均成立， 所以对均成立， 所以对均成立， 因为，所以对均成立，所以. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·上海·月考）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【详解】当时，则，则，解得; 当时，则，则，解得. 故 变式4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】已知，则， 由，得 即对所有成立． 若，化简得，不满足对所有成立，舍去； 若，化简得，解得． 将代入，得 不等式，即，即，即， ∵，∴，即， ∴． 故答案为：． 考点四 利用奇偶性判断函数图像 例1．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A 例2．（25-26高一上·广西贵港·月考）函数的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，解得或， ，分析各选项中图像，排除选项A和B； 又， 为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项C． 函数的大致图像可能为选项D． 故选：D． 变式1．（24-25高一下·山东淄博·月考）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 由于该函数的定义域为，所以可得是奇函数， 故函数的图象关于原点对称，所以C、D是错误的； 当时，所以此时有，故B是错误的； 所以A是正确的； 故选：A. 变式2．（25-26高一上·四川攀枝花·月考）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为,关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故AC错误； 当时，，故B错误D正确. 故选：D 考点五 利用单调性与奇偶性解不等式 例1．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上是奇函数，故， 故， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示.    由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是. 故选：B 例2．（25-26高一上·辽宁·期末）若定义在上的奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上是减函数， 所以函数在也是减函数且， 当时，要使，则， 则或，解得或， 当时，要使，则， 则或，解得或，所以， 综上不等式的解集为. 故选：D 例3．（25-26高一上·河南·月考）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 故在上单调递增， 又，故，即， 所以，故或，解得或， 故解集为. 故答案为： 例4．（25-26高一上·江苏镇江·月考）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 【答案】 【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又因为奇函数在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： ①当时，有或， 解得：， ②当时，有或， 解得：， ③当时，满足题意， 综上得：或， 所以满足的的取值范围是， 故答案为：. 例5．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当，则，所以， 又因为为奇函数， 所以； （2）当时，，且均在上单调递增， 所以在上单调递增，且此时， 因为是定义在上的奇函数， 由对称性可知在上单调递增，且此时， 又因为，且，所以在上单调递增； 由上可知， 所以，解得， 所以的取值范围为. 例6．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，则， 此时满足题意，所以， （2）由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数. （3）因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足，解得， 所以不等式的解集为. 例7．（25-26高一上·四川成都·期中）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)1 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）由题意，则， 此时， 则，即为奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递减，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，，， 故，即， 所以在上单调递减. （3）由， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以，则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式1．（25-26高一上·黑龙江绥化·期末）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由奇函数在定义域上单调递减，得， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 变式2．（24-25高一上·天津·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增 ， 因为，所以由偶函数性质知 所以，解得：. 故选：C． 变式3．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】设， 由且，得， 则在上单调递增， 因为为奇函数，所以， 所以，故为偶函数， 而， 所以有，又在上单调递增， 所以，解得， 所以所求不等式解集为. 故答案为：. 变式4．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】对任意，且时，都有成立， 可得在上单调递减， 因为为偶函数，所以在上单调递增， 所以,解得或. 故答案为:. 变式5．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上为增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析； (2) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数． 所以，解得， 当时，， 则， 则函数是定义在上的奇函数，所以． 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递增． （2）由题意，函数是定义在上的奇函数，且， 则， 因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 所以，则，解得， 所以的取值范围是． 变式6．（25-26高一上·上海浦东·月考）已知函数. (1)根据定义法证明在区间上单调递增； (2)设，求解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：任取， 则，， 则， 所以， 所以在区间上单调递增； （2）因为， 即为奇函数且在区间上单调递增， 由可得， 由可得，， 故， 解得或（舍， 故的范围为. 变式7．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，． (1)求的值和的解析式； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为为奇函数，所以. 因为定义域为R的是奇函数，所以， 当时，，则，又， 所以， 综上，. （2）因为，且在R上单调， 所以在R上单调递减， 由，得， 所以， ，即对任意的恒成立， ，即. 所以的取值范围为. 考点六 抽象函数的奇偶性 例1．（25-26高一上·辽宁大连·期末·多选）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论中错误的有（    ） A． B．为偶函数 C． D．为增函数 【答案】ACD 【详解】对于A：令，得， 即，得，故A错误； 对于B：令，得，又由前分析可知，， 故有，得， 又因为函数的定义域为，因此为偶函数，故B正确； 对于C：令，得，又由前分析可知，， 故有，得，故C错误； 对于D：由题可知，由前分析可知， 因为，而，故不可能为增函数，故D错误. 故选：ACD. 例2．（25-26高一上·浙江温州·月考·多选）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为奇函数 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【详解】令，则， 所以， 因为当时，， 所以. 令，则， 即，解得，故A正确； 令代换中的，则，即， 因为当时，，下面说明不存在，使得： 假设存在，使得，则存在，使得， 此时， 因为，所以，解得， 与矛盾，所以. 所以，令代换，所以，故B错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，即， 又，即， 将其代入，可得 ，化简可得， 所以为奇函数，故C正确； 令，则，解得，因为，所以在区间上不是单调递增的，故D错误. 故选：AC. 例3．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 例4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)为上的奇函数，证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）由题设有，， . （2）为上的奇函数，证明如下： 令，则，故， 令，则，故， 故为上的奇函数. （3）为上的减函数，证明如下： 证明：，由题设有， 故，而，故， 故即为上的减函数. 由题设有， 所以可化为： 即， 故即， 若，则，不等式的解为或； 若，则，不等式的解为或； 若，则不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 综上，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 变式1．（25-26高一上·江苏镇江·月考·多选）已知定义在实数集上的函数满足，且对任意实数都有，当时，，则下列说法中正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．函数在上单调递增 D．若不等式的解集为 【答案】AD 【详解】因为定义在实数集上的函数满足， 对于A，令可得，解得， 所以，正确； 对于B，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，错误； 对于C，任取、且，则，可得， 所以， 故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，错误； 对于D，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则， 可得或，解得或， 因此不等式的解集为，正确. 故选：AD 变式2．（25-26高一上·广东东莞·期中·多选）已知f（x）是定义在R上的函数；对于任意实数a，b满足，当x＞1时，f（x）＞0，则（   ） A．f（1）＝0 B．f（|x|）＝f（x） C．f（x）在上单调递增 D．方程f（x）＝0有3个实数根 【答案】ACD 【详解】对于：将，代入可得， 即，可得，正确； 对于：将，代入可得， 即，因为，所以； 将，代入可得，即，所以为奇函数； 当时，，所以，当时，，所以；故选项错误； 对于：设，，得， 当时，，所以，，即， 所以在上单调递增，选项正确； 对于：令，为任意不等于的实数，代入可得，整理得， 因为，所以；当时，；当时，，， 因为，所以，故；当时，，所以， 所以；当时，，，所以； 所以的根为，共3个，所以选项正确； 故选：. 变式3．（25-26高一上·广东肇庆·月考）定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1), (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）令，则 , 令，则, . （2）令，则 ， ∴为定义域上的偶函数. （3）据题意可知，函数图象大致如下：   ， 或， 或 所以原不等式的解集为或 变式4．（25-26高一上·天津滨海·月考）已知函数定义在上，对任意，都有，且存在正数满足，求证： (1)是偶函数； (2)是的周期； (3)当在上是减函数时，的最小正周期是． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）令得， 由得，又， 得，所以是偶函数． （2）由，得，即， 故，， 所以是的周期． （3）设是的最小正周期，若，则， 又在上单调递减，，故． 在中取，得， 则，又，则． 但，矛盾，所以的最小正周期不小于， 又是的正周期，故是的最小正周期． 2 学科网（北京）股份有限公司 $