期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 考点目录 函数单调性的定义与证明 利用函数的单调性求值域 利用函数的单调性解不等式 复合函数的单调性 分段函数的单调性 二次函数的单调性 考点一 函数单调性的定义与证明 ☑1.2526高一上上海音陀月考)已知a>0,1)名+且)是定义在R上的偶函题 (1)求a的值； (2)判断函数y=f(x)在(0，+∞)上的单调性，并用定义证明. 例2.(2526高一上，贵州贵阳月考)已知定义域为R的函数f(x=4如-2是奇函数 1+2 (1)求a的值： (2)判断并证明f(x的单调性： 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 例3.(25-26高一上广西南宁期中)己知函数f(x)=x+m的图象经过点(1,5) (I)求∫(x)的解析式； (②)判断∫(x)在(0,2)上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 变式1.(25-26高一上陕西安康期中)已知函数fx=+m(m∈R)的图象经过点(2,3) x-m (1)求函数f(x)的解析式，并求ff(-1的值； (2)判断函数f(x)在区间(1，+0)单调性，并用定义证明. 2 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 变式2.(25-26高一上重庆期中)已知函数f)=2_b,且f(-)=-1,f0=3 (1)求f(x)解析式： (2)证明：函数∫(x)在区间(1，+∞)单调递增 变式3.(25-26高一上福建厦门-月考)已知函数f)=2x+b是定义在[-1，a+上的奇函数。 x2+a (I)求f(x)的表达式： (2)判断f(x)在区间[-1，a+b]上的单调性，并证明你的结论. 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 考点二 利用函数的单调性求值域 例1.2526商-上江苏常州期中)已知强数1到-套收eR,且2=号 (I)求函数∫(x)的解析式，判断函数fx)的奇偶性并证明： (2)用定义证明f(x)在区间(0，+0)上单调递减： (3)求函数∫(x)在区间[-2，-1川上的值域.（直接写出结果） 例2.(25-26高一上辽宁期中)已知函数f(x)=x+m的图象经过点1,8。 (1)求f(x)的解析式： (2)判断(x在(0,2)上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 3)求(x在 上的值域 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 例3.2526商-上广东潮州月为已狂1-中e-20: (1)求证：函数f(x在区间(-2,0)上是减函数： (2)求函数f(x)在区间(-2,0)上的值域. 交式1.(2526商一上：江苏无锡月考)已知函数/四满足x+文十2X+2 证明：-+日=0： (2)证明：f(x)在1，+∞)上单调递减，并求f(x)在[1,2上的值域. 5 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 变式2.2425商一上澜商长沙月考)已知八到=4x(-22. (1)求证：函数f(x在区间(-2,2)上是增函数： (2)求函数f(x)在区间(-2,2)上的值域 变式3.(2425高一上吉林长春月考)设函数fx)=2x+ x-2 (1)判断函数在(-0,2)上的单调性，并证明： (2)求f(x)在区间(-7，-3引上的值域. 6 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 考点三 利用函数的单调性解不等式 例1.(25-26高一上·福建厦门月考)已知函数y=f(x是定义在R上的减函数，且f(2a-3)<f(a-2),则实数a 的取值范围是() 5 A.（-0,l B.(1,+0) 12》 例2.(25-26高一上·浙江温州月考)已知f(x)为R上的减函数，则满足fx2-2x)<f(3)的实数x的取值范围是 () A.[-1,3] B.（-00,-1U(3,+o）C.（-3,3 D.（-o0,-3)U1,+o 例3.(25-26高一上·上海月考)函数f(x)在R上是严格增函数，且f(2x-3)>f(5x+6),则x的取值范围是 例4.(2526高一上广东广州月考)己知函数f(x)在R上单调递增，若f(1og,m>∫(1)，则实数m的取值范围为 变式1.(2425高一上江苏镇江期末)已知函数f)= 列不等我-2小少-的解奖（ A.(-1,) B.(-0,-1)U(1,+0)C.(-2,1) D.(-1,2) 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 变式2.(2526高一上甘肃白银月考)函数f(x)是定义在0，+0的增函数，则满足f2x-<f3的x取值范 围() A(G到 B别 c.2 D.剖 变式3.(25-26高三上·上海期中)定义在(0，+0)上的函数y=f(x)满足：对任意的x,x2∈(0，+∞)，且x≠x2, 均有-f>0成立，3)=9，则不等式>3x的解集为 x1-X2 变式4.2526商一上网川南充月多》定义在0+x)的所数了田满足儿二0，且付-2，则不 X-x2 等式f(x)-4x>0的解集为 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 考点四 复合函数的单调性 例1.(25-26高一上贵州遵义月考)函数f)=1og-x+x+2)的单调递减区间为() A（》B.（-2 D.（ 例2.(25-26高一上浙江宁波期中)函数f八=-4+3 1 的单调递增区间是() A.-0,2 B.-0,1,1,2 C.-0,1,(2,3 D.（2,3,(3,+0) 例3.(25-26高一上江苏南京·月考)函数y=√-x2+2x+3的增区间是一· 例4.(25-26高三上贵州月考)己知函数f(x)=√-x2+ax+8在[6,8上单调递减，则a的取值范围是一· 变式1.(2526高一上·天津西青·月考)函数f(x)=1g-刂的单调递减区间为（) 2 A.（-0,0) B.(0,+o) C.(-0,-10 D.(1,+0) 变式2.(24-25高一上·青海期中)函数y=Vx2-5x+4的单调递减区间是() 5 B.(-0, C.[4,+0 变式3.(25-26高一上·新疆塔城月考)函数f(x)=ln(x2-x-6)的单调递减区间是 变式4.(2425高一上：浙江期中)若函数f=。,(a>0,且a=1）在区间分2上单调递塔，则a的取信 范围是 9 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 考点五 分段函数的单调性 -x2+2ax-3,x≤1 例1.(25-26高一上：云南昆明期中)已知函数f(x)= 1 是单调函数，则实数a的取值范围是() x+，x>1 A.(0,川 B.[1,3] C.[l,+o∞j】 D.（-0,3) 例2.(25-26高一上江苏镇江月考)已知函数f(x= 1-2m)x+m,x<1 lnr+2m,x≥1 当x≠x2时，有 (x-x2)(f(x)-f(x,)>0,则实数m的取值范围是() B 例3.(25-26高一上：四川宜宾月考)已知函数f(x)= -6ar+2,x<1,a>0,a≠，若函数f()满足：对于任意 a'-2x,x21 的X,为，当≠5时，都有儿<1，则实数的取值范围是 2x-x2 a 例4.(2526高一上河南驻马店期中)若函数fx=x+x>1 在R上单调递减，则a的取值范围 (1-2ax+3,x≤1 是 变式1.(2526高一上贵州安顺月考)已知函数f()= :-ar+3,在R上是增函数，则实数a的取值范围 (2a-3x+2,x<1 是() D.剖 10期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 期末培优：函数的单调性6种高频考点专项训练 考点目录 函数单调性的定义与证明 利用函数的单调性求值域 利用函数的单调性解不等式 复合函数的单调性 分段函数的单调性 二次函数的单调性 考点一 函数单调性的定义与证明 例1．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知，且是定义在上的偶函数． (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)1 (2)函数在上单调递增；证明见解析 【详解】（1）因为，且是定义在上的偶函数， 所以， 即对任意恒成立， 解得. （2）函数在上单调递增； 证明：由（1）可得， 任取，且， 则 因为，所以，，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 例2．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； 【答案】(1) (2)为上的减函数，证明见解析 【详解】（1）因为定义域为的奇函数，则，解得， 经检验此时满足， 则符合题意. （2）函数为上的减函数， 证明如下：对于任意实数，令，则， 因， 则 又， 则，即， 故为上的减函数. 例3．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减. 证明如下： 设，且， 则， 因为，所以，， 所以，则， 即，所以在上单调递减； 变式1．（25-26高一上·陕西安康·期中）已知函数（）的图象经过点. (1)求函数的解析式，并求的值； (2)判断函数在区间单调性，并用定义证明. 【答案】(1)，； (2)单调递减，证明见详解 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 可得，所以. （2）在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，函数， 任取，且， 则， 因为，可得，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 变式2．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，且. (1)求解析式； (2)证明：函数在区间单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， 且，解得. 所以函数的解析式为. （2）证明：任取，且， .    所以，所以， 所以函数在单调递增. 变式3．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增． 考点二 利用函数的单调性求值域 例1．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知函数，且. (1)求函数的解析式，判断函数的奇偶性并证明； (2)用定义证明在区间上单调递减； (3)求函数在区间上的值域.（直接写出结果） 【答案】(1)，奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题设，，解得，故， 函数为奇函数，证明如下： 定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数； （2）由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 则，故， 则在区间上单调递减； （3）由（1）（2）知，在上单调递减，且函数为奇函数， 所以在上递减，则函数在上递减， 而，， 故在区间上的值域为. 例2．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以， 解得，所以； （2）在上单调递减. 证明如下： 设满足的任意， 有， 因为，所以， 所以，则， 即，所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 因为， 所以在上的值域为. 例3．（25-26高一上·广东潮州·月考）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 变式1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数满足． (1)证明：； (2)证明：在上单调递减，并求在上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递减证明见解析，在上的值域为 【详解】（1）由，令，则，则有， ，即， ，， 所以． （2）设，则， 因为，，所以，即在上单调递减， 又，，故值域为． 变式2．（24-25高一上·湖南长沙·月考）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 变式3．（24-25高一上·吉林长春·月考）设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为. 考点三 利用函数的单调性解不等式 例1．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，且函数是定义在上的减函数， 则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B 例2．（25-26高一上·浙江温州·月考）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 例3．（25-26高一上·上海·月考）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数在上是严格增函数，且， 所以，解得. 故答案为：. 例4．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数在上单调递增，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】∵函数在上单调递增，且, ∴，即，解得. 故答案为：. 变式1．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 变式2．（25-26高一上·甘肃白银·月考）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 变式3．（25-26高三上·上海·期中）定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】对任意的，且，均有成立， 即对任意的成立， 则对任意的成立， 令，则在单调递增， 又， 即，且， 即，又在单调递增， 解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为： 变式4．（25-26高一上·四川南充·月考）定义在的函数满足，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】，，，有，， 设，有，则，都有， 所以在区间上单调递增，， 则当时，由，得，即， 解得，故原不等式的解集为． 故答案为：． 考点四 复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·贵州遵义·月考）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对数的真数大于0， ，即，解得， 令，则， 的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 复合函数的单调性满足同增异减， 在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 例2．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 例3．（25-26高一上·江苏南京·月考）函数的增区间是 ． 【答案】 【分析】由偶次根式有意义,可得定义域为,再根据复合函数的同增异减法则可得. 【详解】函数是由函数复合而成的， 在其定义域上为增函数， 要求函数的增区间即求函数的增区间， 由于函数的增区间为， 又由函数的定义域为, 故函数的增区间是. 故答案为：． 例4．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得解得． 故答案为： 变式1．（25-26高一上·天津西青·月考）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域需满足，解得或， 的定义域为， 设，当时，，且关于单调递增， 当时，，且关于单调递减， 在定义域上单调递减， 的单调递减区间为，故D正确． 故选：D． 变式2．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 变式3．（25-26高一上·新疆塔城·月考）函数的单调递减区间是 ; 【答案】 【详解】由得或，令，该函数在上递减，在上递增， 函数在上单调递增，求函数的单调递减区间， 即求在定义域上的单调递减区间，所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 变式4．（24-25高一上·浙江·期中）若函数，（，且）在区间上单调递增，则的取值范围是 【答案】 【详解】可看作由函数与函数复合而成， 当时，因为为增函数，所以在上单调递增即可，由对勾函数的单调性，只需，解得， 当时，因为为减函数，所以在上单调递减即可，由对勾函数的单调性，只需，解得， 综上，的取值范围为， 故答案为： 考点五 分段函数的单调性 例1．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，是单调递增函数， 因为函数是单调函数， 则函数在上单调递增函数， 则,解得：, 所以实数的取值范围是. 故选：B 例2．（25-26高一上·江苏镇江·月考）已知函数，当时，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时, 有，则函数为增函数， 则， 即实数的取值范围是. 故选： B. 例3．（25-26高一上·四川宜宾·月考）已知函数，若函数满足：对于任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】由，即，对于任意的，当时成立， 所以函数是R上的减函数， 又， 所以，解得. 则实数的取值范围是， 故答案为： 例4．（25-26高一上·河南驻马店·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 所以解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·贵州安顺·月考）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数单调递增可得，解得， 当时，函数单调递增可得，解得， 同时需满足，解得. 综上，. 故选：D 变式2．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 变式3．（24-25高二下·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由对任意的且，不妨假设， 因为恒成立，所以， 则在上单调递减， 根据复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递减， 需满足在上单调递增，故需， 还需满足且，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 变式4．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是上的减函数，则的取值范围是 【答案】 【详解】设，. 因在R上单调递减，则在上单调递减，在上单调递减，， 即. 故答案为：. 考点六 二次函数的单调性 例1．（25-26高一上·山东青岛·期中）设二次函数的图象过点和，且对于任意的实数，不等式恒成立． (1)求函数的表达式； (2)设在区间上是增函数且恒为正值，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，则，故， 由恒成立，则恒成立， 所以，可得，则， 所以； （2）由题设在上单调递增且恒正， 由的图象开口向下，对称轴为，即在上单调递增， 所以. 例2．（25-26高一上·福建福州·月考）已知二次函数，且． (1)若函数的图象关于直线对称，求的解析式； (2)若函数在上单调，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），则． 因为的对称轴为直线， 解得， 则， 故． （2）因为在上单调， 则对称轴不在区间内， 即或． （i）当时，有或． 又，即， 则或， 结合得； （ii）当时，有或． 由得或， 结合得， 综上，的取值范围是． 例3．（25-26高一上·四川遂宁·期中）已知二次函数的图象关于对称，的解集为，. (1)求的值和的解析式； (2)若函数在区间上具有单调性，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设，由条件可得，解得， 所以； 令，得，解得， 所以. （2）因为在区间上具有单调性，且函数图象的对称轴为， 所以或，解得或， 所以的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·河南鹤壁·月考）二次函数图象与轴的一个交点为，它与二次函数的图象有相同的对称轴，且两函数图象与轴的交点相同. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题得函数的对称轴为直线，所以与轴的另一个交点为， 则可设，代入与轴的交点，解得， 则. （2），所以的单调递减区间为. 则，解得，则的取值范围为. （3）易知的对称轴为直线， 当时，开口向上，时，故不符合在上恒成立， 当时，开口向下，∴在上单调递减， ∴，即，∴. 综上，的取值范围为. 变式2．（24-25高一上·北京通州·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)2 (3)答案见解析 【详解】（1）因为，不等式为. 对于方程，解得. 所以不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上. 因为在区间上单调递增， 所以.解得.所以的最小值为2. （3）因为， 所以，即. 当，即时，解得，或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 变式3．（25-26高一上·广东韶关·月考）已知二次函数满足且该函数图象与轴交于点，在轴上截得的线段长为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在是单调函数，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设， 将代入上式得，所以， 由于，所以， 依题意可知和轴有两个交点，， 解得或. 设图象与轴的两个交点的横坐标为， 则，则， 解得. （2）若在是单调函数， 所以或， 解得或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $