以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 考点目录 以二次函数为背景的面积问题 以二次函数为背景的角度问题 以二次函数为背景的相似问题 考点一 以二次函数为背景的面积问题 例1.(25-26九年级上福建厦门期末)如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C. VA 图1 图2 (1)直接写出点A,B,C的坐标； (2)如图1，连接AC,点D在线段AC上，若△ABD的面积为5，求点D的坐标； (③)如图2，点P在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线1与抛物线有唯一公共点P,平移直线1，使其经过点 (O,4),与抛物线交于M,N两点，连接AP交MN于点E,Q为MN的中点，连接AQ,设点P的横坐标为m,若 △AEQ的面积为2，求m的值. 【答案】①)A-1,0),B(3,0),C0,-3 (3)2 【详解】(1)解：将x=0代入y=x2-2x-3得：y=-3, 则点C(0,-3), 将y=0代入y=x2-2x-3得 x2-2x-3=0 解得x=-1或x=3, 则点A-1,0)、B(3,0): 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 (2)解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G,连接BD, G A八 D 图1 设直线AC的解析式为y=ax+b, 将A(-1,0)、C(0,-3代入y=x+b得 「-k+b=0 b=-3 ,k=-3 解得b=3 则直线AC的解析式为y=-3x-3, 设点D(m,-3m-3),则DG=-3m-3=3m+3 Sm号0G-AB, 即3m+3[3-(l]=5, 郭将a=-合 当ms- 6 则点(。引： (3)解：抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=-2=1, 2×1 设点P坐标为m,m2-2m-3,其中m>1,直线1的解析式为y=kx+b 由于直线1与抛物线有唯一公共点P, 则m2-2m-3=km+b, 解得b=m2-2m-3-km, 则直线1的解析式为y=kx+m2-2m-3-k,m 2 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 联立 y=x2-2x-3 y=kx+m2-2m-3-km 整理得x2-2+k)x+km-m2+2m=0, 判别式△=(2+k)2-4×1×km-m2+2m)=0, 解得k1=2(m-1, 则b=m2-2m-3-2(m-1)m=-m2-3, 因此，直线1的解析式为y=2m-1x-m2-3: 设直线1平移的直线MN的解析式为y=2(m-1)x+b,, 将0，-4)代入y=2(m-1x+b得：b=4, 则直线MN的解析式为y=2(m-1)x-4, y=x2-2x-3 联立 =2m-1)x-4得 x2-2mx+1=0, 设点M(x,)、N(x2,y2), 由根与系数关系得：x+x2=一 -2m=2m, 1 由于Q为MN的中点， 则点Q的横坐标为。=十五=m, 2 将xg=m代入y=2(m-1)x-4得： yg=2(m-1m-4=2m2-2m-4, 则点Q(m,2m2-2m-4, 设直线AP的解析式为y=k4x+b:, 将A-1,0)、Pm,m2-2m-3代入y=k4x+b,得： -k4+b,=0 mk4+b,=m2-2m-3' k4=m-3 解得 b4=m-3' 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 则直线AP的解析式为y=m-3x+m-3, y=（m-3)x+m-3 联立 y=2(m-1)x-4得 mx-x+m+1=0, 解得x=m+1 m+1' 由于m>1, 则x=m+!-1, m+1 将x=1代入y=(m-3)x+m-3得：y=(m-3)+m-3=2m-6, 则点E(1,2m-6, 将y=0代入直线MN的解析式y=2m-)x-4得： 2(m-1x-4=0, 解得x=2 m-1’ 则直线MN与x轴的交点横坐标为x=2 _12 S.e-2m-可 2--2a-4小 1.26-2m+2m 即 2m-1 +1.2(2m㎡2-2m-4)=2, 2m-1 解得m=2或m=1(不符合题意，舍去)， 因此，m的值为2. 例2.(25-26九年级上天津东丽期末)己知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，其中A点坐 标为(-3,0)，与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上. D (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一点P,使△PAD周长最小，求P点坐标； 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 (3)Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BD2面积的最大值； 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)点P(-1,-2 7 68 【详解】(1)解：把A-3,0),D(-2,-3代入y=x2+bx+c, （-3)2-3b+c=0 -22-2b+c=-3 [b=2 解得： c=-3' 则抛物线的表达式为：y=x2+2x-3; (2)解：把x=0代入y=x2+2x-3得：=-3， ∴C(0,-3), D-2,-3, ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C,连接AC交抛物线对称轴于点P,连接PD,如图所示： A B D 则PD=PC, .PA+PD=PA+PC, 两点之间线段最短， 此时PA+PC最小，即PA+PD最小， ~AD为定值， 此时△PAD的周长最小， 则点P为所求点， 设直线AC的函数表达式为y=x+b,把A(-3,0),C(0,-3代入得： 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 -3k+b=0 b=-3 [k=-1 解得： b=-3' ∴直线AC的表达式为：y=-x-3, 抛物线的对称轴为直线x=2× 2 =-1, 把x=-1代入y=-x-3得，y=-2, 即点P(-1,-2)； (3)解：过点Q作QH∥y轴交BD于点H,如图所示： A D 令x2+2x-3=0, 解得：x=1,x2=-3, ∴点B(1,0), 设直线BD的解析式为y=+b,把B1,0),D(-2,-3代入得： k'+b'=0 -2k+b=-3' [k'=1 解得： b'=-1’ 直线BD的表达式为：y=x-1, 设点H(m,m-1),则点Q(m,m2+2m-3, 则HQ=m-1-(m2+2m-3=-m2-m+2, 则S.w之×H0x。-) =-m2-m+2×1-(-2] 6 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 + =-3m+1227 2m+2+ , 3 <0, 2 当m=-)时，△BD0面积的最大值为 8 例3.(25-26九年级上·贵州黔西·期末)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0)和B(3,0), B衣 (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)若点D是该二次函数图象与y轴的交点，点E是第四象限内二次函数上的点（不与B、D重合），连接DE、BD 、BE,求BDE面积的最大值， 【答案】(I)y=x2-2x-3,直线x=1 号 【详解】(1)解：将A-1,0),B(3,0)代入二次函数y=x2+bx+c,得： [1-b+c=0 [b=-2 9+3b+c=0'解得： (c=-3' ·二次函数的解析式为y=x2-2x-3, 2-1: 对称轴为：直线x=2 (2)解：当x=0时，y=02-2×0-3=-3, 即D(0,-3, 设直线BD解析式为y=c+a, 将B(3,0)、D0,-3)代入得： 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 0=3k+a -3=a k=1 解得： (a=-3' 即直线BD解析式为y=x-3, 如图，过E作EC⊥x轴交x轴于C,交直线BD于F, B E 设Ee,e2-2e-3,则F(e,e-3), re-3e-2-列t+e-e-g 可知当e三二时，EF有最大值， S ME-S m+SxEFxOC+xEFxBC-xEFxOB-xEFx3-3EF, 2 2 ∴当EF最大时，BDE的面积最大， 此时SBDE= F-3x927 3 2^48 变式1.(25-26九年级上四川南充期末)点P在经过A2,0),B(0,-6),C5, 3 的抛物线上，且满足∠ABP=45° A (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式 (2)求点P的坐标. (3)如图2，点T在直线AC上方拋物线上，M是射线PB上一点，连接CM交抛物线于点Q,且∠CMP=∠TAC,当 四边形AMCT面积最大时，求Q的坐标. 8 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 【答案】0y=号+4-6 aP引 (3)当四边形AMCT面积最大时，点Q的坐标为 【解11解：设能物发的解新式为r+r+e,把420,810-6，c5引代入得： 4a+2b+c=0 a=- 2 c=-6 ,解得：b=4, 3 c=-6 25a+5b+c= 2 抛物线的解析式为：y=-r+4r-6, 2 (2)解：把=0代入y=- 2+4r-6得： 1 0=-2+4r-6, 解得：x=2,x2=6, ∴抛物线与x轴的交点坐标A2,0),F(6,0), AF=6-2=4, 连接BF,过点A作AD⊥BF于点D,延长BP,交x轴于点E,如图所示： A D D B B(0,-6), .0B=0F=6, ∠B0F=90°， ÷∠0BF=∠0FB=180°-90)=45，BF=V62+6=62, ∠ABP=45°， ∠EBF+∠ABF=45°， ∠OEB+∠EBF=∠OFB=45°， ∠OEB=∠ABF, 0 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 AD⊥BF, ∠ADF=∠ADB=90°， ∠0FB=45°， ∴△ADF为等腰直角三角形， AD=DF=AF、4 E222, ∴BD=BF-DF=6√2-22=4V2, ∴tan∠ABF= AD2√21 BD422 :tan∠OEB=tan∠ABF=2' 1 OB 1 0E=2' ∴0E=20B=2×6=12, .E(12,0), 设直线BE的解析式为y=kx+b(k≠0)，把B(0,-6),E(12,0)代入得： 12k+b=0 1b=-6 1 解得： k2: b=-6 1 ∴直线BE的解析式为y= 26, y=- 1x2+4x-6 2 联立 1 y2 x-6 x=7 x=0 解得： 或 y=-6 5, = 2 3》解：设直线4C的解折式为y=+A么=0，把42.0，c3》代入得： 2k+b=0 5k+b=2 3, 10以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 以二次函数为背景的面积问题、角度问题、相似问题专项训练 考点目录 以二次函数为背景的面积问题 以二次函数为背景的角度问题 以二次函数为背景的相似问题 考点一 以二次函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，连接，点在线段上，若的面积为5，求点的坐标； (3)如图2，点在对称轴右侧的抛物线上，非平行轴的直线与抛物线有唯一公共点．平移直线，使其经过点，与抛物线交于M，N两点，连接交于点E，Q为的中点，连接，设点的横坐标为，若的面积为2，求的值． 例2．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； 例3．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）已知二次函数的图象经过点和， (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)若点是该二次函数图象与轴的交点，点是第四象限内二次函数上的点（不与、重合），连接、、，求面积的最大值． 变式1．（25-26九年级上·四川南充·期末）点在经过，，的抛物线上，且满足． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)如图2，点在直线上方拋物线上，是射线上一点，连接交抛物线于点，且，当四边形面积最大时，求的坐标． 变式2．（24-25九年级上·上海金山·月考）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点（不与，重合），连接，．已知的面积随的增大而增大，求的取值范围． 考点二 以二次函数为背景的角度问题 例1．（25-26九年级上·上海徐汇·月考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 例2．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 例3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 变式1．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交轴于点，过作轴交于点．点与点为直线上的两个动点，满足点在点的上方且，连接，，当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，点为新抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 变式2．（25-26九年级上·吉林·期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______． (3)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (4)如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)连接，当时，求证：； (3)设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； (4)连接，当时，直接写出的值． 考点三 以二次函数为背景的相似问题 例1．（2026·上海徐汇·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 例2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，抛物线分别与轴和轴交于点和点，且． (1)将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线，求，的值； (2)连接，点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交该抛物线于点．当以，，为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 例3．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，求面积的最大值． (3)直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________． 变式2．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标． 变式3．（24-25九年级下·海南·月考）如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $