二次函数与一元二次方程、二次函数与动态几何问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

二次函数与一元二次方程、二次函数与动态几何问题专项训练 二次函数与一元二次方程、二次函数与动态几何问题专项训练 考点目录 二次函数与一元二次方程 二次函数与动态几何问题 考点一 二次函数与一元二次方程 例1．（25-26九年级上·河南漯河·月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是．下列结论中正确的是（   ） A． B．方程的一个根在1与2之间 C． D． 例2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有 个． 例5．（25-26九年级上·北京平谷·期末）二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是 ． 例6．（25-26九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论： ①； ②； ③若点在该抛物线上，则方程的两个根为，； ④过点作x轴的垂线，交该抛物线于点B，交直线于点C，若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 变式1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①；②当时，y值随x值的增大而减小；③当，函数有最小值；④是方程的一个根；⑤当时，．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．（25-26九年级上·湖北随州·月考）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数且），其中结论正确的个数为（    ） ①， ②， ③， ④， ⑤为任意实数）， ⑥当时，y的值随着x的值增大而增大． A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是 （只填序号）． 变式5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 ．（填序号） 变式6．（25-26九年级上·山东青岛·周测）平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确结论是 ． 考点二 二次函数与动态几何问题 例1．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，，线段上有一动点D，以的速度从点A出发向终点B运动．过点D作，交折线于点E，将绕点E逆时针旋转得到线段，将绕点F逆时针旋转得到线段．设点D运动的时间为，四边形与重叠部分的面积为． (1)四边形的形状是_____________（不用证明）； (2)当点F在上时，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 例2．（25-26九年级上·宁夏固原·期末）在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题．    (1)设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ (2)是否存在x的值，使得？试说明理由． 例3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为________；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 例4．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点运动．当点不与点重合时，过点作于点，作点关于的对称点为点，连接，．设点的运动时间为秒，与重叠部分图形的面积为． (1)________，________．（用含的式子表示） (2)当点和点重合时，________． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 变式1．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为（），请解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)设的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在菱形中，，对角线．动点从点出发，以的速度沿匀速运动；动点同时从点出发，以的速度沿的延长线方向匀速运动．当点到达点时，点同时停止运动．设运动时间为，过点作，交于点，以为边作平行四边形，连接． (1)当为何值时，为的中点？ (2)当为何值时，为直角三角形？ (3)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． 变式3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在矩形中，，，连接．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿逆时针方向匀速运动，速度为，设运动时间为．解答下列问题： (1)线段的长度是多少？（用含的式子表示） (2)求证：当时，与相似； (3)设以点，，，为顶点围成的四边形的面积为．求与之间的函数关系式． 变式4．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数与一元二次方程、二次函数与动态几何问题专项训练 二次函数与一元二次方程、二次函数与动态几何问题专项训练 考点目录 二次函数与一元二次方程 二次函数与动态几何问题 考点一 二次函数与一元二次方程 例1．（25-26九年级上·河南漯河·月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是．下列结论中正确的是（   ） A． B．方程的一个根在1与2之间 C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下， ∴， 又抛物线与的正半轴相交， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点在和之间，且对称轴为， ∴根据对称性可得抛物线与轴的交点在0和1之间， ∴方程的一个根在0与1之间，故B错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故C错误； ∵方程的一个根在0与1之间， ∴当时，， 又，即， ∴，故D正确， 故选：D． 例2．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线， ， ，故本选项不符合题意； C、抛物线的对称轴为直线，当时，， 当时，， ，故本选项不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线， ，则， 当时，， ，则， ，故本选项符合题意； 故选：D． 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题得：图象开口向下，即， 当时，， 对称轴为直线，则， ， ，①正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，②错误； 二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线， 另一个交点坐标为， ， 即， ， ， 即，③正确； ， 直线经过点， 又直线经过点，如下图， 关于的不等式，即的解集是，④正确． 综上，正确结论的个数为． 故选：． 例4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有 个． 【答案】①③④⑤ 【详解】解：根据函数图像可知：抛物线开口向上，则，抛物线与y轴交于负半轴，则， ∵抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， ∴对称轴：， ∴， ∴，即①正确； 由函数图像可知：当时，，即②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，即③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴该函数的最小值为：， ∵对任意实数m， ∴， ∴，即不等式恒成立；即④正确； 由可得， 由二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，即，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 例5．（25-26九年级上·北京平谷·期末）二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∴， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与x轴交点为和， 由函数图象可知，当时，，当时，， ∴，故③错误； ∵点在抛物线上， ∴点C关于对称轴对称点在抛物线上， ∴为的一个根，故④正确． 故答案为：②④． 例6．（25-26九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论： ①； ②； ③若点在该抛物线上，则方程的两个根为，； ④过点作x轴的垂线，交该抛物线于点B，交直线于点C，若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：抛物线经过点，代入得；经过点，代入得，解得，故①正确； ，故②错误； 点在抛物线上，则，方程，即，除以得，解得或，故③正确； 过点作轴垂线，交抛物线于点，交直线于点，则， 当时，，，该二次函数开口向下，对称轴为，在时，随的增大而减小；当时，，该二次函数开口向上，对称轴为，当时，随的增大而增大；故随t增大而减小当且仅当，故④正确． 故答案为：①③④． 变式1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①；②当时，y值随x值的增大而减小；③当，函数有最小值；④是方程的一个根；⑤当时，．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：根据x与y的部分对应值可知： ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为． ①，故本选项正确； ②对称轴为直线，， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故本选项错误； ③∵， ∴函数有最大值，没有最小值，故本选项错误； ④对于方程，即， 由表格知时，满足，故本选项正确； ⑤不等式可化为：，即， ∵由表格可知，，均在直线上，又抛物线开口向下， ∴当时，，故本选项正确； 综上，①④⑤正确共3个． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·湖北随州·月考）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数且），其中结论正确的个数为（    ） ①， ②， ③， ④， ⑤为任意实数）， ⑥当时，y的值随着x的值增大而增大． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：抛物线开口向上， ； 对称轴为，即， ； 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，即，故②正确； 对称轴为， 与时函数值相等，时， ，故③错误； 当时，， 代入得，故④正确； 时函数取得最小值， ，即，故⑤正确； 对称轴为且开口向上， 当时随的增大而减小，故时随的增大而减小，⑥错误； 综上，正确的结论有②④⑤，共个． 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①：由抛物线的开口向下知， ∵对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②：对称轴为直线，得，即，故②正确； ③由图可知：当时，， ∴，故③错误； ④∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴，故④错误， 综上所述，有2个结论正确． 故选：B． 变式4．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是 （只填序号）． 【答案】③ 【详解】解：∵由图可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴故①正确，不符合题意； ∵由图可知抛物线与轴有两个交点， ∴，即， ∴故②正确，不符合题意； ∵由图可知，当时，有最大值， 可以将看成，即当时，有最大值， 将看成，即当时，其值不是最大值， ∴， ， 即． ∴故③错误，符合题意． 故答案为：③． 变式5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， ， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ，故④错误； ⑤由图象知函数图象与轴有两个不同的交点， ∴， ∴，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 变式6．（25-26九年级上·山东青岛·周测）平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确结论是 ． 【答案】①③④⑤ 【详解】解：∵二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴，即，故④正确； 由③可知，二次函数与轴有两个不同的交点为，， ∴， ∵， ，即，故⑤正确； 故答案为：①③④⑤． 考点二 二次函数与动态几何问题 例1．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，，线段上有一动点D，以的速度从点A出发向终点B运动．过点D作，交折线于点E，将绕点E逆时针旋转得到线段，将绕点F逆时针旋转得到线段．设点D运动的时间为，四边形与重叠部分的面积为． (1)四边形的形状是_____________（不用证明）； (2)当点F在上时，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)正方形 (2) (3) 【详解】（1）解：由题意知，， 则四边形是矩形， 由旋转知，， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形； （2）解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时，如图； 此时，重合部分为正方形， 由（2）知， ∴； 当时，如图； 此时重合部分为五边形， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 当时，如图； 此时两点重合，重合部分为，， ∴； 综上，． 例2．（25-26九年级上·宁夏固原·期末）在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题．    (1)设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ (2)是否存在x的值，使得？试说明理由． 【答案】(1)，当时， (2)存在，时， 【详解】（1）解：矩形中， ，，， 由题意得，， ，， ， ，， 当时，； 综上，，当时，； （2）解：存在，理由如下： ， ， ， ， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 故当时，． 例3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为________；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：在中，，， ， 点的运动时间为，速度为， ， 在中，，， ， ， ； （2）解：当点落在上时，如图， 由（1）知， 四边形是菱形， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ； （3）解：当点从点运动到点时，用时，即的取值范围为， 当或时，， 由（2）知，当点落在上时，， ①当点在线段上，且点在内部（包含边界）时，，此时，如图，过点作于点， ， ， ， ； ②当点在线段上，且点在外部时，，如图，设交于点，交于点， ， 和均是等边三角形， ， ， ， ， ， 易知， ； ③当点在线段（不含点，）上时，，此时点与点重合，如图，易知此时是等边三角形，且， 此时； 综上所述，． 例4．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点运动．当点不与点重合时，过点作于点，作点关于的对称点为点，连接，．设点的运动时间为秒，与重叠部分图形的面积为． (1)________，________．（用含的式子表示） (2)当点和点重合时，________． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)1 (3)当时，；当时， 【详解】（1）解：在中，，， 由题意得：， ， ； （2）解：在中，，，， ， ； ∵点关于的对称点为点，点和点重合， ， ； （3）解：当点和点重合之前时，即时， ，点关于的对称点为点， ， ， ，， 与重叠部分图形的面积为； ∵， ∴点到达点时时间为秒， 当点和点重合之后时，即时，如下图， 由题意得：，，， ， 在中， ， ， 与重叠部分图形的面积为 ， 综上所述，当时，；当时，． 变式1．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为（），请解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)设的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)（） (3) (4)或 【详解】（1）解：当运动时，，， ∵在矩形中，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∵在矩形中，， ∴当时，， ∴四边形是矩形， ∴，即， 解得：， ∴当时，四边形是矩形； （2）解：∵，，，， ∴， ， ∴， 即S与t之间的函数关系式为（） （3）解：当时，，理由如下： ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 由（2）求得 ∴， 解得， ∴ 当时，； （4）∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴． 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①若，如图， 又， ∴， 解得； ②若，如图， 过点E作于点N，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； ③若， 连接， ∵在中，点O是斜边的中点， ∴， ∵， ∴点E与点B重合，， ∴， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去． 综上所述，当为等腰三角形时，或． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在菱形中，，对角线．动点从点出发，以的速度沿匀速运动；动点同时从点出发，以的速度沿的延长线方向匀速运动．当点到达点时，点同时停止运动．设运动时间为，过点作，交于点，以为边作平行四边形，连接． (1)当为何值时，为的中点？ (2)当为何值时，为直角三角形？ (3)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)当为5时，为的中点 (2)当为时，为直角三角形 (3) 【详解】（1）解：在菱形中，， ， 为的中点， 为的中点， ， 故当为5时，为的中点； （2）解：如答图①，连接，交于点． 四边形是菱形，， ， ，， 为直角三角形， ， ， ， ， 即， 解得， 故当为时，为直角三角形； （3）解：在Rt中，， 如答图②，过点作于点， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， ， 与的函数关系式为． 变式3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在矩形中，，，连接．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿逆时针方向匀速运动，速度为，设运动时间为．解答下列问题： (1)线段的长度是多少？（用含的式子表示） (2)求证：当时，与相似； (3)设以点，，，为顶点围成的四边形的面积为．求与之间的函数关系式． 【答案】(1)线段的长度是或或 (2)证明见解析 (3)与之间的函数关系式为 【详解】（1）解：①当点在边上（即）时，； ②如图，当点在边上（即）时， ，，故； ③如图，当点在边上（即）时， ，，故； 综上，线段的长度是或或； （2）证明：如图， 当时，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①如图，当点在边上（即）时， ，， ∵， ∴； ②如图，当点在边上（即）时， ，，， ∵， ∴； ③如图，当点在边上（即）时，，， ∵， ∴； 综上，与之间的函数关系式为． 变式4．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3) (4)存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； （3）由（2）可知，， ； （4）存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 2 学科网（北京）股份有限公司 $