第1部分 关键能力提升5 数学工具在电磁学问题中的应用-【金版教程】2026年高考物理大二轮专题复习冲刺方案全书word

　关键能力提升五　数学工具在电磁学问题中的应用

复习数学中的二次函数知识、不等式知识、三角函数知识、数学归纳法与数列知识、导数知识，并能用其解决复杂的电磁学问题。

考点1　二次函数与不等式在电磁学中的应用

例1　(2025·湖北省高三下调研模拟)(多选)如图所示为某同学制作的电磁发射装置简化模型，MN、PQ为水平固定的相距为L且足够长的粗糙导轨，两导轨间存在磁感应强度大小可调的匀强磁场，方向竖直向下，M、P端接有电动势为E、内阻不计的恒压电源，K为开关。一质量为m、长度为L、电阻为R的导体棒ab垂直导轨静置于导轨上，与导轨接触良好，电路中其余电阻不计。导体棒在导轨上运动时受到恒定的阻力f，当磁场的磁感应强度取某一特定值时，闭合开关K可以使导体棒最终的速度最大。在此磁感应强度下导体棒从静止开始经时间t，运动的位移大小为d。下列说法中正确的是(　　)

A．导体棒最终的最大速度为

B．从静止开始经时间t通过导体棒的电量为

C．从静止开始经时间t导体棒所受安培力的冲量大小为2ft－

D．从静止开始经时间t电流通过导体棒产生的热量为－2fd

[解析]　设磁感应强度大小为B，导体棒最终速度为v末，则有E－BLv末＝IR，BIL＝f，联立可得v末＝－·＋·，根据数学知识可知，当B＝时，v末取最大值，为vm＝，故A正确；设时间t内通过导体棒的电量为q，由能量守恒定律可知qE＝ΔEk＋df，则q>，故B错误；保持B＝不变，当导体棒速度为v时，导体棒中电流i＝

，在时间t内，有q＝∑iΔt＝∑Δt＝t－，导体棒所受安培力的冲量大小为IA＝∑BiLΔt＝BLq＝2ft－，电源消耗的电能为W＝Eq＝t－2fd，根据能量守恒定律可知，电源消耗的电能转化为电流通过导体棒产生的热量、导体棒的动能、导体棒与导轨摩擦产生的热量，即导体棒产生的热量小于t－2fd，故C正确，D错误。

[答案]　AC

例2　(2024·安徽卷，15)如图所示，一“U”形金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计、质量为m的金属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系均为B＝kt(SI)，k为常数(k>0)。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t＝0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空气阻力，两磁场互不影响。

(1)求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab中电流的方向；

(2)求ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式；

(3)求经过多长时间，对ab所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。

[解析]　(1)通过面积Scdef的磁通量为

Φ＝BScdef

又B＝kt

Scdef＝L2

联立可得Φ＝kL2t

根据法拉第电磁感应定律得，感应电动势的大小E＝

联立可得E＝kL2

由楞次定律可知，ab中的电流从a流向b。

(2)设t时刻金属棒ab向上运动的位移为x，根据匀变速直线运动规律有x＝at2

所以此时回路中支架上方两边导轨的总电阻为R′＝2xr

由闭合电路欧姆定律得，此时回路中的电流大小I＝

ab所受安培力大小F安＝BIL

其中B＝kt

联立可得F安＝。

(3)根据左手定则可知，ab受到的安培力方向垂直导轨向里，在垂直导轨方向，根据平衡条件知，ab所受导轨的弹力大小FN＝F安

设对ab施加的竖直向上的拉力大小为F，ab所受导轨的摩擦力大小为f，对ab受力分析，根据牛顿第二定律有F－mg－f＝ma

又f＝μFN

联立可得F＝＋m(g＋a)

根据数学知识可知，当＝art时，F有最大值

可解得F最大的时刻为t＝

F的最大值为Fm＝＋m(g＋a)。

[答案]　(1)Φ＝kL2t　kL2　从a流向b

(2)F安＝　(3)　＋m(g＋a)

考点2　三角函数在电磁学中的应用