圆锥曲线技巧突破04：定比点差法+蝴蝶定理与坎迪定理【5个题型归纳】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【圆锥曲线技巧突破04：定比点差法+蝴蝶定理与坎迪定理】 题型分类 知识讲解与常老题型 【题型1：圆锥曲线上的点作为定比分点的)+μ为定值问题】 【解题策略】 定比分点的概念 定比分点：M(x,y)为经过两个不同的定点A(x,y)、B(x2,y2)的直线上的一点，且满足AM=人MB, 则： x+九x2 x= 1+2 (2为参数且入≠-1) 出+元y2 1+2 证明：因为AM=入MB，所以 x-x,=入(x2-x) y-y,=2(0y2-y) 整理得： x= x+入x2 1+2 y=当+元 1+2 下面分三种情况讨论： (1)当2>0时，M为内分点； (2)当入<0，且入≠-1时，M为外分点： (3)当入=0时，点M与A重合： 关于定比分点的概念，跟圆锥曲线知识综合一下，就会产生一些火花，数与学的设计，永远由易到难，由 圆锥曲线上的点作为定比分点的入+！为定值问题 ,y2 如下图所示，若4B为椭圆CX+2=1(a>b≥0)上的两点，直线AB与x轴交于点P，与y轴交 于点Q,且QA=λAP,QB=uBP 结论： (1)P为左（右）焦点； 2a2 (2)入+μ=- b2。 则①②互为充要条件. 证明（充分性)： xg+九xp xo+uxp 4= yo 1+2 ,y41元 1+u ,yB1+4 将A,B两点代入椭圆得： 1 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 +元x》+发=1+④ 63 (xo+uxp)2 -0+(2 b2 ①)-(2)得： (2+42-) 2=(2+入+4)2-) a 因为2-4≠0，所以 入+4= 2a2 b2 证明（必要性）： 令P(m,0),则 入myg ,B um yo 1+元'1+元1+u'1+u 将A,B两点代入椭圆得： am+=0+2}四 a2 b2 um+=+>(2) .2 a2+ (1)-(2)得： +02-四)=(2+元+)2-) 2a 因为元-4≠0，且元+u= a- b2 22 6,所以m2=c2,所以m=±c 结论拓展 2.在抛物线y2=2px中，A,B为抛物线上两点，P,Q分别在x轴、y轴上，QA=入AP，QB=uBP ①P为焦点；②2+u=-1.则①②互为充要条件. 2a2 3.双曲线一定有：①P为焦点；②入+u= b2 综合拓展：①1+业=1(t为定值)：②P为x轴一定点(m,0)。则两者互为充要条件：m =2+t 经典例题 己知P1,2 a京+方=1(a>b>0)上的一点，F,E分别是椭圆C的左、 右焦点，且PF卡2 (1)求椭圆C的标准方程. 2)过点F,的直线与椭圆C交于A,B两点，与椭圆C的短轴交于点Q,若=人，RE三从，武 2 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 问入+“是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。 【解析】 95 (1)由题知|PF= 1+c)2+2= ,解得c=1()。 42 将点P12 代入椭圆C的方程可得： 1 9 =1(2) 又a2=b2+c2(3),由①②③解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为： A2 2)因为AF, BO .B =μ，故令QA=-AE,QB=-μBF,令Q(0,m)。 根据定比分点公式可得： xg+(-2)c-入 XA= 1元元4=)0、m 1--1-元 XB= xg+(-)e--μ 1- ,g=。+)-0m 1-4 1-u 1-4 由于A,B均在椭圆上，故： 1 22+m=0-)月 43 → m 42m2 =(1-4) 1-4 1-4) 43 =1 4 两式相减得： (2+μ)（元-） =(2-2-μ)（μ-入） 4 8 由于2-4≠0，所以入+u= 3 小试牛刀1 己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点。过点F的直线1与抛物线C交 于A,B两点. (1)若直线1与圆0：x2+y2=二相切，求直线1的方程； (2)若直线I与y轴的交点为D,且DA=入AF,，DB=uBF,试探究：入+4是否为定值？若为定值， 求出该定值；若不为定值，试说明理由. 【解析】 (1)由抛物线的方程可得焦点F(1,O),显然直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=my+1. 联立： 3 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 x=my+1 x2+2= 整理得： 8 (1+m2)y2+2my+。=0 9 则△=4m2-41+m2)8=0,整理得 9 m2=8 99 解得m=±2√2，所以直线AB的方程为： x=±2W2y+1 (2)抛物线中入+μ定值推导 因为DA=元AF,DB=HBF,令D(0,m),F(L,O) 根据定比分点公式： 1++元y,=+y=m x4=+2x。1 1+21+元 m 1+u 。ygF1+u 由于A,B均在抛物线y2=4x上，代入得： m2 4 1+元)21+2 m2 4μ (1+)21+ 化简得： m2=42(1+2) m2=4μ(1+） 两式相减并因式分解： 4元+422-4μ-4u2=0 4(2-u)+4(2+μ)2-μ)=0 4(2-u)1+元+)=0 因为入≠μ，所以+H=-1 小试牛刀2 已知椭圆亡+上=1的左右焦点分别为F,乃，4，B,P是椭圆上的三个动点，且 62 PE=FA,PF=uF,B。若2=2，求u的值. 【解析】 设P(xo,),A(x,y),B(x2,y2),F(-C,0),F2(C,0),其中c=2. 1.定比分点公式 4 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 由PE=2FA得： -c=。+2x 1+2 x0+2x=-3C → 0=+2y y%+2y1=0 1+2 由PE=uFB得： C= xo+ux2 1+4 x+4x2=c(1+) → 0=%+4y o+4y2=0 1+u 2.代入椭圆方程 公+公=1四 62 足+上=1②) 62 至+发-13) 62 对(2)乘以4得： 4+4=4④ 2 3.两式相减 (1)-(4)得： (x+2x)x-2x+少+2y-2y）=1-4 6 2 代入x。+2x=-3c,y+2y=0化简得： 6-2x=6 联立x。+2x=-3c解得： -3c2+6 X0= 2c 同理对B点得： c2(1+u)-6 uc 代入c=2,2=2解得u=8 【题型2：利用定比分点证明特征直线的方程】 【解题策略】 在椭圆或双曲线中，设A,B为曲线上两点，若存在P,Q满足AP=λPB,AO=-入QB,则一定有： 5 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 xrxe+ypye=1 a2 b2 证明：若4x,),B,),且AP=元PB,则P5+2,当+元 1+2’1+2 若40=0哪.0(，) 代入椭圆方程： 2±=22 a2b2 (1)-(2)可得： (x+元x2x-元x2+y+元yy-元2=1-22 a- 即： 1+元x.5-元x±1.乃+元2.-业=1 a21+元1-元b21+元1-元 故： xrxo+ypyo=1 a2 b2 抛物线中的调和分点性质 在抛物线y2=2Px中，设A,B为抛物线上两点，若存在P,Q满足AP=λPB,AQ=-入QB,则一定有： Ypyo=p(xp +xo) 证明： 设4，，B,）,D=P明，则P5+2,+2坐. 1+元’1+ 0-0s,@1,】 代入抛物线方程： [2=2px①) 22=2p2x,(2) (1)-(2)得： 2-12y=p(x+x-元2x32-元2x) 即： (0y+元2)0y-元2)=p(x+元x2+x-元x2+元x2-22x2-元x-22x) 化简得： y+22y-元2)-p(x+元x21-)+p(x-元x1+2) (1+元)1-2) (1-2)1+2)(1-2)1+2) 故： 6 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 ypYo p(xp+xo) 核心原理：定比点差的本质是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程. 经典例题 包知椭圆C无+少复 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为E,E,M是C的上顶点， 且ME=2,且MF·ME=2ME·FE. (1)求椭圆C的方程； (2)当过点P(4,1)的动直线1与椭圆C相交于不同两点A,B时，线段AB上取点Q,且Q满足 I APIA 证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线的方程 IPBIOBI 【解析】 (1)由题意得α=2，结合向量条件解得b2=3,故椭圆方程为： + -=1 43 (2)由题设 APIA PBOB 令AP=1PB,AQ=-λQB。 则： x+元X2=4 x-入X2=x0 1+2 1-λ y+业2=1 y-Ayz=yo 1+2 、1-2 代入椭圆方程： +=1四 43 2x+2=22 43 两式相减： (x-元x)G+元x)+-元yy+元y=1 4(1-2)1+2) 3(1-元)1+2) 代入xp=4,yp=1得： 4e+=l 43 化简得定直线方程： 3x+y-3=0 小试牛刀1 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点P(0,4)的动直线1与抛物线C交 于A,B两点，当F在1上时，直线I的斜率为-2. (1)求抛物线的方程； (2)在线段AB上取点D,满足PA=入PB,AD=1DB,证明：点D总在定直线上. 7 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【解析】 (1)由焦点F ,0 402 ,解得p=4,故抛物线方程为： 2 直线斜率为0- 2 y2=8x ②设x,),B,),AP=元PB,则P5-2,- （1-’1-2 AD=人DB,则D x1+元x2片+元y2 1+元1+ 联立： y=8x() 22y=8元2x2(2) (1)-(2)得： -22y=4(x+x-元2x2-12x2) 即： (y1+元y2)y-元y2)=4(x+2x2+x1-元x2+元x2-22x2-2x1-22x) 化简得： y+2yy-元y2)_4(x+元x21-元)+4(x-元x21+2入) (1+2)1-2) (1-元)1+元)(1-2)1+2) 则有： ypyo =4(xp +xo) 即： 4yD=4(0+xD)→yp=xD 故点D总在定直线y=x上 小试牛刀2 已知椭圆C: 、+y2=1,设过点P(2,2)的直线1与椭圆C交于A,B两点，点Q是 1 2 线段AB上的点，且 ，求点Q的轨迹方程. PAPBIPO 【解析】 A(x,)B(x2,v2),(xo,o). 1 12 由 一得 PAI PBIPOI IPel.Pel=2 PAIPB PAI-1A01PB1+10B1-2 IPAI BI 化简得10=1QB1 PAPBI 令4P110=元(a>0),则 PBOB 8 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 AP=-λPB,AQ=元QB 1.定比分点公式 由AP=-λPB得 2=5-1x 1-2 x-元x2=2(1-2) 之 2=出-九y y1-元y2=2(1-2) 1-2 由AQ=1QB得 物=舌+元 1+2 x+入x2=x(1+2) → % y1+入y2 9+元y2=y(1+2) 1+入 2.代入椭圆方程 +=1四 2 三+g=1(2 对(2)式乘以12得 过+2=2 (3) 2 3.两式相减 (1)-(3)得 区+元x,-x2+0,+元，0y-元y)=1-22 代入定比分点的坐标关系化简： x0+2)-20-+,1+)-20-)=1-2 2 2x(1-12)+4y,1-22)=21-元2) 约去1-入2得 x+2y=1 结合椭圆范围x+2y<2,故点Q的轨迹方程为 x+2y=1(x2+2y2<2) 【题型3：坐标轴上定点弦与定比点差法】 【解题策略】 类型一：定点在x轴 点，0)的直线与腔圆名+片Ia>b>0)相交于4，B两点，设AP=2PBQ A(K,y),B(x2,y2) 则在直线AB上一定存在点Q满足AQ=-入QB,根据定比点差法可知： 9 2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 Xp 一定有： =p+也+p-也.2 2 2 _p+2+p- x2= 2 22 y+元y2=0 证明： x+AX2=xp 1+2 x1+入x2=xp(1+2) x1-元 1-元 2=x0→x-1x2=x21-) 4+y=0 y+元y2=0 1+2 解得： =p+2+p-鱼.元 2 2 2= p+e+p-鱼 22λ y+入y2=0 类型二：定点在y轴 过定点P0,)的直线与腾图号+若=1a>b>0扫安于4,8两点，设那P5亿2》， A(x,),B(x2,2) 则在直线AB上一定存在点Q满足AQ=-入QB,根据定比点差法可知： b2 yo= yp 同理： 以=+地+pe2 2 yp+ye yp-yo 222 x,+入x2=0 类型三：抛物线为载体 过定点P(m,O)的直线AB和抛物线y2=2px(p>0)相交，设AP=1PB,A(x,),B(x2,y2). 102025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【圆锥曲线技巧突破04：定比点差法+蝴蝶定理与坎迪定理】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：圆锥曲线上的点作为定比分点的为定值问题】 【解题策略】 定比分点的概念 定比分点：为经过两个不同的定点、的直线上的一点，且满足，则： 证明：因为，所以 整理得： 下面分三种情况讨论： (1)当时，为内分点； (2)当，且时，为外分点； (3)当时，点与重合. 关于定比分点的概念，跟圆锥曲线知识综合一下，就会产生一些火花，数与学的设计，永远由易到难，由 圆锥曲线上的点作为定比分点的为定值问题 1.如下图所示，若为椭圆上的两点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，. 结论： (1)为左（右）焦点； (2)。 则①②互为充要条件. 证明（充分性）： 将两点代入椭圆得： 得： 因为，所以 证明（必要性）： 令，则 将两点代入椭圆得： 得： 因为，且，所以，所以，所以. 结论拓展 2.在抛物线中，为抛物线上两点，分别在轴、轴上，，. ①为焦点；②.则①②互为充要条件. 3.双曲线一定有：①为焦点；②. 综合拓展：①（为定值）；②为轴一定点。则两者互为充要条件：. 已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左、右焦点，且.经典例题例题 (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于两点，与椭圆的短轴交于点，若，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点。过点的直线与抛物线交于两点.小试牛刀1 (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与轴的交点为，且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 已知椭圆的左右焦点分别为，是椭圆上的三个动点，且。若，求的值.小试牛刀2 【题型2:利用定比分点证明特征直线的方程】 【解题策略】 在椭圆或双曲线中，设为曲线上两点，若存在满足，，则一定有： 证明：若，，且，则。 若，则。 代入椭圆方程： 可得： 即： 故： 抛物线中的调和分点性质 在抛物线中，设为抛物线上两点，若存在满足，，则一定有： 证明： 设，，，则。 ，则. 代入抛物线方程： 得： 即： 化简得： 故： 核心原理：定比点差的本质是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程. 已知椭圆的左、右焦点分别为，是的上顶点，且，且.经典例题例题 (1)求椭圆的方程； (2)当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线的方程. 设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于两点，当在上时，直线的斜率为.小试牛刀1 (1)求抛物线的方程； (2)在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程.小试牛刀2 【题型3:坐标轴上定点弦与定比点差法】 【解题策略】 类型一：定点在x轴 过定点的直线与椭圆相交于两点，设，，. 则在直线上一定存在点满足，根据定比点差法可知： 一定有： 证明： 解得： 类型二：定点在y轴 过定点的直线与椭圆相交于两点，设，，. 则在直线上一定存在点满足，根据定比点差法可知： 同理： 类型三：抛物线为载体 过定点的直线和抛物线相交，设，，. 则有： 即： 证明： 由，可得： 联立抛物线方程： 两式相减得： 代入定比分点坐标关系，，化简得： 已知点，椭圆上两点满足，则当______时，点横坐标的绝对值最大.经典例题例题 已知抛物线焦点为，点。过焦点做直线交抛物线于两点，且轴时，.小试牛刀1 (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线的另一个交点分别为。若直线的倾斜角为，当最大时，求的方程. 已知椭圆过点，且.小试牛刀2 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点.求的值. 已知椭圆的长轴长为，焦距为.小试牛刀3 (1)求椭圆的方程； (2)过动点的直线交轴与点，交于点（在第一象限），且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点. (i)设直线的斜率分别为，证明为定值； (ii)求直线的斜率的最小值. 【题型4:非轴点弦的定比点差法】 【解题策略】 设椭圆，点在椭圆上，且，. 则 点的坐标都可以用只含有（或）的式子表示出来. 证明： 由得 即 利用定比点差法： 两式相减得 代入，，化简即得上述结论. 代入，消去，整理可得： 如果消去，整理可得： 在上述椭圆结论的基础上，可推广至抛物线。设为抛物线上的点，且，，则有对偶公式： 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点.经典例题例题 (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，射线与椭圆的另一交点为，点在椭圆内部，射线与椭圆的另一交点分别为.小试牛刀1 (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线的斜率为定值. 【题型5:蝴蝶定理与坎迪定理】 【解题策略】 坎迪定理 设，则 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，焦点到相应准线的距离是.经典例题例题 (1)求的值； (2)已知是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接并分别延长交椭圆于两点，证明：直线过定点. 已知椭圆，为平面上一点，为椭圆上两点，且.分别交椭圆于，求证：.小试牛刀1 已知是椭圆的右焦点，直线交椭圆于两点，交轴于点，点满足，，且.小试牛刀2 (1)求椭圆的离心率； （2025秋·上海期末）已知椭圆，分别是的左右焦点。点均在上，且点是第一象限点。直线经过点，直线均经过点.小试牛刀3 1 学科网（北京）股份有限公司 $