专题1.4 解直角三角形单元检测卷（学情检测基础卷）- 2025-2026学年浙教版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题1.4 解直角三角形单元检测卷（学情检测基础卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东佛山·月考）的值等于（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查特殊角度的三角函数值，根据求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（2025·吉林·二模）若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．在中，各边都扩大4倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正弦函数值也不会改变． 【详解】解：锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选：D． 3．（2024·云南保山·一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．先利用等腰三角形三线合一性质求出，然后利用等边对等角求出的度数，最后在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∵，， ∴ ∵，， ， 故选B． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，掌握等腰三角形的性质是关键；由等腰三角形的性质得，在中，利用正切函数即可求出． 【详解】解：，， ； 在中，， ， ； 故选：A． 6．（24-25九年级下·浙江绍兴·月考）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到，求得，设， ，得到，求得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在小正方形中，， ∴， ∵， ∴， ， ∴设， ， ∴， ∵小正方形的面积为9， ∴， ∴， ∴，， ， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 6 题，满分 18 分） 7．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在锐角中，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 利用特殊角的三角函数值进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又是锐角， ∴， 故答案为：． 8．（2025·上海·二模）沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ． 【答案】 【分析】本题考查了坡比的计算，掌握坡比的计算方法是关键． 根据坡比等于垂直高度于水平宽度的比计算即可． 【详解】解：沿一斜坡向上走12米，高度上升4米， ∴水平宽度（米）， ∴， 故答案为： ． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．构造直角三角形，根据正切的定义计算得结论． 【详解】解：如图， 在中， ∵，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得出，利用勾股定理求出的长，过点D作的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于点M， 则， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得． ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（2025·湖北·一模）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则 m． 【答案】100 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 13．（2025·浙江·一模）如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、直角坐标系中点的坐标，熟练掌握是解题的关键． 作轴于点，根据点的坐标特征求出点、的坐标，得到、的长，根据勾股定理求出，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，作轴于点， 由题意得，，， 由勾股定理得，， 则， 故答案为：． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】在上找一点F，使，过A作于点G，根据相似三角形的判定得出∽，进而利用相似比求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等内容，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，在上找一点F，使，过A作于点G， ，且， ， ， ，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得， 故答案为： 三、解答题（共 8 题，满分 72 分） 17.（本题 6 分）（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及零指数的运算法则； （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及零指数进行计算即可求解； （2）根据零指数，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题 6 分）（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴． 19．（本题 8 分）（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，已知抛物线与轴交于点和，点在点的左边，与轴的交点为． (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了化为顶点式，二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，求一个角的正弦值，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把化为顶点式，得顶点坐标； （2）先理解题意，分别求出，，又因为，故是等腰直角三角形，即． 【详解】（1）解：依题意，， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线与轴交于点和， ∴令则， 解得， ∵点在点的左边， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点为． ∴令则， ∴， 则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵． 20．（本题 8 分）（25-26九年级上·北京通州·期末）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，设米，在中，利用三角函数值得，进而得，在中，利用三角函数值得，进而求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，设米， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：该主塔的高度为米． 21．（本题 10 分）（25-26九年级上·河北·月考）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，坡比， 对于（1），先设二次函数的顶点式，再将代入可得答案； 对于（2），延长交x轴于点H，则，再根据坡比求出，进而求出，然后令求出y，比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 由题意，得图象的顶点坐标为， ∴抛物线的关系式为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：不能，理由如下： 如图，延长交x轴于点H，则， 由题意可知点E，C，H的横坐标为5，即，斜坡的坡比为， ∴， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∵， ∴点P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 22．（本题 10 分）（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，，另有一点． (1)求一次函数解析式； (2)连接，点是反比例函数的第一象限图像上一点,过点作轴的垂线，垂足为.如果与相似，求点坐标； (3)连接，求的正弦值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）如图所示，过点B作于D，利用勾股定理求出，，利用面积法求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点，， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 同理可得当时，可得； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：如图所示，过点B作于D， ∵，，． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，相似三角形的性质，反比例函数与几何综合，勾股定理，正弦，熟知相关知识是解题的关键． 23．（本题 12 分）（24-25九年级上·山东滨州·期末）【教材呈现】现行人教版九年级数学下册教材85页“拓广探索”中第14题原题如下： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系（提示：分别作和边上的高）． 【证明结论】借助如图，求证：； 【结论应用】在中，若，，，请利用以上结论求的长． 【答案】【证明结论】见解析；【结论应用】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算方法，数形结合分析思想是解题的关键． [证明结论]如图，分别作，，垂足分别为，在，中，运用的正弦值得到，在，中，运用的正弦值得到，由此即可求解； [结论应用]根据三角形的内角和定理得到，结合[证明结论]中的结果得到，代入计算即可求解． 【详解】[证明结论] 证明：如图，分别作，，垂足分别为， 在中，， , 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． [结论应用] 解：中，，， ，由题意得， ， 解得． 24．（本题 12 分）（2023·广西南宁·模拟预测）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】 探究一： （1）如图，在中，，，，， 在中， 　　 　　 探究二： （2）在中，，，，求的面积（用、、表示）． 【性质应用】 （3）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为　　． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的面积，平行四边形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由三角函数的定义直接可得出结论； （2）作高于，求出高，即可解决问题； （3）作高于，求出高，再利用平行四边形的面积为底高，即可求出结论． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ， ； 故答案为：；； （2）过点作于点， ，，， 由（1）可知，， ； （3）如图，作于点， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 解直角三角形单元检测卷（学情检测基础卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东佛山·月考）的值等于（　　） A． B． C． D．1 2．（2025·吉林·二模）若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 3．（2024·云南保山·一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·浙江绍兴·月考）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 6 题，满分 18 分） 7．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在锐角中，若，则的度数是 ． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为 ． 10．（24-25九年级上·全国·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则 12．（2025·湖北·一模）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则 m． 13．（2025·浙江·一模）如图，已知的一边在轴上，另一边经过点，顶点的坐标为，则的值是 ． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 三、解答题（共 8 题，满分 72 分） 17.（本题 6 分）（25-26九年级上·吉林长春·期末）计算： (1) (2)． 18．（本题 6 分）（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 19．（本题 8 分）（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，已知抛物线与轴交于点和，点在点的左边，与轴的交点为． (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的值． 20．（本题 8 分）（25-26九年级上·北京通州·期末）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 21．（本题 10 分）（25-26九年级上·河北·月考）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由． 22．（本题 10 分）（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，，另有一点． (1)求一次函数解析式； (2)连接，点是反比例函数的第一象限图像上一点,过点作轴的垂线，垂足为.如果与相似，求点坐标； (3)连接，求的正弦值． 23．（本题 12 分）（24-25九年级上·山东滨州·期末）【教材呈现】现行人教版九年级数学下册教材85页“拓广探索”中第14题原题如下： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系（提示：分别作和边上的高）． 【证明结论】借助如图，求证：； 【结论应用】在中，若，，，请利用以上结论求的长． 24．（本题 12 分）（2023·广西南宁·模拟预测）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】 探究一： （1）如图，在中，，，，， 在中， 　　 　　 探究二： （2）在中，，，，求的面积（用、、表示）． 【性质应用】 （3）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为　　． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $