专题1.1 解直角三角形基础精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练）- 2025-2026学年浙教版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题1.1 解直角三角形基础精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练） 目录 一.知识梳理与题型精析 2 【知识点一】锐角三角函数 2 【题型 1】求锐角三角函数值 2 【题型 2】利用锐角三角函数定义求边长 5 【知识点二】锐角三角函数值的计算 7 【题型 3】特殊角三角函数值与实数混合运算 7 【题型 4】特殊角三角函数与几何综合运算求值 8 【知识点三】解直角三角形的常用关系 11 【题型 5】解直角三角形的相关运算 11 【题型6】构造直角三角形的相关运算 15 【知识点四】解直角三角形的应用 18 【题型 7】解直角三角形的应用——仰角与俯角 19 【题型 8】解直角三角形的应用——坡角与坡度 23 【题型 9】解直角三角形的应用——方位角 27 二.点对点专项训练 31 【考点一】锐角三角函数 31 【题型1】求三角函数值 31 【题型2】利用锐角三角函数定义求值 36 【考点二】锐角三角函数的计算 40 【题型3】特殊角三角函数的综合运算 40 【题型4】特殊角三角函数与几何综合运算 44 【考点三】解直角三角形 47 【题型5】利用直角三角形边角关系解直角三角形 47 【题型6】利用仰角、俯角解直角三角形 52 【题型7】利用方位角解直角三角形 57 【题型8】利用坡度、坡比、坡角解直角三角形 63 三.易错点小结与解题方法反思 67 （一）易错点小结： 68 （二）解题方法反思： 68 （三）改进方向： 68 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】锐角三角函数 正弦: sinA＝＝ 余弦: cosA＝＝ 正切: tanA＝＝. 【题型 1】求锐角三角函数值 【例题1】（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可. 【详解】∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25， ∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，， ∴， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式1】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故选：B． 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型 2】利用锐角三角函数定义求边长 【例题2】（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，已知的长和角的正弦值可求出． 【详解】解：在中， ， 所以 故选：B． 【变式2】（2024·广东·二模）在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式3】（2025·云南红河·三模）如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长，然后利用勾股定理计算求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【知识点二】锐角三角函数值的计算 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 【题型 3】特殊角三角函数值与实数混合运算 【例题3】（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（2024·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 【变式3】（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键． 【详解】解： ． 【题型 4】特殊角三角函数与几何综合运算求值 【例题4】（2025·广东惠州·二模）如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度 米． 【答案】 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题通过题干可得，，，然后根据，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）《九章算术注》中数学家刘徽提到了“不加借算”开平方的方法：．当a取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为 ；如图，某等边三角形花园的面积为，用“不加借算”的方法计算该等边三角形花园的边长约为 m． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、无理数的大小估算以及三角函数的应用等知识点．作，设，可推出，据此即可求解； 【详解】解：； 作，如图所示： 设， 则， ∴， ∴， ∴， 即：等边三角形花园的边长约为m． 故答案为：①；② 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】（2025·安徽亳州·一模）我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，新定义，根据，得到，进而得到，再根据新定义，代值计算即可． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 由题意，． 故选：D． 【知识点三】解直角三角形的常用关系 (1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：； (3) 边角之间的关系：，，. 【题型 5】解直角三角形的相关运算 【例题4】（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】在上找一点F，使，过A作于点G，根据相似三角形的判定得出∽，进而利用相似比求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等内容，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，在上找一点F，使，过A作于点G， ，且， ， ， ，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得， 故答案为： 【变式1】（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴，， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 【变式2】（2025·湖南长沙·中考真题）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了利用，，的特殊直角三角形拼接图形计算面积及勾股定理，需熟练掌握相关的知识点是解此题的关键．通过理解，，的特殊直角三角形的性质，并根据已知条件通过勾股定理求出对应的边长后再分别将两个三角形的面积求出之后即可得出四边形的面积． 【详解】解：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 即四边形的面积为． 【题型6】构造直角三角形的相关运算 【例题6】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·月考）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式2】（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 【变式3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (4) 解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【题型 7】解直角三角形的应用——仰角与俯角 【例题7】（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 【变式3】（2025·河北邯郸·三模）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 【题型 8】解直角三角形的应用——坡角与坡度 【例题8】（2025·四川广元·模拟预测）广元市位于四川省北部山地向盆地过渡地带，境内多山川河流．如图，市内一公园依山而建，入口点A处向前走5米有一坡度的斜坡，坡长米，在坡顶C处有一个平台，平台上修建了观景塔可俯瞰江景，，垂足为D，点E，F，D在同一条直线上，，在入口点 A 处看观景塔的塔顶E 的仰角在斜坡 的坡顶C 处看观景塔EF 的塔顶E的仰角，求的长．（结果精确到0.1米．参考数据： 【答案】的长约为35.5 米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理 ；过点C作于点G．得到四边形为矩形，结合勾股定理得到，设为x米，则，根据进行计算即可． 【详解】解：如图，过点C作于点G． ∵， ∴． 又， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵， ∴米． ∴米． 设为x米，则． ∵， ∴米． ∵， 即 解得 经检验， 是分式方程的解，且符合实际， （米）． 答：的长约为35.5 米． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 【变式2】（2025·上海浦东新·三模）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 【答案】18 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，根据题意，得到米，，进而求出的长，勾股定理，求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意，得：米，， ∴米， ∴米； 故物体从到所经过的路程为18米． 故答案为：18． 【变式3】（2025·吉林·模拟预测）一电线杆用拉绳固定，点在斜坡的顶端，斜坡，坡比为，测得拉绳与水平线的夹角，求电线杆的高．（参考数据：，，，结果保留） 【答案】电线杆的高约是 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作于点，于点，由坡比可得，设，，在中，由勾股定理可求的值，继而可得，，的长，在中，利用解直角三角形，，即可解答． 【详解】解：过点作于点，于点，如图． 斜坡的坡比为， ． 设，， ， 解得， ，． 在中， ， ． ． 答：电线杆的高约是． 【题型 9】解直角三角形的应用——方位角 【例题9】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时A，B两处相距 海里．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】112 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 过点P作于点C，然后分别在和中，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点C， 根据题意得：，，海里， 在中，，海里， ∴海里， ， 在中，， ∴海里， ∴海里， 即A，B两处相距112海里． 故答案为：112． 【变式3】（2025·重庆永川·模拟预测）为方便市民休闲散步，计划在人工水渠两侧新建 两条步道．经测量，点B 在点A南偏东 方向，点C在点A的正南方且在点 B的正西方，点D在点A南偏东 方向且在点B的正北方， 米． (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)请计算说明哪条步道较短？（参考数据： ） 【答案】(1)米 (2)更短 【分析】该题考查了解直角三角形和矩形的性质与判定，解题的关键是正确做出辅助线． （1）延长，过点作交的延长线于点，根据题意可得，则四边形是矩形，即可得出，，米，求出米． （2）结合（1）求出，，比较即可求解． 【详解】（1）解：延长，过点作交的延长线于点， 根据题意可得， 则四边形是矩形， ∴，， ∴米， ∴米． （2）解：结合（1）可得米，米，米， 米，米， 则米， 米， ， 故更短． 二.点对点专项训练 【考点一】锐角三角函数 【题型1】求三角函数值 1．（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理求出的长，再根据正切，余切，正弦和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴，，，， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边对等角、余弦的定义等知识点，发现是解题的关键． 由勾股定理可得、，易得，由等边对等角可得，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：依题意，如图所示： 设小正方形网格的边长为1， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和正切三角函数的应用，熟练掌握正切三角函数的概念是解题的关键．先用勾股定理求出的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴, ∴． 故选：D． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的有关计算，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键．根据，，得出，求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及余弦的定义，掌握相关性质定理和概念是解题的关键．首先根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，然后利用余弦的定义（邻边比斜边）求解即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 根据同弧所对的圆周角相等得，在中，，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由同弧所对的圆周角相等得：， ， 在中，， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·天津红桥·期末）如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 8．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行四边形的性质和直角三角形的全等来证明线段相等，并利用三角函数的定义来求解． 根据平行四边形的性质可得，，再根据，，得出，得到，再根据已知条件求出即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 【题型2】利用锐角三角函数定义求值 1．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）在中，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，已知，则点A的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角函数的应用：过点A作轴于B，设，利用求出，再根据勾股定理求出即可得到点A的坐标． 【详解】过点A作轴于B，设． ∵点在第二象限， ∴点A的坐标是． 故选：B． 3．（2023·上海普陀·一模）在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知中，，，，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长． 【详解】在中，，， ∵，， ∴， 解得 ， 故答案为6． 5．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，的余弦值是，，那么的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，根据正弦的定义可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理，得． 8．（23-24八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，为中点，于点，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及含30度角的直角三角形性质是解题的关键． 先利用直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后在中，求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：，为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点二】锐角三角函数的计算 【题型3】特殊角三角函数的综合运算 1．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查特殊角三角函数的计算，熟练掌握特殊角三角函数的值是解题的关键，利用特殊角三角函数的值可得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025九年级上·上海·专题练习）三角形中，，，为其三个内角，且满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据非负数的性质、特殊角的三角函数值求出、，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得，，， 则，， ， 故选：C． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 5．（25-26九年级上·福建福州·月考）在中，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理，根据非负性的性质可求出的值，则可求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东青岛·月考）在中，，若，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活运用特殊角的三角函数值求角度是解题的关键． 由，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为30． 7．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，根据等边三角形的性质和菱形的性质，得到，，再利用锐角三角函数求出，进而得到，即可求出k的值． 【详解】解：过点C作轴于点E， ∵等边和菱形的边、都在x轴上，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，三角函数的应用，平行线的性质，求反比例函数解析式，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 【题型4】特殊角三角函数与几何综合运算 1．（2025·辽宁·一模）计算． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】解： ． 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 先分别计算出乘方、三角函数的结果，最后代入原式进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）计算： (1)． (2)用公式法解方程：． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】本题考查了实数的运算，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的运算法则等计算即可； （2）先计算，再利用公式法解方程即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：，，， ∴， ∴， ∴，． 4．（25-26九年级上·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) 0 (2) 【分析】本题主要考查负指数，特殊角的三角函数，二次根式的混合运算，掌握以上知识的计算法则是关键． （1）先算负指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的值，再算加减即可； （2）先算特殊角的三角函数值，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26九年级上·山西吕梁·月考）代数式与互为相反数，求的值． 【答案】 或 【分析】本题考查了特殊的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：与互为相反数，且， 或． 6．（2025·四川·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、化简绝对值、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，熟记各运算法则是解题关键．先化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂，负整数指数幂，计算二次根式乘法，化简绝对值，再加减即可． 【详解】解： ． 7．（25-26九年级上·湖南常德·期中）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．将三角函数值代入后进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 【考点三】解直角三角形 【题型5】利用直角三角形边角关系解直角三角形 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 【答案】D 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可． 【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）． 故选择：D． 【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题． 2．（2020·浙江金华·一模）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm 【答案】D 【分析】过点E作EF⊥AB于点F，设AE=x cm，则AD=3x,则,然后利用AB•AD=求出x的值，即可得到AD,AB的长度，则周长可求． 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，   ∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°， ∴设AE=xcm，则AD=3x， ∵∠AEB=120°， ∴∠EAB=30°， ∴AB=2AF=， ∵六角星纸板的面积为cm2  ， ∴AB•AD=，即， 解得x=， ∴AD=，AB=3， ∴矩形ABCD的周长=cm． 故选:D． 【点睛】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键． 3．（22-23九年级上·四川成都·月考）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，求边的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过A作于D，利用锐角三角函数求得 ，，进而可求解． 【详解】解：如图，过A作于D， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·山东淄博·月考）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 6．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 【题型6】利用仰角、俯角解直角三角形 1．（25-26九年级上·山西长治·月考）如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 即点A，B之间的距离为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，以及仰角俯角的定义，根据“两直线平行，内错角相等”可得结论． 【详解】解：如图，是水平线，由题意得， ∴， ∴ ∵ ∴即在点观测点的俯角是， 故选：A． 3．（北京市昌平区2025-2026学年上学期九年级期末质量抽测数学试题）如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为 ．（将无人机近似为一个点） 【答案】 【分析】此题考查了俯角的定义，解直角三角形的应用，根据题意可得，，，米，则，即可得解． 【详解】解：如图， 根据题意可得，，，米， ∴（米）， 故答案为：． 4．（2026·浙江·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是 米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，） 【答案】89.28 【分析】本题考查解直角三角形的应用，作，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：作，由题意，米， 在中，米， 在中，米， ∴； 故这栋楼的高度是89.28米； 故答案为：89.28． 5．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知为等腰直角三角形，设，则，，然后根据在中，，代入得到方程，解之即可． 【详解】解：设， 由题意可知，，，米，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得米， ∴教学楼AB的高度为米． 6．（25-26九年级上·广西南宁·月考）为推进“美丽校园”建设，某校计划在两栋教学楼之间规划绿化区域．如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为18m，求乙楼的高（结果精确到1m，参考数据：，，）． 【答案】乙楼的高为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 先证明四边形为矩形，，，依题意得，，，则，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：过点作，如图， 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，， 依题意得， ∴ ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 【题型7】利用方位角解直角三角形 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 3．（25-26九年级上·北京·期中）王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为 由题意，得，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走到C地，此时小明离A地100米，则小明离B地 米． 【答案】200 【分析】本题考查了勾股定理的应用、方向角等知识，解题的关键是理解题意，熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意，是直角三角形，， （米） 故答案为：200． 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1) (2)这艘船继续向东航行安全，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）过点C作于点D，先得到，然后解即可； （2）由求解得到的与进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D    由题意可知， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴灯塔到航线的垂直距离为； （2）解：安全，理由如下： ∵ ∴这艘船继续向东航行安全． 6．（16-17九年级下·湖南长沙·月考）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1)钓鱼岛在地的北偏东45度方向上 (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据三角形外角性质，以及邻补角互补进行列式，计算化简，则，即可得到钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上； （2）过B作于D，设，则，运用解直角三角形即可得到海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上． （2）解：如图所示，过B作于D， 由（1）得， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则． 在中，， 即， 解得：， 即， ∴中，， 则， ∴（海里）， 答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【题型8】利用坡度、坡比、坡角解直角三角形 1．（23-34九年级上·河北衡水·月考）如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）一段楼梯如图所示，已知米，楼梯每级的级宽为米，小华跨上6个台阶后，上升了米，则该楼梯的坡度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键． 假设小华跨上6个台阶后位于点，过点作于点，根据题意可得米、米，计算的值即可． 【详解】解：假设小华跨上6个台阶后位于点，过点作于点，如图： 根据题意得：米、米， 则， 因此该楼梯的坡度为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡角为，的长为12米，那么大厅两层之间的高度为 米（结果保留一位小数）【参考数据：】． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．根据题意和锐角三角函数可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：在中，， （米）， 答：大厅两层之间的距离的长约为米． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海·期中）在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为 米 【答案】5 【分析】本题考查了解直角三角形的应用---坡度坡角问题，根据坡角设出直角边的长并利用勾股定理是解题的关键． 根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为，结合勾股定理建立方程求解垂直高度． 【详解】解：如图，设垂直上升的高度为米，水平距离为米． 由坡度比为，得，即． ∵在中，，即 ∴， 解得（舍去负值）． ∴消防员攀爬的垂直上升的高度为5米． 故答案为：5． 5．（25-26九年级上·河北·月考）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，坡比， 对于（1），先设二次函数的顶点式，再将代入可得答案； 对于（2），延长交x轴于点H，则，再根据坡比求出，进而求出，然后令求出y，比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 由题意，得图象的顶点坐标为， ∴抛物线的关系式为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：不能，理由如下： 如图，延长交x轴于点H，则， 由题意可知点E，C，H的横坐标为5，即，斜坡的坡比为， ∴， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∵， ∴点P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 6．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． 三.易错点小结与解题方法反思 （一）易错点小结： （1）边角对应混淆：运用三角函数时，未明确参考锐角，导致对边、邻边判断错误； （2）特殊角三角函数值记错：混淆 30°、60° 的正弦和余弦值，或记错正切值； （3）实际应用概念混淆：分不清仰角与俯角、坡度与坡角的定义，比如误将坡度当作坡角直接使用，或构造直角三角形时辅助线画错； （4）解题逻辑疏漏：已知条件未满足 “至少一个边” 时盲目求解，或忽略结果合理性检验。 （二）解题方法反思： （1）基础题型解题逻辑：解直角三角形需遵循 “先明确已知条件类型→选择对应关系再分步求解” 的思路。已知两边时，先通过勾股定理求第三边，再用三角函数求角度；已知一边一角时，先求另一个锐角，再用三角函数求未知边，避免跳步导致错误； （2）定义与公式应用：不能死记硬背公式，应结合直角三角形图形理解三角函数的几何意义，通过标注对边、邻边、斜边强化对应关系，减少代入错误； （3）特殊角记忆技巧：借助口诀或特殊三角形推导记忆，比单纯背诵更牢固； （4）实际问题建模能力：处理测量、坡度等实际问题时，关键是将实际场景转化为直角三角形模型，若没有现成直角三角形，需通过作垂线等辅助线构造，再结合定义分析边角关系； （5）检验习惯养成：解题后需验证结果，比如用勾股定理核对边长关系，或根据角度范围判断三角函数值是否合理，及时发现计算或逻辑错误。 （三）改进方向： （1）强化基础巩固：每日练习 5 道基础题，聚焦边角对应判断和特殊角计算，通过重复训练夯实公式应用能力；制作三角函数定义和特殊角值对照表，随时查阅复习； （2）规范解题步骤：解题时先画图标注已知条件和未知量，明确参考锐角后再选择三角函数，步骤清晰可追溯，避免因思路混乱导致错误； （3）针对性突破薄弱点：针对实际应用题型专项练习，重点训练仰角、俯角、坡度等概念的区分与建模，总结辅助线构造的常见方法； （4）养成检验习惯：建立 “单位统一→公式选择→计算过程→结果验证” 的解题流程，每一步都自查，尤其注意计算器模式设置和结果合理性判断； （5）结合工具深化理解：利用几何画板等工具观察角度变化与三角函数值的关系，直观理解定义内涵，而非机械记忆，提升知识运用的灵活性。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 解直角三角形基础精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练） 目录 一.知识梳理与题型精析 2 【知识点一】锐角三角函数 2 【题型 1】求锐角三角函数值 2 【题型 2】利用锐角三角函数定义求边长 3 【知识点二】锐角三角函数值的计算 4 【题型 3】特殊角三角函数值与实数混合运算 4 【题型 4】特殊角三角函数与几何综合运算求值 4 【知识点三】解直角三角形的常用关系 5 【题型 5】解直角三角形的相关运算 6 【题型6】构造直角三角形的相关运算 6 【知识点四】解直角三角形的应用 7 【题型 7】解直角三角形的应用——仰角与俯角 8 【题型 8】解直角三角形的应用——坡角与坡度 9 【题型 9】解直角三角形的应用——方位角 10 二.点对点专项训练 11 【考点一】锐角三角函数 12 【题型1】求三角函数值 12 【题型2】利用锐角三角函数定义求值 13 【考点二】锐角三角函数的计算 14 【题型3】特殊角三角函数的综合运算 14 【题型4】特殊角三角函数与几何综合运算 15 【考点三】解直角三角形 16 【题型5】利用直角三角形边角关系解直角三角形 16 【题型6】利用仰角、俯角解直角三角形 17 【题型7】利用方位角解直角三角形 19 【题型8】利用坡度、坡比、坡角解直角三角形 21 三.易错点小结与解题方法反思 22 （一）易错点小结： 22 （二）解题方法反思： 23 （三）改进方向： 23 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】锐角三角函数 正弦: sinA＝＝ 余弦: cosA＝＝ 正切: tanA＝＝. 【题型 1】求锐角三角函数值 【例题1】（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 【题型 2】利用锐角三角函数定义求边长 【例题2】（2025·云南·模拟预测）如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·二模）在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【变式3】（2025·云南红河·三模）如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【知识点二】锐角三角函数值的计算 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 【题型 3】特殊角三角函数值与实数混合运算 【例题3】（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【变式1】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【变式2】（2024·四川广元·中考真题）计算：． 【变式3】（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 【题型 4】特殊角三角函数与几何综合运算求值 【例题4】（2025·广东惠州·二模）如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度 米． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）《九章算术注》中数学家刘徽提到了“不加借算”开平方的方法：．当a取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为 ；如图，某等边三角形花园的面积为，用“不加借算”的方法计算该等边三角形花园的边长约为 m． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    【变式3】（2025·安徽亳州·一模）我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 【知识点三】解直角三角形的常用关系 (1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：； (3) 边角之间的关系：，，. 【题型 5】解直角三角形的相关运算 【例题4】（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 【变式1】（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 【变式2】（2025·湖南长沙·中考真题）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为 ． 【变式3】（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 【题型6】构造直角三角形的相关运算 【例题6】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·月考）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【变式2】（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则 ． 【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (4) 解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【题型 7】解直角三角形的应用——仰角与俯角 【例题7】（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 【变式2】（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【变式3】（2025·河北邯郸·三模）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【题型 8】解直角三角形的应用——坡角与坡度 【例题8】（2025·四川广元·模拟预测）广元市位于四川省北部山地向盆地过渡地带，境内多山川河流．如图，市内一公园依山而建，入口点A处向前走5米有一坡度的斜坡，坡长米，在坡顶C处有一个平台，平台上修建了观景塔可俯瞰江景，，垂足为D，点E，F，D在同一条直线上，，在入口点 A 处看观景塔的塔顶E 的仰角在斜坡 的坡顶C 处看观景塔EF 的塔顶E的仰角，求的长．（结果精确到0.1米．参考数据： 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（2025·上海浦东新·三模）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为 米． 【变式3】（2025·吉林·模拟预测）一电线杆用拉绳固定，点在斜坡的顶端，斜坡，坡比为，测得拉绳与水平线的夹角，求电线杆的高．（参考数据：，，，结果保留） 【题型 9】解直角三角形的应用——方位角 【例题9】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时A，B两处相距 海里．（结果取整数，参考数据：，，） 【变式3】（2025·重庆永川·模拟预测）为方便市民休闲散步，计划在人工水渠两侧新建 两条步道．经测量，点B 在点A南偏东 方向，点C在点A的正南方且在点 B的正西方，点D在点A南偏东 方向且在点B的正北方， 米． (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)请计算说明哪条步道较短？（参考数据： ） 二.点对点专项训练 【考点一】锐角三角函数 【题型1】求三角函数值 1．（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，若，则的值为 ． 5．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 6．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，的正切值为 ． 7．（25-26九年级上·天津红桥·期末）如图，在中，，，，求，，的值． 8．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 【题型2】利用锐角三角函数定义求值 1．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）在中，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，已知，则点A的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海普陀·一模）在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 4．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知中，，，，那么的长为 ． 5．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，的余弦值是，，那么的长为 ． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 7．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 8．（23-24八年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，为中点，于点，，且，求的长． 【考点二】锐角三角函数的计算 【题型3】特殊角三角函数的综合运算 1．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·上海·专题练习）三角形中，，，为其三个内角，且满足，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为 ．    5．（25-26九年级上·福建福州·月考）在中，若，则的度数为 ． 6．（25-26九年级上·山东青岛·月考）在中，，若，则 ． 7．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为 ． 【题型4】特殊角三角函数与几何综合运算 1．（2025·辽宁·一模）计算． 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）计算： 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）计算： (1)． (2)用公式法解方程：． 4．（25-26九年级上·山东威海·期中）计算： (1)； (2)． 5．（25-26九年级上·山西吕梁·月考）代数式与互为相反数，求的值． 6．（2025·四川·一模）计算：． 7．（25-26九年级上·湖南常德·期中）计算：． 【考点三】解直角三角形 【题型5】利用直角三角形边角关系解直角三角形 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 2．（2020·浙江金华·一模）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm 3．（22-23九年级上·四川成都·月考）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，求边的长． 5．（24-25九年级上·山东淄博·月考）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 6．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【题型6】利用仰角、俯角解直角三角形 1．（25-26九年级上·山西长治·月考）如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 3．（北京市昌平区2025-2026学年上学期九年级期末质量抽测数学试题）如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为 ．（将无人机近似为一个点） 4．（2026·浙江·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是 米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，） 5．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 6．（25-26九年级上·广西南宁·月考）为推进“美丽校园”建设，某校计划在两栋教学楼之间规划绿化区域．如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为18m，求乙楼的高（结果精确到1m，参考数据：，，）． 【题型7】利用方位角解直角三角形 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 3．（25-26九年级上·北京·期中）王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，） 4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走到C地，此时小明离A地100米，则小明离B地 米． 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 6．（16-17九年级下·湖南长沙·月考）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【题型8】利用坡度、坡比、坡角解直角三角形 1．（23-34九年级上·河北衡水·月考）如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）一段楼梯如图所示，已知米，楼梯每级的级宽为米，小华跨上6个台阶后，上升了米，则该楼梯的坡度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡角为，的长为12米，那么大厅两层之间的高度为 米（结果保留一位小数）【参考数据：】． 4．（25-26九年级上·上海·期中）在消防救援锦标赛攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为 米 5．（25-26九年级上·河北·月考）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由． 6．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 三.易错点小结与解题方法反思 （一）易错点小结： （1）边角对应混淆：运用三角函数时，未明确参考锐角，导致对边、邻边判断错误； （2）特殊角三角函数值记错：混淆 30°、60° 的正弦和余弦值，或记错正切值； （3）实际应用概念混淆：分不清仰角与俯角、坡度与坡角的定义，比如误将坡度当作坡角直接使用，或构造直角三角形时辅助线画错； （4）解题逻辑疏漏：已知条件未满足 “至少一个边” 时盲目求解，或忽略结果合理性检验。 （二）解题方法反思： （1）基础题型解题逻辑：解直角三角形需遵循 “先明确已知条件类型→选择对应关系再分步求解” 的思路。已知两边时，先通过勾股定理求第三边，再用三角函数求角度；已知一边一角时，先求另一个锐角，再用三角函数求未知边，避免跳步导致错误； （2）定义与公式应用：不能死记硬背公式，应结合直角三角形图形理解三角函数的几何意义，通过标注对边、邻边、斜边强化对应关系，减少代入错误； （3）特殊角记忆技巧：借助口诀或特殊三角形推导记忆，比单纯背诵更牢固； （4）实际问题建模能力：处理测量、坡度等实际问题时，关键是将实际场景转化为直角三角形模型，若没有现成直角三角形，需通过作垂线等辅助线构造，再结合定义分析边角关系； （5）检验习惯养成：解题后需验证结果，比如用勾股定理核对边长关系，或根据角度范围判断三角函数值是否合理，及时发现计算或逻辑错误。 （三）改进方向： （1）强化基础巩固：每日练习 5 道基础题，聚焦边角对应判断和特殊角计算，通过重复训练夯实公式应用能力；制作三角函数定义和特殊角值对照表，随时查阅复习； （2）规范解题步骤：解题时先画图标注已知条件和未知量，明确参考锐角后再选择三角函数，步骤清晰可追溯，避免因思路混乱导致错误； （3）针对性突破薄弱点：针对实际应用题型专项练习，重点训练仰角、俯角、坡度等概念的区分与建模，总结辅助线构造的常见方法； （4）养成检验习惯：建立 “单位统一→公式选择→计算过程→结果验证” 的解题流程，每一步都自查，尤其注意计算器模式设置和结果合理性判断； （5）结合工具深化理解：利用几何画板等工具观察角度变化与三角函数值的关系，直观理解定义内涵，而非机械记忆，提升知识运用的灵活性。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $