精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

高一数学期末 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A B. C. D. 1 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若对定义域内的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A B. C. D. 6. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，，并且为锐角，为钝角，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 B. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线 C. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线 D. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线 11. 已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，则（   ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是__________． 13. 化简的值为______． 14. 已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数取值范围是____，的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求集合； （2）若，，求实数m的取值范围． 16. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. （1）若，求的长； （2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 17. 某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 （1）给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: （2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 18. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 设，其中，. （1）若，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若对任意，，恒有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数周期性求解. 【详解】. 故选：D 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数单调性和，再结合零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为. 故选：B. 3. 已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【详解】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 4. 函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中函数在一个周期内的图像经过和，可分析出函数的最值、周期，求出后，代入点求，即可得到函数解析式 【详解】函数在一个周期内的图像如图，观察选项，不妨设，，， 由函数图像可得，，，，又，故， 则函数的解析式可化为，将点代入得，即， 又，取，得，此时. 故选：A． 5. 若对定义域内的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可知方程与的根相同，将对应的根代入即可求解. 【详解】对定义域内的任意，不等式恒成立，两因式必须同号， 又因为函数式与均为增函数，故两函数的零点必须相同， 即，故. 故选：C. 6. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合两角和差的余弦公式及余弦函数的对称性，利用充要条件的概念判断即可. 【详解】由，得，解得， 故，，则为偶函数； 若为偶函数，则必有， 故“”是“为偶函数”的充要条件. 故选：C. 7. 若，，并且为锐角，为钝角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】，且， ，， ，， . ，. 故选：C 8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用幂函数性质判断选项A，利用指数函数性质判断选项B，利用对数函数性质判断选项C，利用函数的性质判断选项D. 【详解】选项A，因为幂函数在单调递增，又， 所以，故选项A正确； 选项B，因为指数函数在单调递增，又， 所以，故选项B正确； 选项C，因为对数函数在单调递减，又， 所以，故选项C不正确； 选项D，由函数，如图所示： 由图可知，函数在单调递增，又， 所以，故选项D正确； 故选：ABD. 10. 已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 B. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线 C. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线 D. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，逐个选项判断即可. 【详解】A.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，不符合题意； B.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，符合题意； C.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象，符合题意； D.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象，符合题意. 故选：BCD. 11. 已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设函数与图象交点为，，函数与图象交点为，.根据与的图象关于对称，与的图象也关于对称，进而结合图象利用对称性质逐项求解即可. 【详解】设函数与图象交点坐标分别为，； 函数与图象交点坐标分别为，. 由于与的图象关于对称，与的图象也关于对称，故它们的交点，关于直线对称，，关于直线对称， 则，，且， . 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再根据同增异减求解即可. 【详解】由，得或，所以函数定义域为， 令，因为在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以的单调递增区间是． 故答案为： 13. 化简的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，利用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式计算可得. 【详解】 . 故答案： 14. 已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数的取值范围是____，的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题设作出函数的图象，结合图象可判断实数的取值范围与方程的4个根，，，的取值范围，，，然后得到，最后利用的范围即可求解. 【详解】依题意，，作出函数的图象，如图所示， 因为方程有4个根，，，，且， 由图象可知，且，，可得； 因为，，所以，； 所以， 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：；的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求集合； （2）若，，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合A，求出对数函数的值域化简集合B，再利用并集定义求解. （2）由（1）求出，再按是否为空集，结合集合的包含关系列式求出m的范围. 【小问1详解】 不等式，解得，即， 当时，，则，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 综上，， 所以实数m的取值范围是. 16. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. （1）若，求的长； （2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1） （2）当时，取得最大值，最大值为平方米. 【解析】 【分析】（1）先在中，利用正弦函数的定义求出，再在中，利用可得； （2）先利用三角恒等变换化简，再由正弦函数的单调性计算可得. 小问1详解】 因为，在中，（米）， 故（米）， 在中，则（米）. 【小问2详解】 因为四边形是矩形，可得， 所以在中，，， 在中，，则， 于是， 则矩形的面积 ， 所以 由，得， 则当时，即时，， 所以当时，取得最大值，最大值为平方米. 17. 某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 （1）给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: （2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 【答案】（1）比较合适， （2）元 【解析】 【分析】（1）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可； （2）根据基本不等式、函数单调性的性质求解即可. 【小问1详解】 由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减， 由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适， 把，，代入， 得，所以，所以， 显然，也满足函数的解析式， 所以； 【小问2详解】 ， 当，时， ， 当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为， 当，时， ， 此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为， 综上所述：函数的最小值为元. 18. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； （3）若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义取特指解得，并代入检验； （2）根据题意整理可得对于任意实数x恒成立，结合指、对数函数性质分析判断； （3）根据题意整理可得，换元令，可知在内存在零点，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 因为，可知函数的定义域为， 若函数为偶函数，则， 即，可得，即， 此时， 则，即函数为偶函数， 所以. 【小问2详解】 因为，即， 可得， 即对于任意实数x恒成立， 因为，则，可得， 所以实数t的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知：， 若存在，使得成立， 即， 整理可得， 则， 令，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 构建，可知在内存在零点， 因为的图象开口向上，对称轴为， 若，可知在内单调递增， 则，解得； 若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 19. 设，其中，. （1）若，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若对任意，，恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将变形可求得的值，进而可求得； （2）将，整理得，构造函数，根据该函数的奇偶性与单调性得到不等式，解不等式即可； （3）设，由题意知在上单调递增，换元后得到在上递增，列不等式组可得结果. 【小问1详解】 因为，即， 所以， 故 . 【小问2详解】 当时，若，即， 整理得， 令函数，则函数为上单调递增的奇函数， 由得，， 化简得，解得，， 故不等式的解集为，. 【小问3详解】 因为，所以， 所以，即. 设，则，，恒有， 即在上单调递增. 由（1）可知， . 令， 则可转化为函数， 因为为增函数， 由复合函数的单调性法则知在上递增， 注意到的单调递增区间为，， 因此，即， 解得，， 注意到，因此当时，；当时，，即； 当时，，此时无解. 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $