专题 5.1 二次函数基础知识精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练）- 2025-2026学年苏科版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.1 二次函数基础知识精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练） 目录 一.知识梳理与题型精析 2 【知识点一】二次函数有关概念 2 【题型 1】二次函数定义识别 3 【题型 2】利用二次函数定义求参数 3 【知识点二】二次函数的解析式 3 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式 3 【知识点三】二次函数的图象与性质 4 【题型4】二次函数图象的位置与特征 5 【题型5】二次函数的性质的应用——增减性与最值 5 【题型6】二次函数与坐标轴的交点 6 【知识点四】二次函数的图象与各项系数之间的关系 6 【题型 7】根据二次函数图象判断式子的符号 7 【知识点五】二次函数的图象的平移规律 7 【题型8】二次函数图象的平移 8 【知识点六】二次函数与一元二次方程 9 【题型9】利用二次函数与一元二次方程关系求坐标或取值范围 9 【知识点七】二次函数与不等式 9 【题型10】利用二次函数与不等式关系求坐标或取值范围 10 【知识点八】二次函数的应用 10 【题型 11】二次函数的应用——利润问题 10 【题型12】二次函数的应用——面积、周长、角度问题 11 【题型 13】二次函数的应用——几何问题 13 二.点对点专项训练 14 【考点一】二次函数的定义 14 【题型1】二次函数定义 15 【考点二】二次函数的解析式 15 【题型2】待定系数法求二次函数解析式 15 【考点三】二次函数的图象与性质 15 【题型3】对称轴、顶点坐标、最值 15 【题型4】对称性 16 【题型5】增减性 16 【考点四】二次函数与坐标轴的交点 17 【题型5】二次函数与坐标轴交点坐标 17 【题型6】二次函数与根的判别式 17 【考点五】二次函数与方程、不等式的关系 18 【题型7】二次函数与方程、不等式关系 18 【考点六】二次函数的平移 18 【题型8】利用二次函数的平移规律求点的坐标 18 【题型9】利用二次函数与平移关系求值 19 【考点七】二次函数的实际应用 19 【题型10】二次函数与实际问题——利润问题、拱桥问题 19 【题型11】二次函数与实际问题——面积问题 20 【题型12】二次函数与实际问题——几何问题 21 三.易错点小结与解题方法反思 22 （一）易错点小结： 22 （二）解题方法反思： 23 （三）改进方向： 23 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【题型 1】二次函数定义识别 【例题1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是 ． 【变式2】（23-24九年级上·安徽六安·月考）二次函数的二次项系数是 ． 【题型 2】利用二次函数定义求参数 【例题2】（25-26九年级上·广东梅州·月考）若是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是 ． 【知识点二】二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式 【例题3】（25-26九年级上·广西崇左·月考）抛物线过，，三点．求抛物线的表达式． 【变式1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： …… 0 1 …… …… 0 3 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值． 【变式2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数图象与轴的交点是，，与轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【变式3】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【知识点三】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【题型4】二次函数图象的位置与特征 【例题4】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）关于抛物线，下列说法错误的是（） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·月考）已知一个二次函数满足：（）开口向下；（）顶点坐标是．请你写出满足条件的一个函数的解析式 ． 【变式2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数，该函数的顶点坐标为 ． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是7 C．抛物线开口向上 D．顶点的坐标为 【题型5】二次函数的性质的应用——增减性与最值 【例题5】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知抛物线 ． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【变式1】（25-26九年级上·天津武清·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【变式3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数在每一支上随的增大而增大，且与二次函数的图像交于点和． (1)当时，求反比例函数的解析式； (2)要使反比例函数在每一支上随的增大而增大，且二次函数也是随的增大而增大，求应该满足的条件以及的取值范围． 【题型6】二次函数与坐标轴的交点 【例题6】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期末）二次函数的图象如图所示，则的面积为 ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【知识点四】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【题型 7】根据二次函数图象判断式子的符号 【例题7】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·月考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有 ． 【变式2】（25-26九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有 ． 【知识点五】二次函数的图象的平移规律 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： 【题型8】二次函数图象的平移 【例题8】（25-26九年级上·吉林长春·期中）将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位，回答下列问题： (1)原抛物线的对称轴为____________； (2)所得抛物线的顶点坐标为____________； (3)所得抛物线的解析式为____________． 【变式1】（北京市西城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川南充·期末）将抛物线通过以下_____方法平移可得到抛物线（    ） A．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【变式3】（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）把抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，则 ． 【答案】 【知识点六】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； (2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【题型9】利用二次函数与一元二次方程关系求坐标或取值范围 【例题9】（2025·河南南阳·二模）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【变式1】（25-26九年级上·北京·月考）函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围 ． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是 ． 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）已知抛物线的最低点在轴上，则 ． 【变式4】（25-26九年级上·广东广州·月考）已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； 【知识点七】二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【题型10】利用二次函数与不等式关系求坐标或取值范围 【例题10】（25-26九年级上·广西柳州·月考）已知二次函数，当时，则x的取值范围 ． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 【知识点八】二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 【题型 11】二次函数的应用——利润问题 【例题11】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． (1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； (2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【变式2】（25-26九年级上·河北衡水·月考）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【变式3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）月日上午，舰载机梯队飞过天安门广场上空，接受祖国和人民检阅．其由歼、歼、歼和歼四型战机组成，为了让更多人的感受祖国航空航天事业的强大，某电商直播销售一款飞机模型，每个飞机模型的成本为元，当每个飞机模型的售价为元时，平均每月售出个，通过市场调查发现，若售价每上涨元，其月销售量就减少个． (1)当每个飞机模型的售价为元时，平均每月售出 个飞机模型，月销售利润是 元； (2)由于直播平台升级，月销售利润需要达到元才能正常运行，同时还希望让顾客得到更多的实惠，求每个飞机模型需要上涨多少元． 【题型12】二次函数的应用——面积、周长、角度问题 【例题12】（25-26九年级上·山东枣庄·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【变式3】（2025·四川广安·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【题型 13】二次函数的应用——几何问题 【例题13】（24-25九年级上·甘肃张掖·月考）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【变式1】（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【变式2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 二.点对点专项训练 【考点一】二次函数的定义 【题型1】二次函数定义 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 3．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【考点二】二次函数的解析式 【题型2】待定系数法求二次函数解析式 1．（25-26九年级上·北京·期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②顶点坐标为．此二次函数的解析式可以是 ． 2．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 【考点三】二次函数的图象与性质 【题型3】对称轴、顶点坐标、最值 1．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）已知抛物线，求该抛物线的顶点坐标和对称轴． 2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．开口向下 B．有最小值 C．与轴无交点 D．顶点坐标为 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知抛物线表达式为，则该抛物线的对称轴为直线 ． 【题型4】对称性 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 若点，都在该函数图像上，则和的大小关系是（  ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·吉林长春·月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【题型5】增减性 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）二次函数（其中），下列说法正确的(　　) A．当时，都有y随着x的增大而增大 B．当时，都有y随着x的增大而减小 C．若当时，都有y随着x的增大而减小，则 D．若当时，都有y随着x的增大而减小，则 2．（24-25九年级上·福建厦门·月考）已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ． 3．（25-26九年级上·江西赣州·月考）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）已知抛物线． (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 【考点四】二次函数与坐标轴的交点 【题型5】二次函数与坐标轴交点坐标 1．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）二次函数的图象与轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·上海·月考）如果抛物线的开口向上，且其与轴的交点位于轴的下方，那么的取值范围是 ． 12．（25-26九年级上·浙江·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【题型6】二次函数与根的判别式 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）抛物线与轴有唯一的一个交点时，的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 3．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津·期中）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是 ． 【考点五】二次函数与方程、不等式的关系 【题型7】二次函数与方程、不等式关系 1．（2026·全国·模拟预测）函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）若对任意实数，抛物线在直线的上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 3．（北京市石景山区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【考点六】二次函数的平移 【题型8】利用二次函数的平移规律求点的坐标 1．（25-26九年级上·广西崇左·月考）抛物线 是由抛物线如何平移得到的，并说明： (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)y随x的变化情况； (3)函数的最大值或最小值． 2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式为 ． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【题型9】利用二次函数与平移关系求值 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后经过点，则平移后的抛物线为 （填表达式），代数式 ． 2．（24-25九年级上·四川广安·期中）将抛物线的图像向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为 ；若，，为平移后函数图像上的点，则，，的大小关系是 （用“<”连接）； 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴与顶点坐标． (2)将函数图象向下平移个单位长度，若平移后的图象经过点，求的值． 【考点七】二次函数的实际应用 【题型10】二次函数与实际问题——利润问题、拱桥问题 1．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为 ． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）商场销售某种商品，平均每天可售出4件，每件盈利10元；为了尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，该商品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售商品盈利64元，那么该商品的单价应降多少元？ (2)该商品的单价降了多少元时，商场通过销售该商品每天盈利最多？最多盈利多少元？ 【题型11】二次函数与实际问题——面积问题 1．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【题型12】二次函数与实际问题——几何问题 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 3．（24-25九年级上·新疆克孜勒苏·期末）抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 三.易错点小结与解题方法反思 （一）易错点小结： （1）定义误区：忽略 a=0 的条件，误将一次函数当作二次函数。 （2）解析式转化错误：一般式化为顶点式时配方出错，交点式忘记标注是交点横坐标。 （3）增减性错误：忽略 “在对称轴同侧” 的前提，直接说 y 随 x 的增大而增减。 （4）交点问题失误：计算 Δ 时符号出错，或误将与 y 轴交点纵坐标当作 b。 （5）平移规律混淆：“左加右减” 针对 x 本身，而非整个括号，容易出现符号错误。 （6）实际应用遗漏：求最值时忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合题意。 （二）解题方法反思： （1）数形结合：结合函数图象分析开口方向、对称轴、交点，快速解决性质与不等式问题。 （2）分类讨论：涉及参数时，按 a 的正负、Δ 的大小分类，避免漏解。 （3）模型思想：实际问题中，先抽象出二次函数模型，明确自变量意义与取值范围，再求最值。 （4）转化思想：将一般式化为顶点式求最值，将交点问题转化为一元二次方程求解。 （三）改进方向： （1）加强基础公式记忆，熟练掌握解析式转化、对称轴、最值的计算公式。 （2）多做图象类习题，培养数形结合思维，通过图象验证代数运算结果。 （3）针对易错点专项训练，尤其是平移规律和实际应用中的取值范围问题。 （4）规范解题步骤，解析式转化、配方、求交点等过程分步书写，减少计算错误。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 二次函数基础知识精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练） 目录 一.知识梳理与题型精析 2 【知识点一】二次函数有关概念 2 【题型 1】二次函数定义识别 3 【题型 2】利用二次函数定义求参数 4 【知识点二】二次函数的解析式 5 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式 5 【知识点三】二次函数的图象与性质 8 【题型4】二次函数图象的位置与特征 8 【题型5】二次函数的性质的应用——增减性与最值 10 【题型6】二次函数与坐标轴的交点 12 【知识点四】二次函数的图象与各项系数之间的关系 14 【题型 7】根据二次函数图象判断式子的符号 15 【知识点五】二次函数的图象的平移规律 18 【题型8】二次函数图象的平移 18 【知识点六】二次函数与一元二次方程 20 【题型9】利用二次函数与一元二次方程关系求坐标或取值范围 20 【知识点七】二次函数与不等式 23 【题型10】利用二次函数与不等式关系求坐标或取值范围 23 【知识点八】二次函数的应用 25 【题型 11】二次函数的应用——利润问题 25 【题型12】二次函数的应用——面积、周长、角度问题 29 【题型 13】二次函数的应用——几何问题 35 二.点对点专项训练 44 【考点一】二次函数的定义 44 【题型1】二次函数定义 44 【考点二】二次函数的解析式 45 【题型2】待定系数法求二次函数解析式 45 【考点三】二次函数的图象与性质 47 【题型3】对称轴、顶点坐标、最值 47 【题型4】对称性 48 【题型5】增减性 50 【考点四】二次函数与坐标轴的交点 52 【题型5】二次函数与坐标轴交点坐标 52 【题型6】二次函数与根的判别式 54 【考点五】二次函数与方程、不等式的关系 56 【题型7】二次函数与方程、不等式关系 57 【考点六】二次函数的平移 59 【题型8】利用二次函数的平移规律求点的坐标 59 【题型9】利用二次函数与平移关系求值 60 【考点七】二次函数的实际应用 62 【题型10】二次函数与实际问题——利润问题、拱桥问题 62 【题型11】二次函数与实际问题——面积问题 64 【题型12】二次函数与实际问题——几何问题 68 三.易错点小结与解题方法反思 74 （一）易错点小结 74 （二）解题方法反思 74 （三）改进方向 75 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【题型 1】二次函数定义识别 【例题1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、当时，是二次函数，故本选项不符合题意； B、不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·安徽六安·月考）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项． 【题型 2】利用二次函数定义求参数 【例题2】（25-26九年级上·广东梅州·月考）若是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是次，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴指数部分，且系数， 解方程 移项得， 因式分解得， ∴或 又∵，即， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 【知识点二】二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【题型 3】待定系数法求二次函数解析式 【例题3】（25-26九年级上·广西崇左·月考）抛物线过，，三点．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． 利用交点式求抛物线的表达式． 【详解】解：设所求抛物线表达式为，由题知，，， ∴， 即， 把代入上式，得， 解得：， 所以， 即抛物线解析式为． 【变式1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： …… 0 1 …… …… 0 3 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设二次函数的表达式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设二次函数的表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 观察表格，函数图象经过点， ∴， 则， ∴ 解得， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数图象与轴的交点是，，与轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查二次函数，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据自变量的值求函数值，再进行判定即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把，，， 代入，得：， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴点不在此抛物线上． 【变式3】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据题意，可以设，然后代入，解得即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，顶点坐标为， ∴不妨设该二次函数的解析式为，代入，得 ， 解得， 故该二次函数解析式为． 【知识点三】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【题型4】二次函数图象的位置与特征 【例题4】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）关于抛物线，下列说法错误的是（） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及最值． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，开口向上，顶点为，对称轴为． ∵开口向上， ∴顶点为最低点，纵坐标为2，无最高点． ∴选项A、B、C正确，D错误， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·月考）已知一个二次函数满足：（）开口向下；（）顶点坐标是．请你写出满足条件的一个函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，设二次函数的解析式为，通过开口向下得出，顶点坐标是，则，，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵开口向下， ∴，取， ∵顶点坐标是， ∴，， ∴函数的解析式是：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）二次函数，该函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质． 将二次函数化为顶点式，进而作答即可． 【详解】解：， 所以顶点坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是7 C．抛物线开口向上 D．顶点的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 根据二次函数顶点式的性质分析即可． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下，函数的最大值是，顶点的坐标为， ∴只有D正确． 故选D． 【题型5】二次函数的性质的应用——增减性与最值 【例题5】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知抛物线 ． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查的是二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将一般式化为顶点式，进行作答即可； （2）根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【变式1】（25-26九年级上·天津武清·月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．，时，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可知对称轴为，进而可得的值． 【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为直线， 故， 故答案是：3． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右侧部分y随x增大而减小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小． 故选：B． 【变式3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数在每一支上随的增大而增大，且与二次函数的图像交于点和． (1)当时，求反比例函数的解析式； (2)要使反比例函数在每一支上随的增大而增大，且二次函数也是随的增大而增大，求应该满足的条件以及的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）设，将点，代入求解即可； （2）根据反比例函数和二次函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 设，将代入可得：，即 所以； （2）解：由题意可得：反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数在每一支上随的增大而增大， ∴， 则的开口朝下，对称轴为， ∴当时，二次函数随的增大而增大， 故答案为：且 【点睛】此题考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和反比例函数的增减性． 【题型6】二次函数与坐标轴的交点 【例题6】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数，求二次函数图象与坐标轴交点的坐标． 【答案】，， 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，，求出对应的x、y的值，即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴二次函数图象与x轴交于，， 当时，， ∴二次函数图象与y轴交于， ∴二次函数图象与坐标轴交点的坐标，，． 【变式1】（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期末）二次函数的图象如图所示，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．分别令，，求出点A，B的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：对于二次函数， 令，则，解得， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴性质，熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴另一个交点的横坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 【知识点四】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【题型 7】根据二次函数图象判断式子的符号 【例题7】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性，开口方向等知识是关键． 根据二次函数图象开口，对称性得到时，，结合特殊值即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴， ∴B选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误； 当时，， ∴当时，，则，故A选项错误； 当时，，故D选项错误； 故选：B ． 【变式1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·月考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 【变式2】（25-26九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数与x轴的交点可设解析式为，从而得到，，由与y轴交点范围可得的范围，进而求出的范围，再结合开口方向、对称轴及函数性质判断各结论即可． 【详解】解：二次函数图象与x轴交于点，， 设解析式为， 则，， 由于二次函数图象与y轴的交点在与之间， 则，即， 解得，故结论④正确； 对于结论①：，，，则，故①错误； 对于结论②：当时， 由得，当时，， 则，故②正确； 对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上， 由且，得，点离对称轴比点更远， 则，故③正确； 对于结论⑤：考虑函数， 由于，为开口向上的抛物线， 顶点在， 则，当时取等号， 故，不一定大于，故⑤错误； 综上，正确结论为②、③、④． 故答案为：②③④． 【知识点五】二次函数的图象的平移规律 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： 【题型8】二次函数图象的平移 【例题8】（25-26九年级上·吉林长春·期中）将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位，回答下列问题： (1)原抛物线的对称轴为____________； (2)所得抛物线的顶点坐标为____________； (3)所得抛物线的解析式为____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平移规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把一般式化为顶点式，得出原抛物线的对称轴为，即可作答． （2）根据平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． （3）把平移后的顶点式化为一般式，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得 ∵将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位， ∴ 即平移所得抛物线的顶点坐标为； （3）解：由（2）得平移所得的抛物线解析式， 整理得抛物线的解析式为． 【变式1】（北京市西城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线平移的顶点变化，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解答本题的关键． 根据抛物线平移规律，求出平移后的解析式，进而可得出平移后抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度得，再向下平移2个单位长度得， ∴新顶点坐标为． 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·四川南充·期末）将抛物线通过以下_____方法平移可得到抛物线（    ） A．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的抛物线解析式． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 【详解】解：将抛物线的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线解析式为：． 故选：B 【变式3】（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）把抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握变化规律是解题的关键． 抛物线平移时，二次项系数不变，仅常数项改变，计算即可． 【详解】抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线， 与比较，得，， 故； 故答案是． 【知识点六】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； (2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【题型9】利用二次函数与一元二次方程关系求坐标或取值范围 【例题9】（2025·河南南阳·二模）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·北京·月考）函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围 ． 【答案】 且 【分析】函数与轴有两个不同的交点，等价于对应二次方程有两个不等实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，解不等式组即可；本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象与轴的交点横坐标就是对应的一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：由条件得， 解得 且 ． 故答案为： 且 ． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点横坐标，再计算两点距离即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴A、B两点的坐标为和， ∴A、B两点间的距离是， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）已知抛物线的最低点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】根据最低点在x轴上可知，抛物线开口向上，且顶点的纵坐标为0，然后列式求解即可． 本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了抛物线的顶点坐标，要注意判断出抛物线的开口向上． 【详解】解：∵抛物线的最低点在轴上， ∴且， 解得：且， ， 故答案为：． 【变式4】（25-26九年级上·广东广州·月考）已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求的值． 【答案】(1) ，顶点坐标为 (2) 或 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，包括待定系数法求解析式、顶点坐标的求解，以及函数值的运算，解决本题的关键在于利用抛物线所过的已知点求出参数，再根据抛物线上点的坐标关系建立方程并求解． （1）将点代入抛物线方程，即可解得的值；再将解析式化为顶点式或直接利用顶点坐标公式，即可求出抛物线的顶点坐标． （2）将两点坐标分别代入抛物线解析式，得到 ​和​关于的表达式，根据已知条件 列出关于的方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：， 解得， 将代入抛物线方程，得到． ∵， ∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：已知点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴． 因为点在抛物线上，且， 所以将代入抛物线方程可得：， 即整理得，则有， 则或， 解得或． 【知识点七】二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【题型10】利用二次函数与不等式关系求坐标或取值范围 【例题10】（25-26九年级上·广西柳州·月考）已知二次函数，当时，则x的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数函数值的范围： （1）直接利用两点式写出函数解析式即可； （2）观察图象，可知当时，取最大值，顶点处取最小值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过两点， ∴解析式为：； （2）∵， 观察图象可知：当时，取最大值0，顶点处取最小值， ∵， ∴当时，函数有最小值为：， ∴当时，y的取值范围． 故答案为：． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 【知识点八】二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 【题型 11】二次函数的应用——利润问题 【例题11】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． (1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； (2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【答案】(1)50元或60元 (2)当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及一元二次函数的最值，解决本题的关键是根据题意建立等式 （1）设每个售价为元，表示出日均销售量计算即可； （2）设日均利润为元，将二次函数配方为顶点式求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每个售价为元， 根据题意可得：， 整理得， 解得：，， 答：当每个售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元； （2）解：设日均利润为元， 则 ， ∵， 当时，取最大值，最大值为2250， 答：当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元． 【变式2】（25-26九年级上·河北衡水·月考）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)， (2) (3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）月日上午，舰载机梯队飞过天安门广场上空，接受祖国和人民检阅．其由歼、歼、歼和歼四型战机组成，为了让更多人的感受祖国航空航天事业的强大，某电商直播销售一款飞机模型，每个飞机模型的成本为元，当每个飞机模型的售价为元时，平均每月售出个，通过市场调查发现，若售价每上涨元，其月销售量就减少个． (1)当每个飞机模型的售价为元时，平均每月售出 个飞机模型，月销售利润是 元； (2)由于直播平台升级，月销售利润需要达到元才能正常运行，同时还希望让顾客得到更多的实惠，求每个飞机模型需要上涨多少元． 【答案】(1)； (2)每个飞机模型需要上涨元． 【分析】本题考查利润问题的实际应用，运用函数建模与方程思想，关键是根据 “利润（售价成本）销量” 建立关系，易错点是售价上涨与销量减少的数量对应错误、利润公式中成本的遗漏； （1）根据售价上涨金额计算销量减少量，再求实际销量与利润； （2）设上涨金额为未知数，结合利润公式列方程，结合 “让顾客实惠” 的条件取较小的上涨值． 【详解】（1）解：（1）（个）， （元）． （2）设：每个飞机模型需要上涨x元．     依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又因为希望让顾客得到更多的实惠 所以， 答：每个飞机模型需要上涨元． 【题型12】二次函数的应用——面积、周长、角度问题 【例题12】（25-26九年级上·山东枣庄·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线与图形面积问题，解题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点． （1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）先求出顶点，设抛物线对称轴与轴交于点，则，，，，，再由求解． 【详解】（1）解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）根据题意得，利用待定系数法即可求得n的值，继而求得抛物线的解析式； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 【变式3】（2025·四川广安·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 【题型 13】二次函数的应用——几何问题 【例题13】（24-25九年级上·甘肃张掖·月考）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 【变式1】（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 【变式2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积 (3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 过点D作轴交直线于点E，如图1， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴ ∴四边形的面积为 （3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下： 如图2， ①取点关于对称轴的对称点，连接，， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意； ②当直线时，则有， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式中一次项系数为1． 设与平行的直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 二.点对点专项训练 【考点一】二次函数的定义 【题型1】二次函数定义 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．可能为0，故不一定是二次函数； B．含有项，不是整式，故不是二次函数； C．，满足，是二次函数； D．，是一次函数； 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． 3．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值， 对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n； 对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． 【考点二】二次函数的解析式 【题型2】待定系数法求二次函数解析式 1．（25-26九年级上·北京·期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②顶点坐标为．此二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握好二次函数的顶点式是关键． 利用二次函数的顶点式，根据顶点坐标和开口方向确定参数． 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵顶点坐标为， ∴，，即， ∵开口向下， ∴，取，得． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式．设抛物线为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：抛物线对称轴为， 设抛物线为， 又抛物线过，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 【考点三】二次函数的图象与性质 【题型3】对称轴、顶点坐标、最值 1．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）已知抛物线，求该抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标和对称轴、二次函数的性质等知识点，将抛物线解析式化成顶点式是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解： 该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．开口向下 B．有最小值 C．与轴无交点 D．顶点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，通过系数判断开口方向和最值，通过解方程判断与轴交点，通过顶点公式求顶点坐标，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴ 抛物线开口向下， 故A选项正确； ∵开口向下， ∴函数有最大值，无最小值， 故B选项错误； 令，则， 解得， ∴抛物线与轴有两个交点， 故C选项错误； ∵顶点坐标公式为，且，，， ∴ ，， ∴顶点坐标为， 故D选项错误； 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知抛物线表达式为，则该抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴为直线． 根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】解：在中，，， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 【题型4】对称性 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 若点，都在该函数图像上，则和的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 由表中对应值可得抛物线的对称轴为直线，点和点到对称轴的距离相等，据此即可解答． 【详解】解：由表格可知：时，；时，， ∴对称轴为． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴ ． 故选D． 9．（23-24九年级上·吉林长春·月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 【题型5】增减性 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）二次函数（其中），下列说法正确的(　　) A．当时，都有y随着x的增大而增大 B．当时，都有y随着x的增大而减小 C．若当时，都有y随着x的增大而减小，则 D．若当时，都有y随着x的增大而减小，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．先求出二次函数的对称轴，再利用此函数图象开口向上，即可判定函数增减性质． 【详解】解：（其中）， ∴二次函数的对称轴为， ∵， ∴此函数图象开口向上， ∴当时，y随着x的增大而减小， 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·月考）已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为，开口向下， ∴符合条件的二次函数可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·江西赣州·月考）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出点关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）已知抛物线． (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数化为顶点式是关键． （1）把二次函数化为顶点式并根据即可得到答案； （2）根据二次函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴是顶点坐标为 （2）解：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【考点四】二次函数与坐标轴的交点 【题型5】二次函数与坐标轴交点坐标 1．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）二次函数的图象与轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求二次函数图象与y轴交点，令计算y值即可． 【详解】解：当时，则有， ∴与轴交点坐标是； 故选A． 6．（25-26九年级上·上海·月考）如果抛物线的开口向上，且其与轴的交点位于轴的下方，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 抛物线开口向上需二次项系数大于零；与y轴交点在x轴下方需常数项小于零．解不等式组得a的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向上，则二次项系数，即． 当时，， ∵与轴的交点位于轴的下方， ∴，即． 综上，． 故答案为． 12．（25-26九年级上·浙江·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征列方程求解，以及将抛物线与x轴交点问题转化为解一元二次方程． （1）将已知点代入函数解析式，列方程组求出的值，得到二次函数表达式； （2）令，解一元二次方程，得到抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【详解】（1）解：将点，分别代入，得： 即， 将代入，解得， 二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 整理为，因式分解得， 解得， 已知一个交点为，故另一个交点坐标为． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 【题型6】二次函数与根的判别式 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）抛物线与轴有唯一的一个交点时，的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据抛物线与x轴有唯一交点时，判别式为零，解方程求b的值即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有唯一交点， ∴方程的判别式， 即， ∴， ∴； 故选D． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，牢记二次函数概念及“时，二次函数与x轴有2个交点”是解题的关键． 二次函数图象与x轴有两个不同的交点等价于对应方程有两个不同的实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零． 【详解】∵ 函数为二次函数， ∴ . ∵ 图象与x轴有两个不同的交点， ∴ 方程 有两个不同的实数根， ∴ 判别式 ， 解得 . ∴ 且 ． 故选：D． 3．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 4．（25-26九年级上·天津·期中）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质：当函数为一次函数时满足题意，当函数为二次函数时，，据此即可求解． 【详解】解：当，即时，函数为，是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意，故； 当，即时，函数为二次函数，要使其与x轴只有一个交点， 则，即，解得； 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 【考点五】二次函数与方程、不等式的关系 【题型7】二次函数与方程、不等式关系 1．（2026·全国·模拟预测）函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向上，当时，有最小值， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）若对任意实数，抛物线在直线的上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和不等式恒成立问题．根据题意，抛物线始终在直线上方，即二次函数值大于零，由判别式小于零求解即可． 【详解】解：由题意，对于任意实数，有， 即， ， 由于二次项系数为正，抛物线开口向上， 若恒成立，则其判别式小于零： ， 解得， 故答案为：． 3．（北京市石景山区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．其对称轴是． (1)求这个二次函数的表达式： (2)当函数值小于3时，结合图象直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【分析】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，利用函数图象求解不等式，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时x的值，结合图象即可得到x的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意得： ， 解得： ∴二次函数的表达式为。 （2）解：当时，， 解得：，， 如图， 当函数值小于3时，或. 【考点六】二次函数的平移 【题型8】利用二次函数的平移规律求点的坐标 1．（25-26九年级上·广西崇左·月考）抛物线 是由抛物线如何平移得到的，并说明： (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)y随x的变化情况； (3)函数的最大值或最小值． 【答案】(1)抛物线 是由抛物线向左平移3个单位长度，开口向上，， (2)当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大 (3)当时，y有最小值0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据进行分析，即可作答． （2）由（1）得抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线，进行分析，即可作答． （3）由（1）得抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线，得出当时，y有最小值0，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，抛物线 是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∵抛物线， ∴开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线， （2）解：由（1）得抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大； （3）解：由（1）得抛物线的开口向上，顶点坐标是， ∴当时，y有最小值0． 2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据二次函数的平移规律，应用“左加右减，上加下减”的规则求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，得到； 再向上平移2个单位，得到． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与平移变换，解题的关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 原抛物线 的顶点坐标为 ，目标抛物线 的顶点坐标为 ，通过比较顶点坐标变化确定平移方向． 【详解】解：∵ 抛物线 的顶点为 ， 抛物线 的顶点为 ， ∴ 顶点从 平移到 ，即向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位； 故选：C． 【题型9】利用二次函数与平移关系求值 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后经过点，则平移后的抛物线为 （填表达式），代数式 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，代数式求值，熟练掌握二次函数的图象平移规律是解题关键． 根据图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式为，将点代入，求得，将其整体代入代数式求值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ， 平移后的抛物线经过点， 得：， ． 故答案为：；． 2．（24-25九年级上·四川广安·期中）将抛物线的图像向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为 ；若，，为平移后函数图像上的点，则，，的大小关系是 （用“<”连接）； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征．先求出抛物线的平移后的解析式，再求出对称轴直线，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：将抛物线的图像向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而减小， ∵，， 为平移后函数图像上的点， 点C关于对称轴的对称点为， ， ． 故答案为∶ ，． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴与顶点坐标． (2)将函数图象向下平移个单位长度，若平移后的图象经过点，求的值． 【答案】(1) 对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的平移规律即可求解． 本题考查了二次函数的平移，二次函数的顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 故答案为：对称轴直线为,顶点坐标为； （2）∵向下平移个单位长度， 则平移后函数为， 将代入函数， 得， 则， 故答案为：． 【考点七】二次函数的实际应用 【题型10】二次函数与实际问题——利润问题、拱桥问题 1．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过建立日营业收入与房价提高量之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求最大值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设房价提高个10元，则房价为元，日均入住数为间．设日营业收入为， 由题意可得：． 由于二次项系数，函数图象开口向下， 所以在对称轴处取得最大值． 此时房价为元，且150在元范围内． 故答案为：150． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）商场销售某种商品，平均每天可售出4件，每件盈利10元；为了尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，该商品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售商品盈利64元，那么该商品的单价应降多少元？ (2)该商品的单价降了多少元时，商场通过销售该商品每天盈利最多？最多盈利多少元？ 【答案】(1)该商品的单价应降6元； (2)该商品的单价降了4元时，商场通过销售该商品每天盈利最多，最多盈利72元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设商品的单价应降元，根据平均每天可售出4件，每件盈利10元，该商品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，进行列式计算，即可作答． （2）根据利润等于单件利润乘数量，进行列式计算，再结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设商品的单价应降元， 根据题意得：， 解得：或， 商场为了尽快减少库存， ， 答：该商品的单价应降6元； （2）解：设商场的总利润为， 则 ， ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值， 当时，， 答：该商品的单价降了4元时，商场通过销售该商品每天盈利最多，最多盈利72元． 【题型11】二次函数与实际问题——面积问题 1．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式． （1）将、两点坐标代入抛物线即可求解； （2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：，， ， ， ， ， 点在轴下方， ， 在中，当时，， 解得，， 点坐标为或． 2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，即可得出点C的坐标；令，则，求解即可得出点A、B的坐标； （2）由可得点与点到轴的距离相等，结合点在第一象限得点的纵坐标为3，代入二次函数求解即可． 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，二次函数的面积问题，熟练掌握二次函数的与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ， 解得， ∴； （2）∵， ∴点与点到轴的距离相等， 又∵点在第一象限， ∴设点， ∴， 解得（舍去）， 则． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，得到关于点D横坐标的二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入，求出a的值即可； （2）连接，设点D的坐标为，根据得出关于m的二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，    在二次函数中，令，得， 解得，， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点D的坐标为， 则 ， 当时，的面积最大， 此时点D的坐标为． 【题型12】二次函数与实际问题——几何问题 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)观察图象，当时，y的取值范围为________； (3)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）由得出开口方向向下，对称轴为直线，再根据越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小，以及结合进行分析，即可作答． （3）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 在时，有最大值，且，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵， ∴把代入，得， ∴观察图象，当时，y的取值范围为． （3）解：当是边上的高时，的值最小， 由（2）得对称轴为直线，有最大值，且 ∵点是的顶点， 即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴的最小值是． 3．（24-25九年级上·新疆克孜勒苏·期末）抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分别令，令，即可求解； （3）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 三.易错点小结与解题方法反思 （一）易错点小结： （1）定义误区：忽略 a=0 的条件，误将一次函数当作二次函数。 （2）解析式转化错误：一般式化为顶点式时配方出错，交点式忘记标注是交点横坐标。 （3）增减性错误：忽略 “在对称轴同侧” 的前提，直接说 y 随 x 的增大而增减。 （4）交点问题失误：计算 Δ 时符号出错，或误将与 y 轴交点纵坐标当作 b。 （5）平移规律混淆：“左加右减” 针对 x 本身，而非整个括号，容易出现符号错误。 （6）实际应用遗漏：求最值时忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合题意。 （二）解题方法反思： （1）数形结合：结合函数图象分析开口方向、对称轴、交点，快速解决性质与不等式问题。 （2）分类讨论：涉及参数时，按 a 的正负、Δ 的大小分类，避免漏解。 （3）模型思想：实际问题中，先抽象出二次函数模型，明确自变量意义与取值范围，再求最值。 （4）转化思想：将一般式化为顶点式求最值，将交点问题转化为一元二次方程求解。 （三）改进方向： （1）加强基础公式记忆，熟练掌握解析式转化、对称轴、最值的计算公式。 （2）多做图象类习题，培养数形结合思维，通过图象验证代数运算结果。 （3）针对易错点专项训练，尤其是平移规律和实际应用中的取值范围问题。 （4）规范解题步骤，解析式转化、配方、求交点等过程分步书写，减少计算错误。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $