第五章 三角函数（能力提升卷）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）与2022°终边相同的角是（    ） A． B． C．222° D．142° 2．（25-26高一·全国·课后作业）若,且,则角的终边所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026高一·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 6．（25-26高三上·山西临汾·月考）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 8．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一上·重庆渝中·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上有最大值 D．函数在区间上单调递增 11．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·河南新乡·期中）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为：                   13．（25-26高三上·上海·期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．    14．（25-26高三上·江苏南通·月考）将函数图像先向左平移个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若，，则 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·湖南益阳·期末）已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值． 16．（2025·湖南长沙·一模）已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大最小值及相应的值. 17．（25-26高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象． (1)直接写出函数的解析式，并求出的最小正周期与单调增区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·湖南长沙·月考）随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场PQCR. （1）设，试写出停车场PQCR的面积S与的函数关系式； （2）求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值（数据精确到个位）. （注：当时，） 19．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）与2022°终边相同的角是（    ） A． B． C．222° D．142° 【答案】C 【分析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解. 【详解】∵2022°＝360°×5＋222°，∴与2022°终边相同的角是222°. 故选：C. 2．（25-26高一·全国·课后作业）若,且,则角的终边所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由确定终边在轴左侧，，得终边在轴下方，然后求出终边位置，两者结合可得终边所在象限． 【详解】,,. ,,. ,. 综上可得,. 当,且时,角的终边所在象限是第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查三角函数的定义，由三角函数的符号确定角所在象限． 3．（2026高一·全国·课后作业）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将代数式中的角用表示，利用诱导公式即可求出所求代数式的值. 【详解】. 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式求三角函数值，解题时要将角利用已知角加以表示，考查计算能力，属于基础题. 4．（2026高三·全国·专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对函数图象的影响可得. 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象， 然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象. 故选：A. 5．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】B 【解析】对A，根据解析式可直接求出最小正周期；对B，令可求出单调递增区间；对C，计算可判断； 对D，计算可判断. 【详解】对于A，，的最小正周期为，故A错误； 对于B，令，解得，的单调递增区间为，故B正确； 对于C，，的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，，的图象不关于点对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令可求得对称轴，令可求得对称中心； （2）代入求值判断，若，则是对称轴；若，则是对称中心. 6．（25-26高三上·山西临汾·月考）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图像变换规律推得的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的单调增区间，再结合函数在区间和上均单调递增，列出关于的不等式组进行求解即可. 【详解】根据题意，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 . 根据函数的单调增区间满足，解得. 当时，函数的增区间为，当时，函数的增区间为. 若满足函数在区间和上均单调递增，则 ，解得. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图像变换规律以及根据三角函数的单调性求参数范围. 7．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】首先明确函数的定义域，并且利用诱导公式化简解析式，然后利用奇偶性的概念验证奇偶性；再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性. 【详解】因为的定义域为，并且 ， 又， 所以为偶函数； 设、，并且，则，， 所以，，， 于是， 即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误. 故选：A. 8．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数 由函数在上没有零点，则，则 由，可得 假设函数在上有零点， 则，则 由，可得 又，则 则由函数在上没有零点，且，可得 故选：A 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一上·重庆渝中·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】先根据，判断角的范围，再根据求； 根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求. 【详解】①因为，所以， 又，故有，， 解出，故A错误； ②， 由①知：，所以， 所以，故B正确； ③由①知：，而，所以， 又，所以， 解得， 所以 又因为，， 所以，有，故C正确； ④由， 由③知，， 两式联立得：，故D错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值，确定，且，进一步确定，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上有最大值 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】逆用二倍角公式进行降幂变形、再利用两角差的余弦、正弦公式化简函数解析式，然后结合正弦函数的性质判断各选项. 【详解】 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，当时，， 所以直线是的图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，当时，， 令，解得 所以在上单调递减且，在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为，故C正确； 对于D，由C可知在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确； 对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误； 对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误； 对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确. 故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·河南新乡·期中）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为：                   【答案】 【分析】先根据图象得到振幅和周期，即求得，再根据图象过，求得，得到解析式. 【详解】由图象可知，，故，即. 又由图象过，故，解得， 而，故，所以. 故答案为：. 13．（25-26高三上·上海·期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．    【答案】 【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积. 【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得， 取的中点，连接，如下图所示：    因为，则， 又因为，则， 所以，，，则， 所以，， 因此，弧田的面积为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·江苏南通·月考）将函数图像先向左平移个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若，，则 . 【答案】 【分析】先化简得出，再根据图象变换得出，即可得，利用即可求解. 【详解】， 将先向左平移个单位可得， 再将每一点的横坐标变为原来的2倍可得，即， 则，即， ，，， . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换以及差的余弦公式的应用，解题的关键是根据图象变换得出，利用展开求解. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·湖南益阳·期末）已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果； （2）先由题意求出，， 根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为为锐角，所以，， 又，所以， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型. 16．（2025·湖南长沙·一模）已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大最小值及相应的值. 【答案】(1)；(2)当时，；当时，． 【详解】分析：（1直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化简即可求函数的最小正周期； （II）结合已知条件求出，进而可求出函数在区间上的最大最小值及相应的值． 详解： （1） 所以的最小正周期是 （2）因为， 所以， 所以 当时， 当时， 点睛：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题． 17．（25-26高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象． (1)直接写出函数的解析式，并求出的最小正周期与单调增区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，最小正周期为，单调递增区间为； (2). 【分析】（1）根据三角函数图象变换可直接写出函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，解不等式可得出函数单调单调递增区间； （2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：根据题意，．       所以，函数的最小正周期为．     由得，， 则函数的单调增区间为． （2）解：由得，，则，即． 由不等式对恒成立，得到，得， 即的取值范围是． 18．（25-26高一上·湖南长沙·月考）随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场PQCR. （1）设，试写出停车场PQCR的面积S与的函数关系式； （2）求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值（数据精确到个位）. （注：当时，） 【答案】（1）（2）最大值是1322平方米，最小值是950平方米. 【分析】（1）延长RP交AB于M，求出、即可求得、，代入面积公式化简即可得解；（2）令将面积公式化简为关于t的一元二次函数，根据一元二次函数的图象与性质即可求得最值. 【详解】 （1）∵，延长RP交AB于M， 则，， ∴. . 故矩形PQCR的面积为：. . （2）令，则. ∴. 故当时，，当时，. 所以长方形停车场PQCR面积的最大值是1322平方米，最小值是950平方米. 【点睛】本题考查三角函数的应用，换元法求函数的最值，涉及一元二次函数的图象与性质，属于中档题. 19．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】（1）利用三角恒等变换得出，根据正弦型函数的值域求解； （2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论. 【详解】（1） ， 当时，， ∴，则. （2）假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有2021个零点，即函数与直线在上恰有2021个交点. 当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示： ①当或时，函数与直线在上无交点， ②当或时，函数与直线在上有一个交点， 此时要使函数与直线在上恰有2021个交点， 则； ③当或时，函数与直线在上有两个交点， 此时函数与直线在上有偶数个交点，不符合题意； ④当时，函数与直线在上有三个交点， 此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，则； 综上所述，存在实数和满足题设条件： 时，； 时，； 时，. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $